磁場對運(yùn)動電荷的作用

1、沁陽市物理備課組 主備 張衛(wèi)平 審定 張德華 2008年1月8日第三單元 磁場對運(yùn)動電荷的作用 知識目標(biāo) 一、洛侖茲力磁場對運(yùn)動電荷的作用力1.洛倫茲力的公式: F=qvB sin，是V、B之間的夾角.2.當(dāng)帶電粒子的運(yùn)動方向與磁場方向互相平行時(shí)，F(xiàn)03.當(dāng)帶電粒子的運(yùn)動方向與磁場方向互相垂直時(shí)，F(xiàn)=qvB 4.只有運(yùn)動電荷在磁場中才有可能受到洛倫茲力作用，靜止電荷在磁場中受到的磁場對電荷的作用力一定為0二、洛倫茲力的方向1.洛倫茲力F的方向既垂直于磁場B的方向，又垂直于運(yùn)動電荷的速度v的方向，即F總是垂直于B和v所在的平面2.使用左手定則判定洛倫茲力方向時(shí)，伸出左手，讓姆指跟四指垂直，且處于

2、同一平面內(nèi)，讓磁感線穿過手心，四指指向正電荷運(yùn)動方向（當(dāng)是負(fù)電荷時(shí)，四指指向與電荷運(yùn)動方向相反）則姆指所指方向就是該電荷所受洛倫茲力的方向三、洛倫茲力與安培力的關(guān)系1.洛倫茲力是單個(gè)運(yùn)動電荷在磁場中受到的力，而安培力是導(dǎo)體中所有定向稱動的自由電荷受到的洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)2.洛倫茲力一定不做功，它不改變運(yùn)動電荷的速度大小;但安培力卻可以做功四、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動1.不計(jì)重力的帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動可分三種情況：一是勻速直線運(yùn)動；二是勻速圓周運(yùn)動；三是螺旋運(yùn)動2.不計(jì)重力的帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌跡半徑r=mv/qB；其運(yùn)動周期T=2m/qB（與速度大小無關(guān)）3.不計(jì)重力

3、的帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場和垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)都做曲線運(yùn)動，但有區(qū)別：帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場，在電場中做勻變速曲線運(yùn)動（類平拋運(yùn)動）；垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，則做變加速曲線運(yùn)動（勻速圓周運(yùn)動）典型例題【例1】一帶電粒子以初速度V0垂直于勻強(qiáng)電場E 沿兩板中線射入，不計(jì)重力，由C點(diǎn)射出時(shí)的速度為V，若在兩板間加以垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，粒子仍以V0入射，恰從C關(guān)于中線的對稱點(diǎn)D射出，如圖所示，則粒子從D點(diǎn)射出的速度為多少?解析：粒子第一次飛出極板時(shí)，電場力做正功，由動能定理可得電場力做功為W1=m（V2v02）/2，當(dāng)兩板間加以垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場后，粒子第二次飛出極板時(shí)，洛侖茲力對運(yùn)動電荷不做功

4、，但是粒子從與C點(diǎn)關(guān)于中線的對稱點(diǎn)射出，洛侖茲力大于電場力，由于對稱性，粒子克服電場力做功，等于第一次電場力所做的功，由動能定理可得W2=m（V02VD2）/2，W1=W2。由 式得VD=點(diǎn)評：凡是涉及到帶電粒子的動能發(fā)生了變化，均與洛侖茲力無關(guān)，因?yàn)槁鍋銎澚\(yùn)動電荷永遠(yuǎn)不做功?！纠?】如圖所示，豎直兩平行板P、Q，長為L，兩板間電壓為U，垂直紙面的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，電場和磁場均勻分布在兩板空間內(nèi)，今有帶電量為Q，質(zhì)量為m的帶正電的油滴，從某高度處由靜止落下，從兩板正中央進(jìn)入兩板之間，剛進(jìn)入時(shí)油滴受到的磁場力和電場力相等，此后油滴恰好從P板的下端點(diǎn)處離開兩板正對的區(qū)域，求（1）油滴原

5、來靜止下落的位置離板上端點(diǎn)的高度h。（2）油滴離開板間時(shí)的速度大小。解析：（1）油滴在進(jìn)入兩板前作自由落體運(yùn)動，剛進(jìn)入兩板之間時(shí)的速度為V0，受到的電場力與磁場力相等，則qv0BqUd，v0UBd= ，h=U22gB2d2（2）油滴進(jìn)入兩板之間后，速度增大，洛侖茲力在增大，故電場力小于洛侖茲力，油滴將向P板偏轉(zhuǎn)，電場力做負(fù)功，重力做正功，油滴離開兩板時(shí)的速度為Vx ，由動能定理mg（hL）q U2=mVx 2/2， 點(diǎn)評：（1）根據(jù)帶電油滴進(jìn)入兩板時(shí)的磁場力與電場力大小相等求出油滴下落時(shí)到板上端的高度；（2）油滴下落過程中的速度在增大，說明了洛侖茲力增大，油滴向P板偏轉(zhuǎn)，電場力做負(fù)功【例3】如

6、圖所示，在空間有勻強(qiáng)磁場，磁感強(qiáng)度的方向垂直紙面向里，大小為B，光滑絕緣空心細(xì)管MN的長度為h，管內(nèi)M端有一質(zhì)量為m、帶正電q的小球P，開始時(shí)小球P相對管靜止，管帶著小球P沿垂直于管長度方向的恒定速度u向圖中右方運(yùn)動設(shè)重力及其它阻力均可忽略不計(jì)（1）當(dāng)小球P相對管上升的速度為v時(shí)，小球上升的加速度多大？（2）小球P從管的另一端N離開管口后，在磁場中作圓周運(yùn)動的圓半徑R多大？（3）小球P在從管的M端到N端的過程中，管壁對小球做的功是多少？解析：（1）設(shè)此時(shí)小球的合速度大小為v合，方向與u的夾角為 有 cos=u/v合=u/ 此時(shí)粒子受到的洛倫茲力f和管壁的彈力N如所示，由牛頓第二定律可求此時(shí)小球

7、上升的加速度為：a=fcos=qv合Bcos/m 聯(lián)立解得：a=quB/m（2）由上問a知，小球上升加速度只與小球的水平速度u有關(guān)，故小球在豎直方向上做加速運(yùn)動設(shè)小球離開N端管口時(shí)的豎直分速度為vy，由運(yùn)動學(xué)公式得此時(shí)小球的合速度 故小球運(yùn)動的半徑為 （3）因洛侖茲力對小球做的功為零，由動能定理得管壁對小球做的功為： W=½mv2½mu2=quBh【例4】在兩塊平行金屬板A、B中，B板的正中央有一粒子源，可向各個(gè)方向射出速率不同的粒子，如圖所示若在A、B板中加上UABU0的電壓后，A板就沒有粒子射到，U0是粒子不能到達(dá)A板的最小電壓若撤去A、B間的電壓，為了使粒子不射到A板

8、，而在A、B之間加上勻強(qiáng)磁場，則勻強(qiáng)磁場的磁感強(qiáng)度B必須符合什么條件（已知粒子的荷質(zhì)比mq=2l×108kg/C，A、B間的距離d10cm，電壓U0=42×104V）？解析：粒子放射源向各個(gè)方向射出速率不同的粒子，設(shè)最大的速率為vm。則各個(gè)方向都有速率為vm的粒子當(dāng)A、B板加了電壓后，A、B兩板間的電壓阻礙粒子到達(dá)A板，其方向是垂直兩板并由A板指向B板。在無電場時(shí)，粒子在沿B向A板運(yùn)動方向上有d=vcost，其中是粒子速度與垂直兩板的直線的夾角在式中最容易到達(dá)A板的粒子應(yīng)有0，vvm，即其速度方向由B極指向A板，且速率最大的粒子，這些粒子若達(dá)不到A板，其余的粒子均達(dá)不到A板

9、由動能定理可得qU0mvm22；若撤去電場，在A、B間加上勻強(qiáng)磁場，這些粒子將做勻速圓周運(yùn)動，其半徑為R，R=mv/qB，由式可知，在B一定的條件下，v越大，R越大，越容易打到A板；反之，當(dāng)v值取最大值vm后，若所有具有vm的粒子不能達(dá)到A板，則所有的粒子均不能達(dá)到A板在所有方向上的粒子中，它們的軌跡剛好與A板相切的情況如圖所示在圖中與A板相切的軌跡中最小半徑為R3，若R3是具有速率為vm的粒子的半徑，則其它具有vm的粒子均不能到達(dá) A板若令R3為最小值Rmin時(shí)，即圖中Rmin= d2是所有粒子中軌跡與A板相切的最小半徑，將其代入式后得d2=mvm/qBmin，由兩式可得Bmin=2d=08

10、4T，所以，A、B兩板之間應(yīng)加上垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，且磁感強(qiáng)度 B 084 T時(shí)，所有的粒子均不能到達(dá)A板規(guī)律方法 ： 1、帶電粒子在磁場中運(yùn)動的圓心、半徑及時(shí)間的確定（1)用幾何知識確定圓心并求半徑 因?yàn)镕方向指向圓心，根據(jù)F一定垂直v，畫出粒子運(yùn)動軌跡中任意兩點(diǎn)（大多是射入點(diǎn)和出射點(diǎn)）的F或半徑方向，其延長線的交點(diǎn)即為圓心，再用幾何知識求其半徑與弦長的關(guān)系 (2)確定軌跡所對應(yīng)的圓心角，求運(yùn)動時(shí)間 先利用圓心角與弦切角的關(guān)系，或者是四邊形內(nèi)角和等于3600（或2）計(jì)算出圓心角的大小，再由公式t=T/3600（或T/2）可求出運(yùn)動時(shí)間(3)注意圓周運(yùn)動中有關(guān)對稱的規(guī)律 如從同一邊界射入的粒

11、子，從同一邊界射出時(shí)，速度與邊界的夾角相等；在圓形磁場區(qū)域內(nèi)，沿徑向射入的粒子，必沿徑向射出【例5】如圖所示，一束電子（電量為e）以速度v垂直射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，寬度為d的勻強(qiáng)磁場中，穿過磁場時(shí)速度方向與電子原來入射方向的夾角是300，則電子的質(zhì)量是 ，穿過磁場的時(shí)間是 。解析：電子在磁場中運(yùn)動，只受洛倫茲力作用，故其軌跡是圓弧一部分，又因?yàn)閒v，故圓心在電子穿入和穿出磁場時(shí)受到洛倫茲力指向交點(diǎn)上，如圖中的O點(diǎn)，由幾何知識知，AB間圓心角=300，OB為半徑所以r=d/sin300=2d 又由r=得m2dBev 又因?yàn)锳B圓心角是300，所以穿過時(shí)間 t=T=×=【例6】如圖所示，一

12、束電子以大小不同的速率沿圖示方向飛入橫截面是一正方形的勻強(qiáng)磁場，下列判斷正確的是（ ） A、電子在磁場中運(yùn)動時(shí)間越長，其軌跡線越長 B電子在磁場中運(yùn)動時(shí)間越長。其軌跡線所對應(yīng)的圓心角越大 C在磁場中運(yùn)動時(shí)間相同的電子，其軌跡線一定重合 D電子的速率不同，它們在磁場中運(yùn)動時(shí)間一定不相同解析：在圖中畫出了不同速率的電子在磁場中的軌跡，由前面的知識點(diǎn)可知軌跡的半徑R=mvqB，說明了半徑的大小與電子的速率成正比但由于電子在磁場中運(yùn)動時(shí)間的長短僅與軌跡所對應(yīng)的圓心角大小有關(guān)，故可判斷圖中五條軌跡線所對應(yīng)的運(yùn)動時(shí)間關(guān)系有t5t4t3t2t1顯然，本題選項(xiàng)中只有B正確 點(diǎn)評：本題所考查的是帶電粒子在矩形（

13、包括正方形）磁場中運(yùn)動的軌跡與相應(yīng)的運(yùn)動時(shí)間的關(guān)系問題不同速率的電子在磁場中的偏轉(zhuǎn)角大?。ㄒ簿褪窃诖艌鲋羞\(yùn)動時(shí)間的長短），由知識點(diǎn)中的周期表達(dá)式看來與半徑是沒有關(guān)系的，但由于磁場區(qū)域的邊界條件的限制，由圖說明了半徑不同，帶電粒子離開磁場時(shí)速度方向變化可能不同，也可能相同由周期關(guān)系式必須明確的一點(diǎn)是：帶電粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間長短決定于軌跡所對應(yīng)的圓心角【例7】如圖所示，半徑R=10cm的圓形區(qū)域邊界跟y軸相切于坐標(biāo)系原點(diǎn)O。磁感強(qiáng)度B0332 T，方向垂直于紙面向里，在O處有一放射源 S，可沿紙面向各個(gè)方向射出速率均為v=32×106m/s的粒子已知粒子的質(zhì)量m= 664×

14、1027 kg，電量q=32 ×1019 C（1）畫出粒子通過磁場空間做圓周運(yùn)動的圓心的軌跡（2）求出粒子通過磁場空間的最大偏轉(zhuǎn)角（3）再以過O點(diǎn)并垂直紙面的直線為軸旋轉(zhuǎn)磁場區(qū)域，能使穿過磁場區(qū)域且偏轉(zhuǎn)角最大的粒子射到正方向的y軸上，則圓形磁場直徑OA至少應(yīng)轉(zhuǎn)過多大的角度解析：（l）粒子的速度相同，在同一勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的半徑相同，均由洛侖茲力提供向心力 f= qvB=mv2r，rmvqB=20cm 所以粒子的圓心與S（即O點(diǎn)）的距離均為r，其圓心的軌跡為以S為圓心、以20cm為半徑的一段圓弧，如圖所示（2）由于粒子的軌道半徑r大于磁場區(qū)域的半徑R，粒子最長的軌跡所對應(yīng)的弦為2R=r=

15、20cm時(shí)，粒子在磁場中最大的偏轉(zhuǎn)角的軌跡就是粒子在磁場中最長的軌跡線，由于最長的軌跡線的弦長與其軌跡半徑相等，所以偏轉(zhuǎn)角的最大值為=600（3）由（2）中可知粒子的最大偏轉(zhuǎn)角為600；且所對的弦為OA，故粒子在磁場軌跡的入射點(diǎn)O和出射點(diǎn)A與其軌跡圓心O1的連線和OA組成一個(gè)正三角形，也就是粒子離開磁場時(shí)與x軸正方向的夾角300，如圖所示要使偏轉(zhuǎn)角最大的粒子離開磁場時(shí)能打在y軸的正方向上，則粒子與x軸的正方向夾角/900，則OA繞過O點(diǎn)的水平軸至少要轉(zhuǎn)過=/一600點(diǎn)評：帶電粒子在磁場中的軌跡不大于半圓時(shí)，要使帶電粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)角最大，就是要求帶電粒子在磁場中的軌跡線愈長（由于半徑確定），

16、即所對應(yīng)的弦愈長在圓形磁場中，只有直徑作為軌跡的弦長最長所以要求帶電粒子進(jìn)入磁場時(shí)的入射點(diǎn)、離開磁場時(shí)的出射點(diǎn)的連線為圓形磁場區(qū)域的直徑這是本題的難點(diǎn)。若是rR，情況就完全變了，這時(shí)帶電粒子在磁場中的軌跡可能大于半圓或等于半圓，帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期T=2mqB，這是一個(gè)與速度大小和半徑無關(guān)的物理量，也就是說在磁場中運(yùn)動時(shí)間長短僅與軌跡所對圓心花怒放角有關(guān)，在具體確定時(shí)還與磁場的邊界有關(guān)，矩形的邊界和圓形的邊界是不相同的 2、洛侖茲力的多解問題（1）帶電粒子電性不確定形成多解 帶電粒子可能帶正電荷，也可能帶負(fù)電荷，在相同的初速度下，正負(fù)粒子在磁場中運(yùn)動軌跡不同，導(dǎo)致雙解（2）磁場

17、方向不確定形成多解 若只告知磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，而未說明磁感應(yīng)強(qiáng)度方向，則應(yīng)考慮因磁場方向不確定而導(dǎo)致的多解（3）臨界狀態(tài)不惟一形成多解 帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場時(shí)，它可能穿過去，也可能偏轉(zhuǎn)1800從入射界面這邊反向飛出另在光滑水平桌面上，一絕緣輕繩拉著一帶電小球在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，若繩突然斷后，小球可能運(yùn)動狀態(tài)也因小球帶電電性，繩中有無拉力造成多解（4）運(yùn)動的重復(fù)性形成多解 如帶電粒子在部分是電場，部分是磁場空間運(yùn)動時(shí)，往往具有往復(fù)性，因而形成多解A·O【例8】如圖所示，一半徑為R的絕緣圓筒中有沿軸線方向的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，一質(zhì)量為m，帶電荷量為q的正粒子（

18、不計(jì)重力）以速度為v從筒壁的A孔沿半徑方向進(jìn)入筒內(nèi)，設(shè)粒子和筒壁的碰撞無電荷量和能量的損失，那么要使粒子與筒壁連續(xù)碰撞，繞筒壁一周后恰好又從A孔射出，問：(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小必須滿足什么條件？(2)粒子在筒中運(yùn)動的時(shí)間為多少？BO/解析:(1)粒子射入圓筒后受洛侖茲力的作用而發(fā)生偏轉(zhuǎn),設(shè)第一次與B點(diǎn)碰撞,撞后速度方向又指向O點(diǎn),設(shè)粒子碰撞n-1次后再從A點(diǎn)射出,則其運(yùn)動軌跡是n段相等的弧長.設(shè)第一段圓弧的圓心為O/,半徑為r,則=2/2n=/n.,由幾何關(guān)系得,又由r=mv/Bq,聯(lián)立得:(2)粒子運(yùn)動的周期為:T=2m/qB,將B代入得弧AB所對的圓心角粒子由A到B所用的時(shí)間 (n=3.

19、4.5)故粒子運(yùn)動的總時(shí)間為 (n=3.4.5)【例9】S為電子源，它只能在如圖（l）所示紙面上的3600范圍內(nèi)發(fā)射速率相同，質(zhì)量為m，電量為e的電子，MN是一塊豎直擋板，與S的水平距離OS=L，擋板左側(cè)充滿垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感強(qiáng)度為B（l）要使S發(fā)射的電子能到達(dá)擋板，則發(fā)射電子的速度至少多大？（2）若S發(fā)射電子的速度為eBLm時(shí)，擋板被電子擊中范圍多大？（要求指明S在哪個(gè)范圍內(nèi)發(fā)射的電子可以擊中擋板，并在圖中畫出能擊中擋板距O上下最遠(yuǎn)的電子的運(yùn)動軌道）【解析】（l）電子在磁場中所受洛侖較為提供向心力qBV= mV2/r 當(dāng)r= L/2時(shí)，速度v最小， 由、可得，V=eBL2m （2）

20、若S發(fā)射電子速率V/=eBLm，由eV/B=mV/2/r/ 可得：r/=L 由左手定則知，電子沿SO發(fā)射時(shí)，剛好到達(dá)板上的b點(diǎn)，且OB= r/= L，由SO逆時(shí)針轉(zhuǎn)1800的范圍內(nèi)發(fā)射的電子均能擊中擋板，落點(diǎn)由bOab/a，其中沿SO/發(fā)射的電并擊中擋板上的a點(diǎn)，且aO=L由上分析可知，擋板能被電子擊中的范圍由ab，其高度h=LL=（十l）L，擊中a、b兩點(diǎn)的電子軌跡，如圖（2）所示【例10】M、N、P為很長的平行邊界面，M、N與M、P間距分別為L1、L2，其間分別有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1和B2的勻強(qiáng)磁場區(qū)，和磁場方向垂直紙面向里，B1B2，有一帶正電粒子的電量為q，質(zhì)量為m，以大小為v的速度垂直邊

21、界M及磁場方向射入MN間的磁場區(qū)域，討論粒子初速度v應(yīng)滿足什么條件才可穿過兩個(gè)磁場區(qū)域（不計(jì)粒子的重力）。解析:先討論粒子穿出B1的條件：設(shè)粒子以某一速度v在磁場B1中運(yùn)動的圓軌跡剛好與M相切，此時(shí)軌跡半徑剛好為L1，由 得： 由此可得使粒子能穿出B1的條件是： 。再討論粒子穿出B2條件：又設(shè)粒子以某一的速度穿出了B1后在B2中穿過時(shí)其圓軌跡又剛好與P相切，如圖所示，粒子在B1中的運(yùn)動軌跡所對的圓心角為，那么：粒子在B2運(yùn)動的軌跡半徑為：由幾何知識得：RRsin=L2 所以有： 解得：，所以當(dāng)粒子的速度時(shí)就可以穿出B1和B2。課后練習(xí)：1.一個(gè)長螺線管中通有電流，把一個(gè)帶電粒子沿中軸線射入（若不計(jì)重力影響），粒子將在管中 （D）A做圓周運(yùn)動B沿軸線來回運(yùn)動C做勻加速直線運(yùn)動D做勻速直線運(yùn)動2.如圖所示，一個(gè)帶負(fù)電的滑環(huán)套在水平且足夠長的粗糙的絕緣桿上，整個(gè)裝置處于方向如圖所示的勻強(qiáng)磁場B中現(xiàn)給滑環(huán)施以一個(gè)水平向右的瞬時(shí)沖量，使其由靜止開始運(yùn)動，則滑環(huán)在桿上的運(yùn)動情況可能是 （ ABC ）A始終作勻速運(yùn)動