空間角與距離

1、.家教嗎助您登上知識(shí)的高峰 更多試題下載請(qǐng)?jiān)L問(wèn) 膈蒁螀螈肄蒁蒀羄羀蒀薂螆羋葿蚅羂膄薈螇螅肀薇蕆羀羆薆蕿螃芅薅螁羈芁薅襖袁膇薄薃肇肅膀蚆袀罿腿螈肅芇腿蕆袈膃羋薀肅聿芇螞袆羅芆襖蠆莄芅薄羄芀芄蚆螇膆芃蝿羃肂芃蒈螆羈節(jié)薁羈芇莁蚃螄膃莀螅罿肈荿蒅螂肄莈蚇肈羀莇螀袀艿莇葿肆膅莆薁衿肁蒞蚄肄羇蒄螆袇芆蒃蒆蝕膂蒂蚈裊膈蒁螀螈肄蒁蒀羄羀蒀薂螆羋葿蚅羂膄薈螇螅肀薇蕆羀羆薆蕿螃芅薅螁羈芁薅襖袁膇薄薃肇肅膀蚆袀罿腿螈肅芇腿蕆袈膃羋薀肅聿芇螞袆羅芆襖蠆莄芅薄羄芀芄蚆螇膆芃蝿羃肂芃蒈螆羈節(jié)薁羈芇莁蚃螄膃莀螅罿肈荿蒅螂肄莈蚇肈羀莇螀袀艿莇葿肆膅莆薁衿肁蒞蚄肄羇蒄螆袇芆蒃蒆蝕膂蒂蚈裊膈蒁螀螈肄蒁蒀羄羀蒀薂螆羋葿蚅羂膄薈螇螅

2、肀薇蕆羀羆薆蕿螃芅薅螁羈芁薅襖袁膇薄薃肇肅膀蚆袀罿腿螈肅芇腿蕆袈膃羋薀肅聿芇螞袆羅芆襖蠆莄芅薄羄芀芄蚆螇膆芃蝿羃肂芃蒈螆羈節(jié)薁羈芇莁蚃螄膃莀螅罿肈荿蒅螂肄莈蚇肈羀莇螀袀艿莇葿肆膅莆薁衿肁蒞蚄肄羇蒄螆袇芆蒃蒆蝕膂蒂蚈裊膈蒁螀螈肄蒁蒀羄羀蒀薂螆羋葿蚅羂膄薈螇螅肀薇蕆羀羆薆蕿螃芅薅螁羈芁薅襖袁膇薄薃肇肅膀蚆袀罿腿螈肅芇腿蕆袈膃羋薀肅聿芇螞袆羅芆襖蠆莄 空間角與距離【復(fù)習(xí)目標(biāo)】1、熟練轉(zhuǎn)化空間角與空間距離2、掌握運(yùn)用空間向量求解有關(guān)空間角與距離【課前熱身】1、在正三棱錐S-ABC中，E為SA的中點(diǎn)，F(xiàn)為ABC的中心，SA=BC，則異面直線與AB所成的角是 （ ）A、90° B、60°

3、; C、45° D、30°2、正四棱錐PABCD的高為PO，AB=2PO=2cm，則AB與側(cè)面PCD的距離為：( ) A、cm B、2cm C、cm D、3cm3、在底面邊長(zhǎng)為的正三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分別為側(cè)棱BB1、CC1上的點(diǎn)且EC=BC=2BD，則截面ADE與底面ABC所成的角為 A 、30°B、45°C、60°D、75°4、空間四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC中點(diǎn)，若AB1，CD，ABCD,則EF與CD所成的角為_(kāi)5、半球內(nèi)有一內(nèi)接正方體, 正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi). 若正方體的棱長(zhǎng)為, 則半球的體

4、積為 .【例題探究】例1、如圖，在四面體P-ABC中， PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，F(xiàn)是線段PB上一點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上，且EFPB.（1）求證：PB平面CEF；（2）求二面角BCEF的大小。例2. 在四棱錐PABCD中，ADAB，CDAB，PD底面ABCD，,直線PA與底面ABCD成60°角，點(diǎn)M、N分別是PA、PB的中點(diǎn)（1）求二面角PMND的大小；（2）如果CDN為直角三角形，求的值例3、如圖已知四棱錐PABCD，PA平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，A=90°且AB/CD，AB=CD.（1）點(diǎn)F在線段PC上運(yùn)動(dòng)，且設(shè)為何值時(shí)，BF/ 平面PAD？

5、并證明你的結(jié)論；（2）二面角FCDB為45°，求二面角BPCD的大??；（3）在（2）的條件下，若AD=2，CD=3，求點(diǎn)A到平面PBC的距離.【方法點(diǎn)撥】1、“三垂線法”是找二面角的平面角常用方法，進(jìn)而將平面角的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形；2、借助空間的角的大小可以得到三角形的邊的關(guān)系，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求角和距離也是一個(gè)重要的方法；3、靈活運(yùn)用體積法求點(diǎn)面距離，利用空間向量求解空間角與距離時(shí)關(guān)鍵是建立恰當(dāng)空間坐標(biāo)系，準(zhǔn)確得出各點(diǎn)、各向量的坐標(biāo)，再用相關(guān)公式求解空間角與距離。沖刺強(qiáng)化訓(xùn)練(23)班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) 成績(jī) 1將菱形ABCD沿對(duì)角線BD折起，A點(diǎn)變?yōu)锳，當(dāng)三棱錐ABDC體積最大

6、時(shí)，直線AC與平面BCD所成的角為： （ ）A、90° B、60° C、45° D、30°2、在一個(gè)45°的二面角的一個(gè)面內(nèi)有一條直線與二面角的棱成45°角，則此直線與二面角的另一個(gè)面所成的角為 （ ）A、30° B、45° C、60° D、90°3、將半徑都為1的4個(gè)鉛球完全裝人形狀為正四面體的容品里，這個(gè)正四面體的高最小值為（ ）A、B、C、D、4、如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是 （）A圓B拋物線C雙曲線D直線

7、5、一個(gè)棱長(zhǎng)都為a的正三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)全部在同一個(gè)球面上, 則此球的表面積為 ( )A、 B、 C、 D、6、設(shè)M、N是直角梯形ABCD兩腰的中點(diǎn)，DEAB于E(如圖)現(xiàn)將ADE沿DE折起，使二面角ADEB為45°，此時(shí)點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點(diǎn)B，則M、N的連線與AE所成角的大小等于_7、如圖，PA矩形ABCD所在平面，PA=AD=a， M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，（1）證明平面MND平面PCD；（2）若AB=，求二面角N-MD-C的大小。8、已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點(diǎn)。（1）證明：面PAD面

8、PCD；（2）求AC與PB所成的角；（3）求面AMC與面BMC所成二面角的大小。9、如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底長(zhǎng)為a，點(diǎn)M在邊BC上，AMC1是以點(diǎn)M為直A1B1C1ABCM角頂點(diǎn)的等腰直角三角形： 求證：點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn) 求點(diǎn)C到平面AMC1的距離 求二面角MAC1C的大小答案【課前熱身】1、C 2、A 3、B 4、30度5、18【例題探究】例1: （I）證明：PAC是以PAC為直角的直角三角形，同理可證PAB是以PAB為直角的直角三角形，PCB是以PCB為直角的直角三角形。故PA平面ABC又而故CFPB,又已知EFPBPB平面CEF（II）由（I）知PBCE, PA平面ABCA

9、B是PB在平面ABC上的射影，故ABCE在平面PAB內(nèi)，過(guò)F作FF1垂直AB交AB于F1，則FF1平面ABC，EF1是EF在平面ABC上的射影，EFEC故FEB是二面角BCEF的平面角。二面角BCEF的大小為例2解法一：（1）PMD為二面角PMND的平面角。4分 計(jì)算得二面角PMND的大小為120°。8分 （2）若CDN90°，與題意不符10分若DCN90°，可算得12分若DNC90°，可算得15分 解法二：用向量方法(略)例3：（1）當(dāng) 證明：取PD中點(diǎn)E，則EF/CD，且四邊形ABFE為平行四邊形. BF/AE. 又AE平面PAD BF/平面PAD

10、（2）平面ABCD，即是二面角的平面角 為等腰直角三角形，平面PCD 又BF/AE，平面PCD. 平面PBC，平面PCD平面PBC，即二面角BPCD的大小為90°. （3）在平面PCD內(nèi)作EHPC于點(diǎn)H，由平面PCD平面PBC且平面PCD平面PBC=PC知：EH平面PBC. 在，在代入得：即點(diǎn)E到平面PBC的距離為 又點(diǎn)A到平面PBC的距離為【沖刺強(qiáng)化訓(xùn)練23】1、C 2 、A 3、 C 4、B 5、A 6、 7方法一：M、N分別是點(diǎn)AB、PC的中點(diǎn)，可得=1/2 （+）由于·=1/2（+）·=1/2（·+·）=0 ·=1/2 （+）

11、·（）=1/2（+）（-）=0MNCD MNDP MN平面PCD =>平面MND平面PCD底面的法向量為，得平面MND的法向量為=+ ·=（+）·（）= ·+·= a2+a2=0=·=（+）·1/2 （+）=1/2 （|2+·）=1/2 （a2+a2）=0=M= 1= +cos= =二面角NMDC為60解法二：連PM、MC易得PM=MC 又N為PC的中點(diǎn)，MNPC取DC的中點(diǎn)為Q。連MQ ，NQ則NQ/PD MQ/ADPA面ABCD，又DACD由三垂線定理的逆定理得PDCDNQCD，MQCDCD面MNQ CD

12、MNMN平面PCD ，MN 面MND 平面MND平面PCD。 連AC取AC的中點(diǎn)O，則NO平面ABCD過(guò)O作OEDM 連NE 由三垂線定得得NEDMNEO為二面角NMDC的平面角其中NO=PA=a；AC= a DM= a OE= tanNEO= NEO=60°，即二面角NMDC為60°8方案一：（）證明：PA面ABCD，CDAD，由三垂線定理得：CDPD.因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直，CD面PAD.又CD面PCD，面PAD面PCD.（）解：過(guò)點(diǎn)B作BE/CA，且BE=CA，則PBE是AC與PB所成的角.連結(jié)AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2

13、，所以四邊形ACBE為正方形. 由PA面ABCD得PEB=90°在RtPEB中BE=，PB=， （）解：作ANCM，垂足為N，連結(jié)BN.在RtPAB中，AM=MB，又AC=CB，AMCBMC,BNCM，故ANB為所求二面角的平面角.CBAC，由三垂線定理，得CBPC，在RtPCB中，CM=MB，所以CM=AM.在等腰三角形AMC中，AN·MC=，. AB=2，故所求的二面角為方法二：因?yàn)镻APD，PAAB，ADAB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（

14、0，1，.（）證明：因由題設(shè)知ADDC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD面PCD.（）解：因（）解：在MC上取一點(diǎn)N（x，y，z），則存在使要使為所求二面角的平面角.9 解法一： 設(shè)=，=，=令=（0）=依題得：·=0 ，·=0，·=1/2 a2·=（）·（）=22+ =22 =（2/2）a2 =0所以=1/2 ，即點(diǎn)M為BC的中點(diǎn) 設(shè)點(diǎn)H為點(diǎn)C在平面AMC1上的射影令= 且x+y+z=1，由又由得，點(diǎn)C到平面AMC1的距離為a 平面AMG的法向量為平面AC1C的法向量為，其中N為AC

15、的中點(diǎn)， 則二面角MAC1C為45°解法二： C1C面ABC； C1MAM由三垂線定理的逆定理解CMAM ABC為正三角形，AM為ABC的中線，即點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)利用等積法VcAMC1=Vc1AMC 可得C到平面AMC1的距離為 a過(guò)M作MEAC，垂足為E，過(guò)E作EFAC1交AC1于點(diǎn)F，連MF，則EFM為二面角MAC1C的平面角，易得EFM=45° 羋薇羈芃羋蝕螁腿莇螂羆肅莆蒂蝿羈蒞薄羄莀莄螆螇芆莃衿肅膂莂薈裊肈莂蝕肁羄莁螃襖節(jié)蒀蒂聿膈葿薅袂肄蒈蚇肇羀蕆衿袀荿蒆蕿螃芅蒆蟻罿膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃薃薆螀節(jié)薂蚈羅膇薁螀螈膃薀薀肅聿薀螞袆莈蕿螅肂芄薈袇裊膀薇薆肀肆芄蠆袃羂芃螁肈芁節(jié)蒁袁芇芁蚃膇膃芀螅罿聿艿袈螂莇羋薇羈芃羋蝕螁腿莇螂羆肅莆蒂蝿羈蒞薄羄莀莄螆螇芆莃衿肅膂莂薈裊肈莂蝕肁羄莁螃襖節(jié)蒀蒂聿膈葿薅袂肄蒈蚇肇羀蕆衿袀荿蒆蕿螃芅蒆蟻罿膁蒅螄螁肇蒄蒃羇羃薃薆螀節(jié)薂蚈羅膇薁