最新必修二立體幾何典型例題

1、精品文檔必修二立體幾何典型例題【知識要點】1 ?空間直線和平面的位置關(guān)系：(1) 空間兩條直線： 有公共點：相交，記作：a n b = A, 其中特殊位置關(guān)系：兩直線垂直相交. 無公共點：平行或異面.平行，記作： a/ b ? 異面中特殊位置關(guān)系：異面垂直.(2) 空間直線與平面： 有公共點：直線在平面內(nèi)或直線與平面相交.直線在平面內(nèi)，記作：a 二： -.直線與平面相交，記作：a n : = A, 其中特殊位置關(guān)系：直線與平面垂直相交. 無公共點：直線與平面平行，記作：a /: .(3) 空間兩個平面： 有公共點：相交，記作：: n = I，其中特殊位置關(guān)系：兩平面垂直相交. 無公共點：平行，

2、記作：:-/.2. 空間作為推理依據(jù)的公理和定理：(1) 四個公理與等角定理：公理 1 : 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi).公理 2: 過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.公理 3 : 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.公理 4: 平行于同一條直線的兩條直線互相平行.定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補.(2) 空間中線面平行、垂直的性質(zhì)與判定定理： 判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行

3、，那么這兩個平面平行.如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直. 性質(zhì)定理：如果一條直線與一個平面平行，那么經(jīng)過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行 .如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行. 垂直于同一個平面的兩條直線平行.如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直.(3) 我們把上述判定定理與性質(zhì)定理進行整理，得到下面的位置關(guān)系圖:直線 "/ 平面平面 / 平面直線丄直線直線丄平向平面丄平面【例題分析】精品文檔精品文檔例 2 在四棱錐

4、P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四邊形， M , N 分別是 AB, PC 的中 點，求證： MN / 平面 PAD .D【分析】要證明“線面平行”，可通過“線線平行”或“面面平行”進行轉(zhuǎn)化；題目中出現(xiàn)了中點的條件，因此可考慮構(gòu)造( 添加 ) 中位線輔助證明 .證明：方法一，取PD 中點 E, 連接 AE,NE.?底面 ABCD 是平行四邊形， M ,N 分別是 AB,PC 的中點，1? MA /CD ,MA CD.2TE是PD的中點，1?NE/CD,NECD.2? MA / NE，且 MA = NE ,? AENM 是平行四邊形，? MN/ AE.又 AE 平面 PAD , MN 二

5、平面 PAD , ? MN/平面 PAD.方法二取 CD 中點 F，連接 MF ,NF .?/ MF /AD,NF /PD,?平面 MNF / 平面 PAD ,?MN/平面FAD.【評述】關(guān)于直線和平面平行的問題，可歸納如下方法:(1) 證明線線平行：a / c, b / c,a / a, a=3a/ 3a 丄 a, b 丄 aaCl 3= b? Ca= a, C 3=b=> a / b二 a /b二 a / b=> a / b(2) 證明線面平行 :a C a= 0a / ba/ 3a, a aa= 3=a / a二 a / a二 a / a(3) 證明面面平行 :aC3= 0a

6、 / 3b / 3a 丄 a, a 丄 3a/ 才,3/ 'a , b 匚a, a Ab= An a/3二a/ 3n a/ 3二 a/ 3精品文檔精品文檔于經(jīng)過 BC 1 的平面即可 .證明：連接 AC i .? ABC AiBiCi 是直三棱柱，? AA1±平面 ABC ,? AB丄 AA1.又AB丄AC,? AB 丄平面 AiACC i, ?- AiC 丄 AB . 又 AAi = AC ,?側(cè)面 AiACC i 是正方形，?- AiC 丄 AC i. 由，得AiC 丄平面 ABC i ,?- AiC 丄 BC i.【評述】空間中直線和平面垂直關(guān)系的論證往往是以"

7、; 線面垂直”為核心展開的 . 如本題已知條件中出現(xiàn)的“直三棱柱”及“AB 丄 AC ”都要將其向“線面垂直”進行轉(zhuǎn)化.例 4 在三棱錐 P ABC 中，平面 PAB 丄平面 ABC , AB 丄 BC, AP I PB, 求證：平面 PAC 丄平面 PBC .【分析】要證明“面面垂直”，可通過“線面垂直”進行轉(zhuǎn)化，而“線面垂直”又可 以通過“線線垂直”進行轉(zhuǎn)化.證明：?平面 PAB 丄平面ABC ，平面 FAB 門平面ABC = AB, 且 AB 丄 BC,? BC 丄平面 PAB ,? APIBC.又 API PB,精品文檔精品文檔? APX 平面 PBC , 又 AP 二平面 PAC ,

8、?平面 PAC 丄平面 PBC .【評述】關(guān)于直線和平面垂直的問題，可歸納如下方法:(1) 證明線線垂直：a 丄 c,b /c,a 丄bUaa二 a 丄 bn a 丄 b(1) 證明線面垂直 :a 丄 m,a 丄 na /b,b 丄 aa / B, a 丄 Ba 丄 B, aQ B= lm, n 二 a, m Qn = AaU B , a 丄 l=> a 丄 a=a 丄 a=> a 丄 an a 丄 a(1) 證明面面垂直 :a 丄 B, aU an a 丄 B例 5 如圖，在斜三棱柱ABC A1B1C1 中，側(cè)面 AIABB I 是菱形，且垂直于底面ABC ,(I )求證：直線

9、EF / 平面 A1 ACC 1；(H )在線段 AB 上確定一點G, 使平面 EFG 丄平面 ABC ，并給出證明 .證明： ( I )連接 A1C,A1E.T 側(cè)面 A1ABB 1 是菱形，E 是 AB1 的中點，? E 也是 A1B 的中點，又 F 是 BC 的中點， ? EF /A1C.TA1C 平面 A1 ACC 1 , EF 二平面A1ACC 1,?直線 EF / 平面 A1 ACC 1.BG 1解：當時，平面 EFG 丄平面 ABC ，證明如下：GA 3連接EG,FG.?側(cè)面 A1ABB 1 是菱形，且 /A1AB = 60°,. ? . A A1AB 是等邊三角形 .

10、BG 1? E是 A1B 的中點，? EG 丄 AB .GA 3T 平面 A1ABB 1 丄平面 ABC ，且平面A1ABB 1Q 平面 ABC = AB,?EG 丄平面 ABC .又 EG 二平面 EFG ，?平面EFG 丄平面 ABC .精品文檔精品文檔例 6 如圖，正三棱柱ABC A1B1 C1 中， E 是 AC 的中點 .精品文檔精品文檔(I )求證：平面 BEC丄平面 ACCA； (n )求證： AB / 平面 BEC i11i【分析】本題給出的三棱柱不是直立形式的直觀圖，這種情況下對空間想象能力提出了更高的要求，可以根據(jù)幾何體自身的性質(zhì)，適當添加輔助線幫助思考.證明： ( I )

11、T ABC A1B1C1是正三棱柱， ? AA 1±平面 ABC ,丄AA1.? BE?/ ABC 是正三角形， E 是 AC 的中點， ? BE 丄 AC , .BE 丄平面ACC iAi ,又 BE 平 面BEC 1,?平面 BEC 平面ACC 1A1.(n )證明：連接BiC，設(shè)BC iH BiC = D .? BCC1 B1 是矩形， D 是 BiC 的中點，? DE /AB i.又 DE 平面BEC i,AB i 二平面BEC i,? AB i /平面 BEC i .例 7 在四棱錐P ABCD 中，平面FAD 丄平面ABCD ,AB /DC , PAD 是等邊三角形，已知BD = 2AD = 8,AB=2DC=4.5.(I )設(shè) M 是 PC 上的一點，證明：平面MBD 丄平面 FAD ;(n )求四棱錐 P ABCD 的體積 .【分析】本題中的數(shù)量關(guān)系較多，可考慮從“算”的角度入手分析，如從M是PC上的動點分析知， MB ,MD 隨點 M 的變動而運動，因此可考慮平面MBD 內(nèi)“不