小學(xué)奧數(shù)：抽屜原理(含答案)(共4頁(yè))

1、 教案抽屜原理1、 概念解析把3個(gè)蘋(píng)果任意放到兩個(gè)抽屜里，可以有哪些放置的方法呢？一個(gè)抽屜放一個(gè)，另一個(gè)抽屜放兩個(gè)；或3個(gè)蘋(píng)果放在某一個(gè)抽屜里.盡管放蘋(píng)果的方式有所不同，但是總有一個(gè)共同的規(guī)律：至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋(píng)果.如果把5個(gè)蘋(píng)果任意放到4個(gè)抽屜里，放置的方法更多了，但仍有這樣的結(jié)果.由此我們可以想到，只要蘋(píng)果的個(gè)數(shù)多于抽屜的個(gè)數(shù)，就一定能保證至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋(píng)果.道理很簡(jiǎn)單：如果每個(gè)抽屜里的蘋(píng)果都不到兩個(gè)（也就是至多有1個(gè)），那么所有抽屜里的蘋(píng)果數(shù)的和就比總數(shù)少了.由此得到：抽屜原理：把多于n個(gè)的蘋(píng)果放進(jìn)n個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋(píng)

2、果。如果把蘋(píng)果換成了鴿子，把抽屜換成了籠子，同樣有類(lèi)似的結(jié)論，所以有時(shí)也把抽屜原理叫做鴿籠原理.不要小看這個(gè)“原理”，利用它可以解決一些表面看來(lái)似乎很難的數(shù)學(xué)問(wèn)題。比如，我們從街上隨便找來(lái)13人，就可以斷定他們中至少有兩個(gè)人屬相（指鼠、牛、虎、兔、等十二種生肖）相同.怎樣證明這個(gè)結(jié)論是正確的呢？只要利用抽屜原理就很容易把道理講清楚.事實(shí)上，由于人數(shù)（13）比屬相數(shù)（12）多，因此至少有兩個(gè)人屬相相同（在這里，把13人看成13個(gè)“蘋(píng)果”，把12種屬相看成12個(gè)“抽屜”）。應(yīng)用抽屜原理要注意識(shí)別“抽屜”和“蘋(píng)果”，蘋(píng)果的數(shù)目一定要大于抽屜的個(gè)數(shù)。2、 例題講解 例1 有5個(gè)小朋友，每人都從裝有許多

3、黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請(qǐng)你證明，這5個(gè)人中至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。例2 一副撲克牌（去掉兩張王牌），每人隨意摸兩張牌，至少有多少人才能保證他們當(dāng)中一定有兩人所摸兩張牌的花色情況是相同的？例3 從2、4、6、30這15個(gè)偶數(shù)中，任取9個(gè)數(shù)，證明其中一定有兩個(gè)數(shù)之和是34。例4 從1、2、3、4、19、20這20個(gè)自然數(shù)中，至少任選幾個(gè)數(shù)，就可以保證其中一定包括兩個(gè)數(shù)，它們的差是12。分析與解答在這20個(gè)自然數(shù)中，差是12的有以下8對(duì)：20，8，19，7，18，6，17，5，16，4，15，3，14，2，13，1。另外還有4個(gè)不能配對(duì)的數(shù)9，10，11，12，

4、共制成12個(gè)抽屜（每個(gè)括號(hào)看成一個(gè)抽屜）.只要有兩個(gè)數(shù)取自同一個(gè)抽屜，那么它們的差就等于12，根據(jù)抽屜原理至少任選13個(gè)數(shù)，即可辦到（取12個(gè)數(shù)：從12個(gè)抽屜中各取一個(gè)數(shù)（例如取1，2，3，12），那么這12個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差必不等于12）。例5 從1到20這20個(gè)數(shù)中，任取11個(gè)數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。例6 證明：在任取的5個(gè)自然數(shù)中，必有3個(gè)數(shù)，它們的和是3的倍數(shù)。例7 某校校慶，來(lái)了n位校友，彼此認(rèn)識(shí)的握手問(wèn)候.請(qǐng)你證明無(wú)論什么情況，在這n個(gè)校友中至少有兩人握手的次數(shù)一樣多。五 課堂練習(xí)1.從10至20這11個(gè)自然數(shù)中，任取7個(gè)數(shù)，證明其中一定有兩個(gè)數(shù)之和是29。2

5、.從1、2、3、20這20個(gè)數(shù)中，任選12個(gè)數(shù)，證明其中一定包括兩個(gè)數(shù)，它們的差是11。3.20名小圍棋手進(jìn)行單循環(huán)比賽（即每個(gè)人都要和其他任何人比賽一次），證明：在比賽中的任何時(shí)候統(tǒng)計(jì)每人已經(jīng)賽過(guò)的場(chǎng)次都至少有兩位小棋手比賽過(guò)相同的場(chǎng)次。4.從整數(shù)1、2、3、199、200中任選101個(gè)數(shù)，求證在選出的這些自然數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)，其中的一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù).5.將這11個(gè)自然數(shù)分成下列6組：10，19，11，18，12，17，13，16，14，15，20，從中任取7個(gè)數(shù)，根據(jù)抽屜原理，一定有兩個(gè)數(shù)取自同一數(shù)組，則這兩個(gè)數(shù)的和是29。分析與解答 首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以

6、有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4種配組情況，看作4個(gè)抽屜.把每人的3枚棋作為一組當(dāng)作一個(gè)蘋(píng)果，因此共有5個(gè)蘋(píng)果.把每人所拿3枚棋子按其顏色配組情況放入相應(yīng)的抽屜.由于有5個(gè)蘋(píng)果，比抽屜個(gè)數(shù)多，所以根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)蘋(píng)果在同一個(gè)抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。分析與解答 撲克牌中有方塊、梅花、黑桃、紅桃4種花色，2張牌的花色可以有：2張方塊，2張梅花，2張紅桃，2張黑桃，1張方塊1張梅花，1張方塊1張黑桃，1張方塊1張紅桃，1張梅花1張黑桃，1張梅花1張紅桃，1張黑桃1張紅桃共計(jì)10種情況.把這10種花色配組看作10個(gè)抽屜，只要蘋(píng)果的個(gè)數(shù)比抽屜的個(gè)數(shù)多1個(gè)就可以有題目所

7、要的結(jié)果.所以至少有11個(gè)人。分析與解答 我們用題目中的15個(gè)偶數(shù)制造8個(gè)抽屜：凡是抽屜中有兩個(gè)數(shù)的，都具有一個(gè)共同的特點(diǎn)：這兩個(gè)數(shù)的和是34。現(xiàn)從題目中的15個(gè)偶數(shù)中任取9個(gè)數(shù)，由抽屜原理（因?yàn)槌閷现挥?個(gè)），必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中.由制造的抽屜的特點(diǎn)，這兩個(gè)數(shù)的和是34。分析與解答 根據(jù)題目所要求證的問(wèn)題，應(yīng)考慮按照同一抽屜中，任意兩數(shù)都具有倍數(shù)關(guān)系的原則制造抽屜.把這20個(gè)數(shù)按奇數(shù)及其倍數(shù)分成以下十組，看成10個(gè)抽屜（顯然，它們具有上述性質(zhì)）：1，2，4，8，16，3，6，12，5，10，20，7，14，9，18，11，13，15，17，19。從這10個(gè)數(shù)組的20個(gè)數(shù)中任取11個(gè)數(shù)，根

8、據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)數(shù)取自同一個(gè)抽屜.由于凡在同一抽屜中的兩個(gè)數(shù)都具有倍數(shù)關(guān)系，所以這兩個(gè)數(shù)中，其中一個(gè)數(shù)一定是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。分析與解答 按照被3除所得的余數(shù)，把全體自然數(shù)分成3個(gè)剩余類(lèi)，即構(gòu)成3個(gè)抽屜.如果任選的5個(gè)自然數(shù)中，至少有3個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜，那么這3個(gè)數(shù)除以3得到相同的余數(shù)r，所以它們的和一定是3的倍數(shù)（3r被3整除）。如果每個(gè)抽屜至多有2個(gè)選定的數(shù)，那么5個(gè)數(shù)在3個(gè)抽屜中的分配必為1個(gè)，2個(gè)，2個(gè)，即3個(gè)抽屜中都有選定的數(shù).在每個(gè)抽屜中各取1個(gè)數(shù)，那么這3個(gè)數(shù)除以3得到的余數(shù)分別為0、1、2.因此，它們的和也一定能被3整除（0+1+2被3整除）。分析與解答 共有n位校友，每個(gè)人握手的次數(shù)最少是0次，即這個(gè)人與其他校友都沒(méi)有握過(guò)手；最多有n-1次，即這個(gè)人與每位到會(huì)校友都握了手.校友人數(shù)與握手次數(shù)的不同情況（0，1，2，n-1）數(shù)都是n，還無(wú)法用抽屜原理。然而，如果有一個(gè)校友握手的次數(shù)是0次，那么握手次數(shù)最多的不能多于n-2次；如果有一個(gè)校友握手的次數(shù)是n-1次，那么握手次數(shù)最少的