2017-2018學年高中數學第四章定積分章末小結知識整合與階段檢測教學案北師大版選修2-2

1、第四章定積分一、定積分1. 定積分的概念：af(x)dx叫函數f(x)在區(qū)間a,b上的定積分.2. 定積分的幾何意義：fb當f(x)0時，f(x)dx表示的是y=f(x)與直線x=a,x=b和x軸所圍成的曲邊梯1a形的面積.3.定積分的性質:(1) /b1dx=b-a.，kf(x)dx=k f(x)dx.aa bI b，af(x) 士g(x)dx= .af(x)dxag(x)dx.af(x)dx=.af(x)dx+.cf(x)dx.定積分的幾何意義和性質相結合求定積分是常見類型，多用于被積函數的原函數不易 求，且被積函數是熟知的圖形.二、微積分基本定理1.如果連續(xù)函數f(x)是函數F(x)的導

2、函數，即f(x) =F(x)，則 Jf(x)dx=F(x) |S=F(b) -F(a).2.利用微積分基本定理求定積分，其關鍵是找出被積函數的一個原函數.求一個函數的原函數與求一個函數的導數是互逆運算，因此，應熟練掌握一些常見函數的導數公式.三、定積分的簡單應用對應學生用P442定積分的應用在于求平面圖形的面積及簡單旋轉幾何體的體積，解題步驟為:3畫出圖形.確定圖形范圍，通過解方程組求出交點的橫坐標, 確定被積函數.寫出平面圖形面積或旋轉體體積的定積分表達式.計算定積分，求出平面圖形的面積或旋轉幾何體的體積.（時間 90 分鐘，滿分 120 分）、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 5 分，

3、共 50 分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的）B . e- 1D.e + 1答案:A.D.不確定k解析：/0(2x 3x2)dx= (x2x3)=k2k3= 0,0 k= 0(舍去)或k= 1,故選 B.答案：B定出積分上、下限.運用微積分基本定理對應階段質量檢測IL見 8 開試卷1 .已知 /f(x)dx=m則/bn f(x)dx=()C. mn解析：根據定積分的性質，答案：CB.m- nnD.m/bnf(x)dx=n/(x)dx=mn2./0(ex+ 2x)dx等于(A.C.解析:/0(ex+ 2x)dx= (e+x2)=(e1+ 1) e= e,故選 C.3./k(2x

4、 3x2)dx= 0,則k等于（C.44.(江西高考)若f(x) =x2+ 2f(x)dx， 匚f(x)dx=()A. 151c.3解析： f(x) =X2+ 20f(x)dx, 0f(x)dx= 3x3+2x0fxdx丄1+20f(x)dx.110f(x)dx 3.答案：B5.已知f(x)為偶函數且，f(x)dx= 8,則，gf(x)dx=(A. 0C. 86f(x)dx= 20f(x)dx= 16.答案：D6從如圖所示的長方形區(qū)域內任取一個點Mx,y)，則點M取自陰影部分的概率為1B.1D51解析：根據題意得S陰影=/03x?dx=x= 1，則點M取自陰影部分的概率為01 13X1 =3.

5、答案：B7由y=x2與直線y= 2x- 3 圍成的圖形的面積是(32B.TD.16解析：Tf(x)為偶函數，.其圖像關于y軸對稱,S陰影S長方形5A316答案：Cv=gt,則落體運動從t= 0 到t=to所走的路程為（A. gt2gt2D 6解析：s=/tv(t)dt= 2gt2|t00=答案：C10.如圖，兩曲線y= 3x2與y=x22x 1 所圍成的圖形面積是（D.9- 2y= x,解析：解*得交點A3, 9),耳 1 , 1).y= 2x 3,則y= x2與直線y= 2x 3 圍成的圖形的面積S= /3(x2)dx /3(2x 3)dx1311/2 I132答案：B&由曲線y=

6、.x,x=4 和x軸所圍成的平面圖形繞( )A. 16nB.32nC. 8nD.4nx軸旋轉生成的旋轉體的體積為解析：由圖知旋轉體的體積為2.n2 Idx=x|2 I4o=8n9.已知自由落體運動的速率64冗7A. 6C. 12D.38y= 3 -x,解析：由*2y=x 2x 1,解得交點(1,2) , (2 , 1),所以S= /-1(3 x2) (X2 2x 1)dx=/1( 2x2+ 2x+ 4)dx=9.答案：B二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分請把正確的答案填在題中的橫線上)11. 1Jn3 cosxdx=.0解析：3 cosxdx= sinx3= .J 0

7、20答案：212.設函數f(x) =ax2+c(a0),若 /if(x)dx=f(xo) , 0 xo 1,則xo的值為_3、解析:1a2o= -+c=axo+c,t2)dt=4 3t2t33=144(cm ).|x3+x2+ 4x3C. 12D.39答案：1441014.已知函數y=f(x)的圖像是折線段ABC其中A(0,0) , B* 5 ,C(1,0).函數y=xf(x)(0wx 1)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為 _ .110 x,0Wxw2，解析：由題意可得f(x)=10-10 x,2xw1,亠 2f2110 x,owxw2,所以y=xf(x)=2110 x10 x,-xw1.j2與

8、x軸圍成的圖形的面積為122(10 x 10 x)dx5答案：54三、解答題（本大題共 4 小題，共 50 分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.（本小題滿分 12 分）求由曲線y=x2+ 2 與直線y= 3x,x= 0,x= 2 所圍成的平面圖 形的面積.r12r22解：S=, o（x+ 2 3x）dx+, i（3xx 2）dx1332113322=ix於 + 2x|0+ i + 歹2x11131313=一一+2+ -X8+_X44 一 + _232323252 5 5 2=一一 一+ = 一一一= 1.63 6 3 316.（本小題滿分 12 分）如圖，求由曲線y=x2,

9、4y=x2及直線y= 1 所圍圖形的面 積.103=5x12210 xdx+1+111-11ro1rl1-272 *-1解：由圖形的對稱性知，所求圖形面積為位于y軸右側圖形面積的 2 倍.得C(1，- 1) 同理得D(2 , - 1).則所求圖形的面積廠 一2廠II XS= 2o-42 2=2f o-dx f ?dx+ f2dx法二：同法一得C(1 , 1) ,D(2 , 1).則所求圖形的面積為S= 2f-1(2p /)dyxt17.(本小題滿分 12 分)已知函數f(x) = e 1,直線l1：x= 1,12：y= e 1(t為常數， 且 OWtW1),直線11,12與函數f(x)的圖像圍

10、成的封閉圖形， 以及直線12,y軸與函數f(x) 的圖像圍成的封閉圖形如圖中陰影部分所示求當t變化時，陰影部分的面積的最小值.解：依題意知，陰影部分的面積S= fo(e1e+1)dx+ ft(e1e+1)dxi . t x1 . xt .=fo(ee )dx+ ft(ee )dx-| - 2dx+f2扌1x-x- 212412t1. tX、.xt .=(xe e )+ (e xe )0t=(21 -)e + e+1,令g(t) = (2t -)et+ e+1(0WtW1),13則g(t) = (2t 1)e(,1取g(t)= o,解得t=2/of(x)dx= /o(ax2+c)dx= ax3+

11、cx1xo=答案：刁313.有一橫截面面積為4 cm2的水管控制往外流水，打開水管后ts 末的流速為v(t)(t)0 ,g(t)是增函數.因此g(t)的最小值為g2 = e+ 1 2e1 = ( e 1)2,故陰影部分的面積的最小值為(e 1)2.131218.(本小題滿分 14 分)已知函數f(x) = 3X+ 2ax+bx,f(x)是函數f(x)的導數.在32區(qū)間1,1內任取實數a,b,求方程f(x)= 0 有實數根的概率.2解：f(x) =x+ax+b.若方程f(x) = 0,即卩x2+ax+b= 0 有實數根，則0,即卩a24b,代aw1,因此方程f(x) = 0 有實數根的條件是 1wbw1,2a 4b,滿足此不等式組的點Ra,b)形成的圖形為圖中陰影部分，其面積為S= /1仃1(234 +1如 121而坐標滿足