2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第1講　直線(xiàn)的傾斜角與斜率、直線(xiàn)方程

1、第 1 講直線(xiàn)的傾斜角與斜率、直線(xiàn)方程一、知識(shí)梳理1直線(xiàn)的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線(xiàn) l 與 x 軸相交時(shí)，取 x 軸作為基準(zhǔn)，x 軸正向與直線(xiàn) l 向上方向之間所成的角叫做直線(xiàn) l 的傾斜角(2)規(guī)定：當(dāng)直線(xiàn) l 與 x 軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為 0(3)范圍：直線(xiàn) l 的傾斜角的范圍是0，)2直線(xiàn)的斜率(1)直線(xiàn) l 的傾斜角為2，則 l 的斜率 ktan_(2)兩點(diǎn) p1(x1，y1)，p2(x2，y2)在直線(xiàn) l 上，且 x1x2，則 l 的斜率 ky2y1x2x13直線(xiàn)方程的五種形式名稱(chēng)方程形式適用條件點(diǎn)斜式y(tǒng)y0k(xx0)不能表示斜率不存在的直線(xiàn)斜截式y(tǒng)kxb兩點(diǎn)式y(tǒng)y1y

2、2y1xx1x2x1不能表示平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)截距式xayb1不能表示平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)和過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)一般式axbyc0(a，b 不同時(shí)為零)可以表示所有類(lèi)型的直線(xiàn)常用結(jié)論1直線(xiàn)的傾斜角和斜率的關(guān)系(1)直線(xiàn)都有傾斜角，但不一定都有斜率(2)不是傾斜角越大，斜率 k 就越大，因?yàn)?ktan ，當(dāng)0，2 時(shí)，越大，斜率 k 就越大，同樣2，時(shí)也是如此，但當(dāng)0，)且2時(shí)就不是了2識(shí)記幾種特殊位置的直線(xiàn)方程(1)x 軸：y0.(2)y 軸：x0.(3)平行于 x 軸的直線(xiàn)：yb(b0)(4)平行于 y 軸的直線(xiàn)：xa(a0)(5)過(guò)原點(diǎn)且斜率存在的直線(xiàn)：ykx.二、教材衍化1經(jīng)過(guò)點(diǎn) p(2，3)，傾

3、斜角為 45的直線(xiàn)方程為_(kāi)答案：xy502經(jīng)過(guò)點(diǎn) a(1，0)，b(2，2)兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為_(kāi)答案：2x3y203若過(guò)點(diǎn) m(2，m)，n(m，4)的直線(xiàn)的斜率等于 1，則 m 的值為_(kāi)解析：由題意得m42m1，解得 m1.答案：1一、思考辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)直線(xiàn)的傾斜角越大，其斜率就越大()(2)直線(xiàn)的斜率為 tan ，則其傾斜角為.()(3)斜率相等的兩直線(xiàn)的傾斜角不一定相等()(4)經(jīng)過(guò)點(diǎn) p(x0，y0)的直線(xiàn)都可以用方程 yy0k(xx0)表示()(5)經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn) p1(x1，y1)，p2(x2，y2)的直線(xiàn)都可以用方程(yy1)(x2x1)(x

4、x1)(y2y1)表示()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易錯(cuò)糾偏常見(jiàn)誤區(qū)|(1)對(duì)傾斜角的取值范圍不清楚；(2)忽略截距為 0 的情況1直線(xiàn) x 3y10 的傾斜角是()a6b3c23d56解析：選 d由直線(xiàn)的方程得直線(xiàn)的斜率為 k33，設(shè)傾斜角為，則 tan 33，所以56.2過(guò)點(diǎn) p(2，3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)方程為_(kāi)解析：當(dāng)縱、橫截距均為 0 時(shí)，直線(xiàn)方程為 3x2y0；當(dāng)縱、橫截距均不為 0 時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為xaya1，則2a3a1，解得 a5.所以直線(xiàn)方程為 xy50.答案：3x2y0 或 xy50考點(diǎn)一直線(xiàn)的傾斜角與斜率(基礎(chǔ)型)復(fù)習(xí)指導(dǎo)|1.在平面直角坐標(biāo)系中

5、，結(jié)合具體圖形掌握確定直線(xiàn)位置的幾何要素2理解直線(xiàn)的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率的計(jì)算公式核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)運(yùn)算(1)直線(xiàn) xsin y20 的傾斜角的取值范圍是()a0，)b0，4 34，c0，4d0，4 2，(2)直線(xiàn) l 過(guò)點(diǎn) p(1，0)，且與以 a(2，1)，b(0， 3)為端點(diǎn)的線(xiàn)段有公共點(diǎn)，則直線(xiàn) l 斜率的取值范圍為_(kāi)【解析】 (1)設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為， 則有 tan sin .因?yàn)?sin 1， 1， 所以1tan1，又0，)，所以 04或34，故選 b(2)如圖，因?yàn)?kap10211，kbp3001 3，所以直線(xiàn) l 的斜率 k(， 31，).【答案】(1

6、)b(2)(， 31，)【遷移探究 1】(變條件)若本例(1)的條件變?yōu)椋褐本€(xiàn) 2xcos y30 6，3的傾斜角的變化范圍為_(kāi)解析：直線(xiàn) 2xcos y30 的斜率 k2cos .由于6，3 ，所以12cos 32，因此 k2cos 1， 3設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則有 tan 1， 3由于0，)，所以4，3 ，即傾斜角的變化范圍是4，3 .答案：4，3【遷移探究 2】(變條件)若將本例(2)中 p(1，0)改為 p(1，0)，其他條件不變，求直線(xiàn) l 斜率的取值范圍解：因?yàn)?p(1，0)，a(2，1)，b(0， 3)，所以 kap102(1)13，kbp300(1) 3.由圖可知，直線(xiàn) l 斜率

7、的取值范圍為13， 3.(1)求傾斜角的取值范圍的一般步驟求出斜率 ktan 的取值范圍；利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象，確定傾斜角的取值范圍求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在(2)斜率的求法定義法：若已知直線(xiàn)的傾斜角或的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù) ktan 求斜率；公式法：若已知直線(xiàn)上兩點(diǎn) a(x1，y1)，b(x2，y2)，一般根據(jù)斜率公式 ky2y1x2x1(x1x2)求斜率1若點(diǎn) a(4，3)，b(5，a)，c(6，5)三點(diǎn)共線(xiàn)，則 a 的值為_(kāi)解析：因?yàn)?kac53641，kaba354a3.由于 a，b，c 三點(diǎn)共線(xiàn)，所以 a31，即 a4.答案：42 若直線(xiàn) l 的斜率為 k， 傾斜角為

8、， 且6，4 23， 則 k 的取值范圍是_解析：當(dāng)6，4 時(shí)，ktan 33，1；當(dāng)23，時(shí)，ktan 3，0)綜上得 k 3，0)33，1.答案： 3，0)33，1考點(diǎn)二直線(xiàn)的方程(基礎(chǔ)型)復(fù)習(xí)指導(dǎo)|根據(jù)確定直線(xiàn)位置的幾何要素，探索并掌握直線(xiàn)方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，體會(huì)斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算(1)若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn) a(1，3)，且斜率是直線(xiàn) y4x 的斜率的13，則該直線(xiàn)的方程為_(kāi)(2)若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) a(5，2)，且在 x 軸上的截距等于在 y 軸上的截距的 2 倍，則該直線(xiàn)的方程為_(kāi)【解析】(1)設(shè)所求直線(xiàn)的斜率為 k，依題意 k41343.又直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) a

9、(1，3)，因此所求直線(xiàn)的方程為 y343(x1)，即 4x3y130.(2)當(dāng)橫截距、縱截距均為零時(shí)，設(shè)所求的直線(xiàn)方程為 ykx，將(5，2)代入 ykx中，得 k25，此時(shí)，直線(xiàn)方程為 y25x，即 2x5y0.當(dāng)橫截距、縱截距都不為零時(shí)，設(shè)所求直線(xiàn)方程為x2aya1，將(5，2)代入所設(shè)方程，解得 a12，此時(shí)，直線(xiàn)方程為 x2y10.綜上所述，所求直線(xiàn)的方程為 x2y10 或 2x5y0.【答案】(1)4x3y130(2)x2y10 或 2x5y0巧設(shè)直線(xiàn)方程的方法(1)已知一點(diǎn)坐標(biāo)，可采用點(diǎn)斜式設(shè)直線(xiàn)方程，但要注意討論直線(xiàn)斜率不存在的情況；(2)已知兩點(diǎn)或可通過(guò)計(jì)算表示出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，

10、則可采用兩點(diǎn)式設(shè)直線(xiàn)方程，但要注意討論分母為零的情況；(3)當(dāng)題目涉及直線(xiàn)在 x 軸、y 軸上的截距時(shí)，可采用截距式設(shè)直線(xiàn)方程，但要注意莫遺漏直線(xiàn)在 x 軸、y 軸上的截距為 0 的情況；(4)已知直線(xiàn)的斜率或傾斜角，考慮利用點(diǎn)斜式或斜截式設(shè)直線(xiàn)方程注意(1)當(dāng)已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a，0)，且斜率不為 0 時(shí)，可將直線(xiàn)方程設(shè)為 xmya；(2)當(dāng)已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，a)，且斜率存在時(shí)，可將直線(xiàn)方程設(shè)為 ykxa；(3)當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，且斜率存在時(shí)，可將直線(xiàn)方程設(shè)為 ykx.1已知abc 的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為 a(1，2)，b(3，6)，c(5，2)，m 為 ab 的中點(diǎn)，n 為ac 的中點(diǎn)，則中位線(xiàn) m

11、n 所在直線(xiàn)的方程為()a2xy120b2xy120c2xy80d2xy80解析：選 c由題知 m(2，4)，n(3，2)，中位線(xiàn) mn 所在直線(xiàn)的方程為y424x232，整理得 2xy80.2經(jīng)過(guò)點(diǎn) b(3，4)，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形的直線(xiàn)的方程為_(kāi)解析：由題意可知，所求直線(xiàn)的斜率為1.又過(guò)點(diǎn)(3，4)，由點(diǎn)斜式得 y4(x3)所求直線(xiàn)的方程為 xy10 或 xy70.答案：xy10 或 xy70考點(diǎn)三直線(xiàn)方程的綜合應(yīng)用(綜合型)復(fù)習(xí)指導(dǎo)|求解與直線(xiàn)方程有關(guān)的最值問(wèn)題，先求出斜率或設(shè)出直線(xiàn)方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式或函數(shù)單調(diào)性求解最值(一題多解)已知直線(xiàn) l 過(guò)點(diǎn) m

12、(2，1)，且分別與 x 軸的正半軸、y 軸的正半軸交于a，b 兩點(diǎn)，o 為原點(diǎn)，當(dāng)aob 面積最小時(shí)，求直線(xiàn) l 的方程【解】 法一： 設(shè)直線(xiàn) l 的方程為 y1k(x2)(k0)， a21k，0， b(0， 12k)， saob12(12k)21k 124(4k)1k12(44)4，當(dāng)且僅當(dāng)4k1k，即 k12時(shí)，等號(hào)成立故直線(xiàn) l 的方程為 y112(x2)，即 x2y40.法二：設(shè)直線(xiàn) l：xayb1，且 a0，b0，因?yàn)橹本€(xiàn) l 過(guò)點(diǎn) m(2，1)，所以2a1b1，則 12a1b22ab，故 ab8，故 saob的最小值為12ab1284，當(dāng)且僅當(dāng)2a1b12時(shí)取等號(hào)，此時(shí) a4，b

13、2，故直線(xiàn) l 為x4y21，即 x2y40.【遷移探究】(變問(wèn)法)在本例條件下，當(dāng)|oa|ob|取最小值時(shí)，求直線(xiàn) l 的方程解：由本例法二知，2a1b1，a0，b0，所以|oa|ob|ab(ab)2a1b3ab2ba32 2，當(dāng)且僅當(dāng) a2 2，b1 2時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)|oa|ob|取最小值時(shí)，直線(xiàn) l 的方程為 x 2y2 2.與直線(xiàn)方程有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)求解與直線(xiàn)方程有關(guān)的最值問(wèn)題先設(shè)出直線(xiàn)方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值(2)求直線(xiàn)方程弄清確定直線(xiàn)的兩個(gè)條件，由直線(xiàn)方程的幾種特殊形式直接寫(xiě)出方程(3)求參數(shù)值或范圍注意點(diǎn)在直線(xiàn)上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線(xiàn)的方程

14、，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解已知直線(xiàn) x2y2 分別與 x 軸、y 軸相交于 a，b 兩點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn) p(a，b)在線(xiàn)段 ab 上，則 ab 的最大值為_(kāi)解析：直線(xiàn)方程可化為x2y1，故直線(xiàn)與 x 軸的交點(diǎn)為 a(2，0)，與 y 軸的交點(diǎn)為 b(0，1)，由動(dòng)點(diǎn) p(a，b)在線(xiàn)段 ab 上，可知 0b1，且 a2b2，從而 a22b，故 ab(22b)b2b22b2b12212，由于 0b1，故當(dāng) b12時(shí)，ab 取得最大值12.答案：12基礎(chǔ)題組練1傾斜角為 120，在 x 軸上的截距為1 的直線(xiàn)方程是()a 3xy10b 3xy 30c 3xy 30d 3xy 30解析：選 d由

15、于傾斜角為 120，故斜率 k 3.又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1，0)，所以方程為 y 3(x1)，即3xy 30.2直線(xiàn) axbyc0 同時(shí)要經(jīng)過(guò)第一、第二、第四象限，則 a，b，c 應(yīng)滿(mǎn)足()aab0，bc0bab0，bc0cab0，bc0dab0，bc0解析：選 a由于直線(xiàn) axbyc0 經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，所以直線(xiàn)存在斜率，將方程變形為 yabxcb.易知ab0 且cb0，故 ab0，bc0.3 (多選)過(guò)點(diǎn) a(1， 2)的直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零， 則該直線(xiàn)方程可能為()axy10bxy30c2xy0dxy10解析：選 ac當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可得斜率為20102，故直線(xiàn)方程為 y2x，即

16、2xy0.當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為xaya1，代入點(diǎn)(1，2)，可得1a2a1，解得 a1，所以直線(xiàn)方程為 xy10，故所求直線(xiàn)方程為 2xy0 或 xy10.故選 ac4直線(xiàn) x2yb0 與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積不大于 1，那么 b 的取值范圍是()a2，2b(，22，)c2，0)(0，2d(，)解析：選 c令 x0，得 yb2，令 y0，得 xb，所以所求三角形的面積為12|b2|b|14b2，且 b0，14b21，所以 b24，所以 b 的取值范圍是2，0)(0，25在等腰三角形 mon 中，momn，點(diǎn) o(0，0)，m(1，3)，點(diǎn) n 在 x 軸的負(fù)半軸上，則直線(xiàn) mn

17、 的方程為()a3xy60b3xy60c3xy60d3xy60解析：選 c因?yàn)?momn，所以直線(xiàn) mn 的斜率與直線(xiàn) mo 的斜率互為相反數(shù)，所以 kmnkmo3，所以直線(xiàn) mn 的方程為 y33(x1)，即 3xy60，選 c6已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn) a(5，0)，b(3，3)，c(0，2)，則 bc 邊上中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為_(kāi)解析：bc 的中點(diǎn)坐標(biāo)為32，12 ，所以 bc 邊上中線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為y0120 x5325，即 x13y50.答案：x13y507直線(xiàn) l 過(guò)原點(diǎn)且平分abcd 的面積，若平行四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)為 b(1，4)，d(5，0)，則直線(xiàn) l 的方程為_(kāi)解析：直線(xiàn) l 平

18、分abcd 的面積，則直線(xiàn) l 過(guò) bd 的中點(diǎn)(3，2)，則直線(xiàn) l：y23x.答案：y23x8 設(shè)點(diǎn)a(1， 0)， b(1， 0)， 直線(xiàn)2xyb0與線(xiàn)段ab相交， 則b的取值范圍是_解析：b 為直線(xiàn) y2xb 在 y 軸上的截距，如圖，當(dāng)直線(xiàn) y2xb 過(guò)點(diǎn) a(1，0)和點(diǎn) b(1，0)時(shí)，b 分別取得最小值和最大值所以 b 的取值范圍是2，2答案：2，29已知abc 的三個(gè)頂點(diǎn)分別為 a(3，0)，b(2，1)，c(2，3)，求：(1)bc 邊所在直線(xiàn)的方程；(2)bc 邊的垂直平分線(xiàn) de 的方程解：(1)因?yàn)橹本€(xiàn) bc 經(jīng)過(guò) b(2，1)和 c(2，3)兩點(diǎn)，所以 bc 的方程

19、為y131x222，即 x2y40.(2)由(1)知，直線(xiàn) bc 的斜率 k112，則直線(xiàn) bc 的垂直平分線(xiàn) de 的斜率 k22.因?yàn)?bc 邊的垂直平分線(xiàn) de 經(jīng)過(guò) bc 的中點(diǎn)(0，2)，所以所求直線(xiàn)方程為 y22(x0)，即 2xy20.10已知直線(xiàn) l 與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 3，分別求滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn) l 的方程：(1)過(guò)定點(diǎn) a(3，4)；(2)斜率為16.解：(1)設(shè)直線(xiàn) l 的方程為 yk(x3)4，它在 x 軸，y 軸上的截距分別是4k3，3k4，由已知，得(3k4)4k36，解得 k123或 k283.故直線(xiàn) l 的方程為 2x3y60 或 8x3y120.

20、(2)設(shè)直線(xiàn) l 在 y 軸上的截距為 b，則直線(xiàn) l 的方程是 y16xb，它在 x 軸上的截距是6b，由已知，得|6bb|6，所以 b1.所以直線(xiàn) l 的方程為 x6y60 或 x6y60.綜合題組練1直線(xiàn) l 經(jīng)過(guò)點(diǎn) a(1，2)，在 x 軸上的截距的取值范圍是(3，3)，則其斜率的取值范圍是()a1k15bk1 或 k12ck15或 k1dk12或 k1解析：選 d設(shè)直線(xiàn)的斜率為 k，則直線(xiàn)方程為 y2k(x1)，令 y0，得直線(xiàn) l 在 x軸上的截距為 12k，則312k3，解得 k12或 k1.2若直線(xiàn) l：kxy24k0(kr)交 x 軸負(fù)半軸于點(diǎn) a，交 y 軸正半軸于點(diǎn) b，

21、則當(dāng)aob 的面積取最小值時(shí)直線(xiàn) l 的方程為()ax2y40bx2y80c2xy40d2xy80解析：選 b由 l 的方程，得 a24kk，0，b(0，24k)依題意得24kk0，24k0，解得 k0.因?yàn)?s12|oa| |ob|12|24kk|24k|12(24k)2k1216k4k1612(2816)16，當(dāng)且僅當(dāng) 16k4k，即 k12時(shí)等號(hào)成立此時(shí) l 的方程為 x2y80.3.已知實(shí)數(shù) x， y 滿(mǎn)足 yx22x2(1x1)， 則y3x2的最大值為_(kāi)，最小值為_(kāi)解析： 如圖， 作出 yx22x2(1x1)的圖象(曲線(xiàn)段 ab)， 則y3x2表示定點(diǎn) p(2，3)和曲線(xiàn)段 ab 上

22、任一點(diǎn)(x，y)的連線(xiàn)的斜率 k，連接 pa，pb，則 kpakkpb.易得 a(1，1)，b(1，5)，所以 kpa1(3)1(2)43，kpb5(3)1(2)8，所以43k8，故y3x2的最大值是 8，最小值是43.答案：8434已知直線(xiàn) l：xmy 3m0 上存在點(diǎn) m 滿(mǎn)足與兩點(diǎn) a(1，0)，b(1，0)連線(xiàn)的斜率 kma與 kmb之積為 3，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是_解析：設(shè) m(x，y)，由 kmakmb3，得yx1yx13，即 y23x23.聯(lián)立xmy 3m0，y23x23，得1m23x22 3mx60.要使直線(xiàn) l：xmy 3m0 上存在點(diǎn) m 滿(mǎn)足與兩點(diǎn) a(1，0)，b(1，0)連線(xiàn)的斜率kma與 kmb之積為 3，則2 3m2241m230，即 m216.所以實(shí)數(shù) m 的取值范圍是，66