2022屆高三數(shù)學一輪復習（原卷版）第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法 教案

1、1全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式高考在本章一般命制 2 道小題或者 1道解答題，分值占 1012 分.2.考查內(nèi)容(1)高考對小題的考查一般以等差、等比數(shù)列的基本量運算，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)為主.(2)解答題一般以數(shù)列遞推關系為載體， 考查數(shù)列通項公式的求法， 等差、等比數(shù)列的證明，數(shù)列求和的方法等.3.備考策略從 2019 年高考試題可以看出，高考對數(shù)列知識的考查既注重基礎又注重能力且難度有可能會逐步加大.第一節(jié)第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法數(shù)列的概念與簡單表示法最新考綱1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)1

2、數(shù)列的定義按照一定次序排列起來的一列數(shù)叫做數(shù)列， 數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項22數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關系分類遞增數(shù)列an1an其中 nn*遞減數(shù)列an1an常數(shù)列an1an3.數(shù)列的通項公式如果數(shù)列an的第n項an與n之間的關系可以用一個函數(shù)式anf(n)來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式4數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列的第 1 項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項 an與它的前一項 an1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式5an與 sn的關系若數(shù)列an的前

3、n 項和為 sn，則 ans1，n1，snsn1，n2.特別地，若 a1滿足 ansnsn1(n2)，則不需要分段一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列()(2)1，1，1，1，不能構(gòu)成一個數(shù)列()(3)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列()(4)如果數(shù)列an的前n項和為sn， 則對任意nn*， 都有an1sn1sn.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1已知數(shù)列112，123，134，1n（n1），下列各數(shù)中是此數(shù)列中的項的是()3a.135b.142c.148d.154b該數(shù)列的通項 an1n（n1），結(jié)合選項可知 b 正確

4、2在數(shù)列an中，a11，an1（1）nan1(n2)，則 a5等于()a.32b.53c.85d.23da21（1）2a12，a31（1）3a212，a41（1）4a33，a51（1）5a423.3已知數(shù)列an的前 n 項和 snn21，則 an_2，n1，2n1，n2，nn*當 n1 時，a1s12.當 n2 時，ansnsn1n21(n1)212n1，故 an2，n1，2n1，n2，nn*.4根據(jù)下面的圖形及相應的點數(shù)，寫出點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式 an_5n4由 a11514，a26524，a311534，歸納an5n4.考點 1由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式利用觀察法求數(shù)列通項要抓

5、住數(shù)列的 4 個特征(1)分式中分子、分母的特征(2)相鄰項的變化特征(3)拆項后變化的部分和不變的部分的特征4(4)各項符號特征等根據(jù)下面各數(shù)列前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：(1)23，415，635，863，1099，；(2)1，7，13，19，；(3)12，2，92，8，252，；(4)5，55，555，5 555，.解(1)這是一個分數(shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為 13，35，57，79，911，每一項都是兩個相鄰奇數(shù)的乘積，分子依次為2， 4， 6， ， 相鄰的偶數(shù) 故所求數(shù)列的一個通項公式為 an2n（2n1） （2n1）.(2)偶數(shù)項為正，奇數(shù)項為負，故通項公式

6、必含有因式(1)n，觀察各項的絕對值，后一項的絕對值總比它前一項的絕對值大 6，故數(shù)列的一個通項公式為 an(1)n(6n5)(3)數(shù)列的各項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察即12，42，92，162，252，分子為項數(shù)的平方，從而可得數(shù)列的一個通項公式為 ann22.(4)將原數(shù)列改寫為599，5999，59999，易知數(shù)列 9，99，999，的通項為 10n1，故所求的數(shù)列的一個通項公式為 an59(10n1)(1)對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用(1)k或(1)k1，kn*處理，如t(2)；(2)若關系不明顯時，應將部分項作適當?shù)淖冃?，統(tǒng)一成相同的形式，如 t(3)

7、(3)考查歸納推理，特殊到一般，由數(shù)列的前 n 項歸納通項公式，答案并不唯一考點 2由 an與 sn的關系求通項公式已知 sn求 an的 3 個步驟(1)利用 a1s1求出 a1.5(2)當 n2 時，利用 ansnsn1(n2)求出 an的表達式(3)看 a1是否符合 n2 時 an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；否則應寫成分段的形式，即 ans1，n1，snsn1，n2.(1)已知數(shù)列an的前 n 項和 sn2n23n，則 an_(2)(2018全國卷)記 sn為數(shù)列an的前 n 項和若 sn2an1，則 s6_(3)已知數(shù)列an滿足 a12a23a3nan2n，則 an_

8、(1)4n5(2)63(3)2，n1，2n1n，n2(1)a1s1231，當 n2 時，ansnsn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于 a1也適合此等式，an4n5.(2)因為 sn2an1，所以當 n1 時，a12a11，解得 a11，當 n2 時， ansnsn12an1(2an11)， 所以 an2an1， 所以數(shù)列an是以1 為首項， 2 為公比的等比數(shù)列， 所以 an2n1， 所以 s61（126）1263.(3)當 n1 時， a1212，a12a23a3nan2n，故 a12a23a3(n1)an12n1(n2)，由得 nan2n2n12n1，an2n1n.顯然當

9、 n1 時不滿足上式，an2，n1，2n1n，n2.sn與 an關系問題的求解思路要根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化(1)利用 ansnsn1(n2)轉(zhuǎn)化為只含 sn，sn1的關系式6(2)利用 snsn1an(n2)轉(zhuǎn)化為只含 an，an1的關系式，再求解提醒：利用 ansnsn1求通項時，應注意 n2 這一前提條件，易忽視驗證 n1 致誤教師備選例題1已知數(shù)列an的前 n 項和 sn3n1，則 an_4，n1，23n1，n2當 n1 時，a1s1314；當 n2 時，ansnsn1(3n1)(3n11)23n1.當 n1 時，23112a1，所以 an4，n1，23n1，

10、n2.2 已知數(shù)列an中， a11， sn為數(shù)列an的前 n項和， 且當n2時， 有2anansns2n1 成立，則 s2 019_11 010當 n2 時， 由2anansns2n1， 得 2(snsn1)(snsn1)sns2nsnsn1，所以2sn2sn11，又2s12，所以2sn是以 2 為首項，1 為公差的等差數(shù)列，所以2snn1，故 sn2n1，則 s2 01911 010.1.已知正項數(shù)列an中，a1 a2 ann（n1）2， 則數(shù)列an的通項公式為()aannbann2cann2dann22b a1 a2 ann（n1）2， a1 a2 an1n（n1）2(n2)，兩式相減得

11、ann（n1）2n（n1）2n(n2)，7ann2(n2)，又當 n1 時， a11221，a11，適合式，ann2，nn*.故選 b.2已知數(shù)列an的前 n 項和為 sn，a11，sn2an1，則 sn_32n1因為 sn2an1，所以當 n2 時，sn12an，所以 ansnsn12an12an(n2)，即an1an32(n2)，又 a212，所以 an1232n2(n2)當 n1 時，a111232113，所以 an1，n1，1232n2，n2，所以 sn2an121232n132n1.考點 3由遞推關系式求數(shù)列的通項公式累加法形如 an1anf(n)，求 an利用an(anan1)(a

12、n1an2)(a2a1)a1 f(n1) f(n2) f(1)a1求解設數(shù)列an滿足 a11，且 an1ann1(nn*)，則數(shù)列an的通項公式為_ann2n2由題意得 a2a12，a3a23，anan1n(n2)以上各式相加，得ana123n（n1） （2n）2n2n22.8a11，ann2n2(n2)當 n1 時也滿足此式，ann2n2.應注意題設條件轉(zhuǎn)化為“anan1n”時， 其前提條件為“n2”，易忽視驗證“n1”致誤在數(shù)列an中，a13，an1an1n（n1），則通項公式 an_41n原遞推公式可化為 an1an1n1n1，則 a2a11112，a3a21213，a4a31314，a

13、n1an21n21n1，anan11n11n，逐項相加得 ana111n，故 an41n，經(jīng)驗證 a1，a2也符合累乘法形如an1anf(n)，求 an利用 ananan1an1an2an2an3a3a2a2a1a1求解在數(shù)列an中，a11，ann1nan1(n2，nn*)，則數(shù)列an的通項公式為_an1nann1nan1(n2)，an1n2n1an2，an2n3n2an3，a212a1.以上(n1)個式子相乘得，ana11223n1na1n1n.當 n1 時，a11，符合上式，9an1n.反復構(gòu)造“anan1”是解答此類問題的關鍵已知數(shù)列an滿足 a11，an12nan，求數(shù)列an的通項公式

14、解an12nan，an1an2n，anan12n1(n2)，ananan1an1an2a2a1a12n12n2212123(n1)2n（n1）2.又 a11 適合上式，故 an2n（n1）2.待定系數(shù)法形如 an1aanb(a0 且 a1，b0)，求 an求此類數(shù)列的通項公式，通常采用待定系數(shù)法將其轉(zhuǎn)化為(an1x)a(anx)，先求出 x，再借助等比數(shù)列anx 求解(2019青島模擬)已知數(shù)列an滿足 a11，an13an2(nn*)，則數(shù)列an的通項公式為_an23n11an13an2，an113(an1)，an11an13，數(shù)列an1為等比數(shù)列，公比 q3，又 a112，an123n1，

15、an23n11.構(gòu)造“an113(an1)”是解答本題的關鍵(2019葫蘆島二模)九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝據(jù)明代楊慎丹鉛總錄記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關捩，解之為二，又合面為一” 在某種玩法中，用 an表示解下 n(n9，nn*)個圓環(huán)所需的移動最少次數(shù)，an滿足 a11，且 an102an11，n 為偶數(shù)2an12，n 為奇數(shù)，則解下 4 個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為()a7b10c12d22a依題意 a42a312(2a22)122(2a11)217.故選 a.取倒數(shù)法形如 an1aanbanc(a，b，c 為常數(shù))，求 an將原式變形為1

16、an1ca1anba.若ac， 則1an是等差數(shù)列， 且公差為ba， 可直接用公式求通項； 若 ac，則采用待定系數(shù)法，構(gòu)造新數(shù)列求解已知數(shù)列an中，a12，an12anan2(nn*)，則數(shù)列an的通項公式 an_2nan12anan2，a12，an0，1an11an12，即1an11an12，又 a12，則1a112，1an是以12為首項，12為公差的等差數(shù)列1an1a1(n1)12n2.an2n.求解本題的關鍵是對等式取倒數(shù)變形后，發(fā)現(xiàn)1an成等差數(shù)列(2019張家界模擬)若數(shù)列an中，a11，an1an13an，則這個數(shù)列的第 10 項 a10()a28b29c128d12911can

17、1an13an，兩邊取倒數(shù)得1an11an3，又 a11 所以數(shù)列1an表示首項為 1，公差為 3 的等差數(shù)列，所以1an1(n1)33n2，即 an13n2，所以 a1013102128，故選 c.考點 4數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的周期性及應用解決數(shù)列周期性問題的方法：先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值(2019包頭模擬)在數(shù)列an中，a10，an13an1 3an，則 s2 020_0a10，an13an1 3an，a231 3，a33 31 3 32 32 3，a43 31 3 30，即數(shù)列an的取值具有周期性，周期為 3，且 a1a2a30，則 s2 020s367

18、31a10.解答本題的關鍵是正確求出數(shù)列的前 3 項后，發(fā)現(xiàn)數(shù)列an是周期數(shù)列已知數(shù)列an滿足 an111an，若 a112，則 a2 020()a1b12c1d2b由 a112，an111an，12得 a211a12，a311a21，a411a312，a511a42，于是可知數(shù)列an是以 3 為周期的周期數(shù)列，因此 a2 020a36731a112.數(shù)列的單調(diào)性及應用1.判斷數(shù)列單調(diào)性的 2 種方法(1)作差(或商)法；(2)目標函數(shù)法：寫出數(shù)列對應的函數(shù)，利用導數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對應到數(shù)列中去2求數(shù)列中最大(小)項的 2 種方法(1)根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性判斷；(2)利用不等式組anan1anan1(或anan1anan1)求出 n 的值，進而求得 an的最值3求含整數(shù) n 的代數(shù)式的最值問題，一般采用作差(作商)研究單調(diào)性，特別是在大題中最有效(1)一題多解已知數(shù)列an的通項公式為 ann23n， 則數(shù)列an中的最大項為()a.89b.23c.6481d.125243(2)若 ann2kn4 且對于 nn*，都有 an1an成立，則實數(shù) k 的取值范圍是_(1)a(2) (3，)(1)法一：(作差比較法)an1an(n1)23n1