高三數(shù)學(xué)思想方法專題講義(絕對(duì)精品)

1、平果二中高三數(shù)學(xué)思想方法專題講義1、函數(shù)與方程的思想1若是奇函數(shù)，求a的值2若，求證方程至少有一個(gè)正根，且不超過ab3已知為偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，求的值4已知，求的最大值5已知，求的值6設(shè)函數(shù)（a，b，cZ）是奇函數(shù)，且1，上單調(diào)遞增，求a，b，c之值7設(shè)（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若反函數(shù)為，證明方程0有唯一解；（3）若，求x的取值范圍8等差數(shù)列 的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，若（lk），問n為何值時(shí)，最大？9已知x，y，z三個(gè)實(shí)數(shù)滿足，y，z1，證明：10已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且滿足，求證；11設(shè)是定義域?yàn)镽的單調(diào)奇函數(shù)，且有，若，求實(shí)數(shù)k的范圍12已知是定義在（，0）（0，）上的偶函數(shù)，當(dāng)（0，

2、）時(shí)，當(dāng)（，0）時(shí)，試解不等式13已知函數(shù)的值域?yàn)?，1（1）求b，c的值；（2）求證：14奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，（1）求在R上的解析式；（2）若a，b（ab），函數(shù)的值域?yàn)?，試確定a，b之值15已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程有兩個(gè)實(shí)根，證明：（1）如果，那么且；（2）如果，且，那么，（1993年全國高考）2、分類討論的思想1設(shè)a，b是不等于1的正常數(shù)，R，求的定義域2解關(guān)于x的不等式：3設(shè)（，），求使y為負(fù)值的x的取值范圍4設(shè)0，對(duì)于的任意一個(gè)值，不等式恒成立，求實(shí)參數(shù)k的范圍5已知a，b，c，d是空間四條直線，如果，bc，ad，bd，那么（ ）Aab或cd Bab，cd Ca，b，c，d中

3、至多有一對(duì)直線互相平行Da，b，c，d任何兩條直線都不平行6設(shè)P和Q是棱長(zhǎng)為a的正方體表面上的兩點(diǎn)，求的最大值7已知數(shù)列，都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為p，q，其中，且，設(shè)，為的前n項(xiàng)和，求8從甲、乙、丙、a、b、c、d七個(gè)人中選五人排成一排，其中甲不在排首，乙不在排尾，丙不在中間的排法有多少種？9求函數(shù)（0，）的最大值和最小值10求一定點(diǎn)M（m，0）到橢圓的動(dòng)點(diǎn)P的最短距離已知直線和拋物線，點(diǎn)A位于直線上，問拋物線上哪一點(diǎn)與點(diǎn)A的距離最近？3、數(shù)形結(jié)合的思想1設(shè)，a，bR，且ab，求證：2求下列函數(shù)的最值：（1）的最小值；（2）的最大值3對(duì)于滿足的實(shí)數(shù)p，使得恒成立，求x的取值范圍4已

4、知，求的最值5討論方程有相異實(shí)根的個(gè)數(shù)6已知，求證：7已知等差數(shù)列的第p項(xiàng)為q，第q項(xiàng)為P（），求它的第項(xiàng)和第項(xiàng)8求證：9在ABC中，已知a10，cb8，求證：10設(shè)C，R，且，求證：為純虛數(shù)11已知，求12已知u，v，是正數(shù)，且，求的最小值13求函數(shù)的值域14已知，求證：15設(shè)定點(diǎn)M（3，4），動(dòng)點(diǎn)N在圓上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為兩邊作MONP，求P點(diǎn)的軌跡16已知表示兩曲線有公共點(diǎn)，求半徑r的最值17當(dāng)m，a，b滿足什么條件時(shí)，橢圓（，）與拋物線有四個(gè)交點(diǎn)？4、 等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想1已知x，y R，且滿足方程求下列各式的最小值：（1）；（2）2集合Ax ，B ，C ，當(dāng)a取什么實(shí)數(shù)時(shí)，且同時(shí)成立3

5、解方程：4在ABC中，且最大角與最小角之差為90，求證它的三邊之比為（）（）5如果a，b，cR，并滿足，求的最值6設(shè)四面體的每組相對(duì)棱的長(zhǎng)分別為a，b，c，求此四面體的體積7已知a，b，x，yR，且，求證：8若，求的范圍9若ABC的三個(gè)內(nèi)角，A，B，C滿足，求證：ABC是等腰三角形115個(gè)不同的紅球和2個(gè)不同的白球排在一個(gè)圓周上，使2個(gè)白球不相鄰有幾種排法？12已知，求證x，y，z中至少有一個(gè)等于01、函數(shù)與方程的思想?yún)⒖即鸢敢弧?提示：由，解得2設(shè)，則在（，）上連續(xù)，且又，若，則就是方程的根，若，又，故在（0，）內(nèi)至少存在一個(gè)，使得3提求：令，則， ，又， 4由已知得，令，10， 在，1上單

6、調(diào)減少，在1，10上單調(diào)增加，而， 因此最大值為5令，則，與已知條件聯(lián)立，解得，由，整理得，解得6 為奇函數(shù)，解得由，得又，a，b，cZ， ，7（1）的定義域?yàn)椋O(shè)，可以證明，在（2，2）上是減函數(shù)， 在（2，2）上是減函數(shù)（2） 為減函數(shù)，由與有相同的單調(diào)性知，也為減函數(shù)， 0有唯一解，且解為（3） ，且為減函數(shù)，不等式， 解得，或8設(shè)， ， 依二次函數(shù)圖象為開口向下的拋物線及知，當(dāng)時(shí)，最大，由于N，因此，當(dāng)為偶數(shù)，時(shí)，最大，當(dāng)奇數(shù)，時(shí)，最大9令，（0，1）， ，又為一次函數(shù)， 在（0，1）內(nèi)恒為負(fù)10由條件知，故a，b是方程的兩個(gè)實(shí)根，由，知故 11 為奇函數(shù)，又定義在R上， 又，且為單調(diào)

7、函數(shù)，則可知為單調(diào)減函數(shù)由，則，即，由，解得12當(dāng)（，0）時(shí)，（0，）， 為偶函數(shù)， 由0 13（1）設(shè)，由題意知y1，3，由，知的解集為 ，（2）設(shè)，寫為分段函數(shù)的形式易知t的值域?yàn)椋?dāng)，時(shí)， 在，上為增函數(shù)， 的值域?yàn)?，從而?當(dāng)，時(shí)，同樣成立14（1）（2）由題意知，因此只需討論a，b均為正數(shù)即可（同為負(fù)時(shí)添“一”即可）有下列三種情形（由（1）的增減性），、無解，由得，又奇函數(shù)， a，b的另一組解為，15（1）設(shè)，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系知又二次函數(shù)的開口向上， 即（2）由，得 ， （*）由此可見，的每一個(gè)實(shí)根或在（2，2）內(nèi)或在（2，2）之外，若兩根、均在（2，2）之外，與4矛盾；若（或）在（

8、2，2）之外，另一根（或）必在（2，2）之內(nèi)，與（*）式矛盾由此可知，、均在（2，2）內(nèi)，即，2、分類討論的思想?yún)⒖即鸢?提示：若，當(dāng)時(shí)，R；當(dāng)時(shí)，若，當(dāng)時(shí)，R；當(dāng)，若，當(dāng)時(shí)，R；當(dāng)時(shí)，2當(dāng)時(shí)，；時(shí)，原不等式變?yōu)闀r(shí)，。時(shí)，或時(shí)，或4由知，即 ，兩邊取對(duì)數(shù)得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，R5提示：設(shè)（0，1，），就k的取值分類：（1）（2）（3）解（1）、（2）、（3），然后并起來，k的取值范圍是6（1）若a，b相交，則可確定一平面，由，cd（2）若ab，c與d的位置關(guān)系不確定，可能平行，可能相交，也可能異面（3）若a，b異面，由，c與a，b的公垂線平行或重合，同理d與a，b的公垂線平行或重合因此cd綜上所

9、述，四條直線中必有一對(duì)相互平行，故選A7（1）當(dāng)P，Q兩點(diǎn)在同一平面上時(shí)，（2）當(dāng)P，Q分別在相鄰和兩個(gè)面上時(shí)，（3）當(dāng)P，Q分別在相對(duì)的面上時(shí)，因此，的最大值為8 ， （1）當(dāng)時(shí)， ，分子、分母同除，得 （2）當(dāng)時(shí)，有9可分為三大類：首位是乙，首位是丙，首位是a，b，c，d（1）若首位是乙，中間可排甲，a，b，c，d中選一人，共，再排末位，是在甲a，b，c，d這4人加丙選一，共有，因此共有（種）（2）仿（1）也有（種）（3）首位數(shù)取a，b，c，d中任一個(gè)，以丙在末位、丙不在末位分為兩類：分別有（種）、（種）綜上所述，滿足條件的排法共有（種）13，（1）若時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，（2）若，因

10、1，1，則當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，14， ， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，15設(shè)A（2，a），拋物線上點(diǎn)M（，t）（），則（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，M的坐標(biāo)為（，）或（，）（2）時(shí)，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）3、數(shù)形結(jié)合的思想?yún)⒖即鸢?將，分別看做兩直角三角形的斜邊，于是可以構(gòu)造圖21設(shè)RtPOA中，PO1，OAa，則PA在RtPOB中，OBb，則在PAB中，于是可得（當(dāng)結(jié)論一樣成立）2（1）提示：配方得，可視為P（x，0）分別與A（，），B（，）這兩點(diǎn)的距離之和由于A，B分別位于x軸的上方和下方，顯然當(dāng)P在A，B連線與x軸交點(diǎn)時(shí)最短，最小值為（2）提示：配方得，可視為P（x，0）分別與A（1，5），B（3，

11、2）的距離之差的最大值，由于A，B位于x軸的同旁，由幾何知識(shí)知，P在AB與x軸交點(diǎn)的位置上，最大，最大值為，直線AB的方程為令，得故點(diǎn)P位于（，0）時(shí)，3原不等式整理成>0，設(shè)可視為p的一次函數(shù)，由圖象可知，在0，4恒大于零，只需用即或4，因此，u表示單位圓上的點(diǎn)z與點(diǎn)A（2，）的距離的2倍由幾何知識(shí)知，分別是最小值、最大值，即，5提示：在同一坐標(biāo)系中作出和的圖象如圖，從圖象可以看出：當(dāng)，時(shí)，方程有兩個(gè)不同的根；當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)不同的根；當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)不同的根；當(dāng)時(shí)，方程沒有根6設(shè)數(shù)軸上三點(diǎn)A，P，B的坐標(biāo)分別為1，1，則 ， 即P是AB的內(nèi)分點(diǎn)，于是即7由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得點(diǎn)（n

12、，）在直線上設(shè)A（p，q），B（q，p）是平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，則AB的直線方程為，即 點(diǎn)（n，）在這條直線上， 于是，8提示：設(shè)A（，），B（，），C（，），則原式左邊右邊9如圖，以線段BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系， ，, A（，）在雙曲線的右支上從而，由焦半徑公式得， ， 10在復(fù)平面內(nèi)，z，a，a所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P，A，B， ，故P不可能在坐標(biāo)原點(diǎn)，即AB的中點(diǎn)又R， A、B在實(shí)軸上動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段AB的中垂線除去AB的中點(diǎn)P點(diǎn)的軌跡為虛軸（除去原點(diǎn)）z為純虛數(shù)11設(shè)A（，），B（，），則A，B在單位圓上，連結(jié)AB若C是AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，），連結(jié)OC，則OCAB設(shè)D（

13、1，0），連結(jié)OA，OB，則有DOA，DOB，DOC，tgtgDOC，12如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)（u，2），B（v，1），則，而，即，等號(hào)成立條件，即，時(shí)成立故13令，原函數(shù)為（），設(shè)，則 方程表示斜率為的直線，方程表示四分之一圓原問題轉(zhuǎn)化為過圓上的點(diǎn)，求中直線截距的取值范圍如圖，過圓上的點(diǎn)（0，）時(shí)，截距最小，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，其截距最大，即解得 14如圖，在RtACB中，ABm，BCn，則 又 ， ，即 由、知，16如圖，設(shè)P點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，M所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，N所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為， ， 即， ， 但點(diǎn)M，O，N共線時(shí)，不能構(gòu)成平行四邊形，由與，解得，；，因此，所求軌跡為圓，但應(yīng)

14、除去兩點(diǎn)（，），（，）17將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，它表示中心在（0，0），長(zhǎng)半軸為2且在x軸上，短半軸為1的橢圓而方程表示圓心在A（4，0）的同心圓系，如圖，可知當(dāng)時(shí)，兩曲線有公共點(diǎn)即，18由消去x，得要使兩曲線有四個(gè)交點(diǎn)，方程在（b，b）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根由于函數(shù)為開口向上的拋物線，而對(duì)稱軸方程為因此，有即兩曲線有四個(gè)交點(diǎn)的充要條件為，且4、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想?yún)⒖即鸢?（1）把原方程配方，得 ， （2）原方程配方，得，由（1）知而xy在，上為增函數(shù)， xy的最小值為2 B2，3，C2，4，要使成立，與4都不是方程的解；要使，3是方程的解，即 ，或當(dāng)時(shí)，A2，3，不滿足，故舍去；當(dāng)時(shí)，A3，5，合題意

15、，故為所求3原方程可化為，此方程的解等價(jià)于雙曲線的右支與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，解得大于或等于4時(shí)的解為故原方程解為4已知等式設(shè)最小角為，則三個(gè)內(nèi)角的大小順序?yàn)椋?abc（），由，得 平方得因此，是方程的兩根，解此方程得，（ ） 5設(shè)P的坐標(biāo)為（a，b），則點(diǎn)P滿足方程設(shè)Q的坐標(biāo)為（c，d），則點(diǎn)Q滿足，若兩圓的連心線分別交圓兩圓于A，B，C，D，如圖，的最大值為，最小值為，6如圖，將四面體“裝入”它的外接長(zhǎng)方體內(nèi)，使得長(zhǎng)方體相鄰的三個(gè)面的對(duì)角線長(zhǎng)分別等于四面體各組棱長(zhǎng)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為x，y，z，則，由、解得， 7所證問題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)（a，b）與（x，y）間的距離，已知點(diǎn)（a，b）在：上，點(diǎn)（x，y）在：上，且，因平行直線上任意兩點(diǎn)間的距離不小于這兩平行線的距離， 8 ， ，可看做圓上的動(dòng)點(diǎn)，P（x，y）到二定點(diǎn)A（3，4），B（3，4）的距離之和，而A，B又在圓上，因此，當(dāng)P與A或B重合時(shí)，為最