建筑力學(xué)—組合變形及答案

1、第六章 直梁彎曲彎曲變形是桿件比較常見的基本變形形式。通常把以發(fā)生彎曲變形為主的桿件稱為梁。本章主要討論直梁的平面彎曲問(wèn)題，內(nèi)容包括：彎曲概念和靜定梁的力學(xué)簡(jiǎn)圖；彎曲內(nèi)力及內(nèi)力圖；彎曲應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算；彎曲變形和剛度計(jì)算。其中，梁的內(nèi)力分析和畫彎矩圖是本章的重點(diǎn)。第1節(jié) 平面彎曲的概念和力學(xué)簡(jiǎn)圖一、彎曲概念和受力特點(diǎn)當(dāng)桿件受到垂直于桿軸的外力作用或在縱向平面內(nèi)受到力偶作用(圖6-1)時(shí)，桿軸由直線彎成曲線，這種在外力作用下其軸線變成了一條曲線。這種形式的變形稱為彎曲變形。工程上通常把以彎曲變形為主的桿件稱為梁。 圖 6-1 彎曲變形是工程中最常見的一種基本變形。例如房屋建筑中的樓面梁和陽(yáng)臺(tái)挑梁，

2、受到樓面荷載和梁自重的作用，將發(fā)生彎曲變形，如圖6-2所示。一些桿件在荷載作用下不僅發(fā)生彎曲變形，還發(fā)生扭轉(zhuǎn)等變形，當(dāng)討論其彎曲變形時(shí)，仍然把這些桿件看做梁。圖6-2工程實(shí)際中常見到的直梁，其橫截面大多有一根縱向?qū)ΨQ軸，如圖6-3所示。梁的無(wú)數(shù)個(gè)橫截面的縱向?qū)ΨQ軸構(gòu)成了梁的縱向?qū)ΨQ平面，如圖6-4所示。圖 6-3 圖6-4若梁上的所有外力（包括力偶）作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，梁的軸線將在其縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)彎成一條平面曲線，梁的這種彎曲稱為平面彎曲，它是最常見、最基本的彎曲變形。本章主要討論直梁的平面彎曲變形。從以上工程實(shí)例中可以得出，直梁平面彎曲的受力與變形特點(diǎn)是：外力作用于梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，

3、梁的軸線在此縱向?qū)ΨQ面內(nèi)彎成一條平面曲線。2、 梁的受力簡(jiǎn)圖為了便于分析和計(jì)算直梁平面彎曲時(shí)的強(qiáng)度和剛度，需建立梁的力學(xué)簡(jiǎn)圖。梁的力學(xué)簡(jiǎn)圖（力學(xué)模型）包括梁的簡(jiǎn)化、荷載的簡(jiǎn)化和支座的簡(jiǎn)化。 1、梁的簡(jiǎn)化由前述平面彎曲的概念可知，載荷作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，梁的軸線彎成一條平面曲線。因此，無(wú)論梁的外形尺寸如何復(fù)雜，用梁的軸線來(lái)代替梁可以使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。例如，圖6-1a和圖6-2a所示的火車輪軸和橋式起重機(jī)大梁，可分別用梁的軸線代替梁進(jìn)行簡(jiǎn)化（圖6-1b和圖6-2b）。 2、荷載的簡(jiǎn)化 作用于梁上的荷載可以簡(jiǎn)化為： （1） 集中力 如火車車廂對(duì)輪軸的作用力及起重機(jī)吊重對(duì)大梁的作用等，都可簡(jiǎn)化為集

4、中力（圖6-1和圖6-2）。 （2） 集中力偶 若分布在很短的一段梁上的力能夠形成力偶時(shí)，可以不考慮分布長(zhǎng)度的影響，簡(jiǎn)化為一個(gè)集中力偶。 （3） 均布分荷 將荷載連續(xù)均勻分布在梁的全長(zhǎng)或部分長(zhǎng)度上，若其分布長(zhǎng)度與梁長(zhǎng)比較不是一個(gè)很小的數(shù)值時(shí)（用表示），則稱為均布荷載的荷載集度。例如，樓房大梁承受自重和預(yù)制板的作用，所受荷載可簡(jiǎn)化為均布荷載。若荷載分布連續(xù)但不均勻，則稱為分布荷載，用表示，稱為分布荷載的荷載集度。 3.支座的簡(jiǎn)化按支座對(duì)梁的不同約束特性，靜定梁的約束支座可按靜力學(xué)中對(duì)約束簡(jiǎn)化的力學(xué)簡(jiǎn)圖，分別簡(jiǎn)化為固定鉸支座、活動(dòng)鉸支座和固定端支座。4. 靜定梁的力學(xué)簡(jiǎn)圖根據(jù)梁所受不同的支座約束，

5、梁平面彎曲時(shí)的基本力學(xué)簡(jiǎn)圖可分為以下三種類型。（1） 簡(jiǎn)支梁 梁的兩端分別為固定鉸支座和活動(dòng)鉸支座（圖6-5a）。（2） 外伸梁 梁的兩支座分別為固定鉸支座和活動(dòng)鉸支座，但梁的一端（或兩端）伸出支座以外（圖6-5b）。（3） 懸臂梁 梁的一端為固定端約束，另一端為自由端（圖6-5c）。如外伸陽(yáng)臺(tái)等。 圖 6-5 以上梁的支座反力均可通過(guò)靜力學(xué)平衡方程求得，因此稱為靜定梁。若梁的支座反力的個(gè)數(shù)多于獨(dú)立平衡方程的個(gè)數(shù)，支座反力就不能完全由靜力學(xué)平衡方程式來(lái)確定，這樣的梁稱為超靜定梁。第二節(jié) 彎曲的內(nèi)力分析、剪力圖和彎矩圖概念當(dāng)作用在梁上全部的外力（包括荷載和支座反力）確定后，應(yīng)用截面法可求出任一橫

6、截面上的內(nèi)力。 一、用截面法求剪力和彎矩如圖6-6a所示，懸臂梁AB的自由端作用一集中力，由靜力學(xué)平衡方程可求出其固定端的約束力,約束力偶矩。把距梁左端為處橫截面，稱為梁的截面，是梁的橫截面坐標(biāo)。為了求出任一截面的內(nèi)力，假想地用截面將梁截分為兩段，取左段梁為研究對(duì)象，如圖6-6c所示。由于整個(gè)梁在外力作用下是處于平衡的，所以梁的各段也必處于平衡狀態(tài)。要使左段的梁處于平衡，橫截面上必定有一個(gè)作用線與外力平行的力和一個(gè)在梁縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的力偶矩。由平衡方程式得 這個(gè)力作用線平行于橫截面的內(nèi)力稱為剪力，用符號(hào)表示。 矩心是截面的形心。這個(gè)作用平面垂直于橫截面的內(nèi)力偶矩稱為彎矩，用符號(hào)表示。 圖 6-

7、6同理，取截面右端梁為研究對(duì)象，如圖6-6d所示。列平衡方程得 二、剪刀、彎矩的正負(fù)符號(hào)規(guī)定從圖6-6c和6-6d可以看出，應(yīng)用截面法求任意截面的剪力和彎矩，無(wú)論取截面左段梁還是取截面右段梁，求得截面的剪力和彎矩，其數(shù)值是相等的，方向是相反的，反映了力的作用和反作用關(guān)系。為了使所取截面左段梁和所取截面右段梁求得的剪力與彎矩不僅數(shù)值相等，而且符號(hào)一致，規(guī)定剪力和彎矩的正負(fù)符號(hào)如下。圖 6-7（1） 剪力的正負(fù)規(guī)定： 某梁段上左側(cè)截面向上或右側(cè)截面向下的剪力為正，反之為負(fù)。簡(jiǎn)述為“左上、右下為正”。（2） 彎矩的正負(fù)規(guī)定：某梁段上左側(cè)截面順時(shí)針轉(zhuǎn)向或右側(cè)截面逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的彎矩力為正，反之為負(fù)。簡(jiǎn)述為

8、“左順、右逆為正”。三、求截面剪力和彎矩的簡(jiǎn)便方法從上述截面法求任意截面的剪力和彎矩的表達(dá)式（a）與式（c）、式（b）與式（d）可以看出：任意截面的剪力，等于截面左（或右）段梁上外力的代數(shù)和；左段梁上向上（或右段梁上向下）的外力產(chǎn)生正值剪力。任意截面的彎矩，等于截面左（或右）段梁上外力對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和；左段梁上順時(shí)針（或右段梁上逆時(shí)針）轉(zhuǎn)向的外力矩產(chǎn)生正值彎矩，反之產(chǎn)生負(fù)值彎矩。這種用外力求截面內(nèi)力的簡(jiǎn)便方法可以簡(jiǎn)述為：等于截面左（或右）段梁上外力的代數(shù)和，左上、右下為正。等于截面左（或右）段梁上外力矩的代數(shù)和，左順、右逆為正。例6-1 外伸梁DB的受力如圖6-8所示，已知分布荷載集度為

9、,集中力偶。圖中2-2與3-3截面稱為A點(diǎn)的臨近截面，即；同樣4-4與5-5截面為C點(diǎn)處的臨近截面，試求指定截面的剪力和彎矩。解 1）求梁的支座反力。取整個(gè)梁為研究對(duì)象，畫受力圖并列平衡方程 2） 求各指定截面的剪力和彎矩 圖 6-81-1截面：由1-1截面左段梁上外力的代數(shù)和求得該截面的剪力為 由1-1截面左段梁上外力對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和求得該截面的彎矩為 由1-1截面右段梁上外力的代數(shù)和求得該截面的剪力為 由1-1截面右段梁上外力對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和求得該截面的彎矩由此可見，無(wú)論用1-1截面左段梁還是右段梁上外力求得該截面的剪力和彎矩，其數(shù)值相同，符號(hào)相同，但外力代數(shù)和與外力矩代數(shù)和繁

10、簡(jiǎn)不同，因此，在求指定截面的剪力和彎矩時(shí)，選擇該截面作用外力較少的一側(cè)梁段求剪力和彎矩較為簡(jiǎn)便。2-2截面：取2-2截面左段梁計(jì)算，得 式中的是一個(gè)無(wú)窮小量，計(jì)算時(shí)當(dāng)做零來(lái)處理。3-3截面：求3-3截面左段梁計(jì)算，得 4-4截面：取4-4截面右段梁計(jì)算，得 5-5截面：取5-5截面右段梁計(jì)算，得 由以上計(jì)算結(jié)果可以看出：1） 集中力作用處的兩側(cè)臨近截面的彎矩相同，剪力不同，說(shuō)明剪力在集中力作用處產(chǎn)生了突變，突變的幅值等于集中力的大小。2） 集中力偶作用處的兩側(cè)臨近截面的剪力相同，彎矩不同，說(shuō)明彎矩在集中力偶處產(chǎn)生了突變，突變的幅值等于集中力偶矩的大小。3） 由于集中力的作用截面和集中力偶的作用

11、截面上剪力和彎矩有突變，因此，用截面法求任一指定截面的剪力和彎矩時(shí)，截面不能取在集中力和集中力偶所在的截面上。四、用剪力、彎矩方程畫剪力圖、彎矩圖一般情況下，梁橫截面上的剪力與彎矩隨截面位置的變化而連續(xù)變化；剪力和彎矩可以表示為截面坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù) 以上兩式分別稱為梁的剪力方程和彎矩方程。為了能夠直觀地表明梁上各截面的剪力和彎矩的大小及正負(fù)，通常把剪力方程和彎矩方程用圖形表示，稱為剪力圖和彎矩圖。剪力圖和彎矩圖的基本作法是：以沿梁軸線的橫坐標(biāo)z表示梁橫截面的位置，以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)橫截面上的剪力或彎矩，在土建工程中，習(xí)慣上把正剪力畫在x軸上方，負(fù)剪力畫在x軸下方；而把彎矩圖畫在梁受拉的一側(cè)，即

12、正彎矩畫在x軸下方，負(fù)彎矩畫在x軸上方。例6-2如圖6-9a所示臺(tái)鉆手柄桿用螺紋固定在轉(zhuǎn)盤上，其長(zhǎng)度為，自由端作用力 力，試建立手柄桿的剪力、彎矩方程、并畫出其剪力圖和彎矩圖。解 1）求支座反力。建手柄桿的力學(xué)簡(jiǎn)圖為圖6-9b所示懸臂梁，列平衡方程求得約束力為 2） 列剪力方程和彎矩方程。以梁的左端A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，選取任意截面（圖6-9b），用截面左段梁上的外力求截面的剪力、彎矩，即得到手柄桿的剪力、彎矩方程為 圖6-93) 畫剪力圖、彎矩圖。由剪力方程可知，梁各橫截面的剪力均等于，且為正值。剪力圖為平行于軸的水平線，如圖6-9c所示。 由彎矩方程可知，截面彎矩是截面坐標(biāo)的一次函數(shù)(直線)，確

13、定直線兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即端臨近截面的彎矩；端臨近截面的彎矩，連接兩點(diǎn)坐標(biāo)即得彎矩方程的直線，如圖6-9d所示。4) 最大彎矩。由彎矩圖可見，手柄桿固定端截面上彎矩值的絕對(duì)值最大。即 。例6-3 .如圖6-10a所示的簡(jiǎn)支梁AB上作用均布荷載，試畫該梁的剪力圖、彎矩圖。 解 1) 求支座反力。畫受力圖，由平衡方程得 2) 建立剪力、彎矩方程。選取任意截面坐標(biāo)，如圖6-10a所示，得 3) 畫剪力、彎矩圖。由剪力方程可知剪力是截面坐標(biāo)的直線方程，因此確定直線兩點(diǎn)的坐標(biāo)，作這兩點(diǎn)的連線即可得到剪力圖，如圖6-10b所示。 由彎矩方程可知截面彎矩是截面坐標(biāo)的二次函數(shù)，彎矩圖曲線為一條拋物線，由函數(shù)作圖法便

14、可繪出彎矩圖，如圖6-10c所示。其中，剪力為零的截面坐標(biāo)對(duì)應(yīng)彎矩圖拋物線的極值點(diǎn)，這一點(diǎn)可用本章第三節(jié)的微分關(guān)系證明。 從圖可見；最大的彎矩值在梁的中點(diǎn)截面，。圖6-10 五、用簡(jiǎn)便方法畫剪力圖和彎矩圖 從上述例題可以得出剪力圖和彎矩圖的簡(jiǎn)便畫法： 1) 無(wú)荷載作用的梁段上，剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線。2) 均布荷載作用的梁段上，剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次曲線。曲線凸向與均布荷載同向，在剪力等于零的截面，彎矩有極值。例6-4 如圖6-11a所示的簡(jiǎn)支梁AB，在C點(diǎn)處作用集中力F，試畫此梁的剪力圖和彎矩圖。解 1) 求支座反力。畫受力圖并列平衡方程得 2) 畫剪力圖。由于AC、CB段無(wú)荷

15、載作，所以剪力圖均為水平線。 AC段任一截面的剪力 CB段任一截面的剪力 在剪力圖坐標(biāo)中畫出AC、BC段的水平線，如圖6-11b所示。 3） 畫彎矩圖。AC、CB段無(wú)荷載作用，彎矩圖為斜直線，確定A、C、B三點(diǎn)臨近截面的彎矩值。 圖6-11在彎矩坐標(biāo)中描出AC段兩點(diǎn)坐標(biāo)0、；CB段兩點(diǎn)坐標(biāo)、0，分別過(guò)坐標(biāo)點(diǎn)作出AC、CB段的斜直線，如圖6-11c所示。從剪力圖、彎矩圖可見，。在截面有最大的彎矩值；當(dāng)=，即集中力作用在梁的中點(diǎn)時(shí)，梁的中點(diǎn)有最大彎矩值。例 6-5. 如圖6-12a所示的簡(jiǎn)支梁，在點(diǎn)處作用集中力偶，試畫此梁的剪力圖和彎矩圖。 解1) 求支座反力。畫受力圖并列平衡方程得 2) 畫剪力

16、圖。由于、段無(wú)荷載作用，所以剪力圖均為水平線。 段任一截面的剪力 段任一截面的剪力 在剪力坐標(biāo)中畫出AC、CB段的水平線，如圖6-12b所示。3) 畫彎矩圖。AC、CB段無(wú)荷載作用，彎矩圖為斜直線，確定從A、C-、C+、B點(diǎn)臨近截面的彎矩值(C-表示C點(diǎn)左側(cè)臨近截面；C+表示C點(diǎn)右側(cè)臨近截面)。 圖6-12 在彎矩坐標(biāo)中描出段兩點(diǎn)坐標(biāo)0、，段兩點(diǎn)坐標(biāo)、0，分別過(guò)坐標(biāo)點(diǎn)作出、段的斜直線，如圖6-12c所示。從以上例題可進(jìn)一步總結(jié)出畫剪力圖和彎矩圖的簡(jiǎn)便方法： 1) 無(wú)荷載作用的梁段上，剪力圖為水平線，彎矩圖為斜直線。2) 均布荷載作用的梁段上，剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次曲線。曲線凸向與均布荷載

17、同向，在剪力等于零的截面，曲線有極值。 3) 集中力作用處，剪力圖有突變，突變的幅值等于集中力的大小，突變的方向與集中力同向；彎矩圖有折點(diǎn)。4) 集中力偶作用處，剪力圖不變；彎矩圖突變，突變的幅值等于集中力偶矩的大小，突變的方向，集中力偶順時(shí)針向坐標(biāo)正向突變，反之向坐標(biāo)負(fù)向突變。 盡管用剪力、彎矩方程能夠畫出剪力圖和彎矩圖，但是應(yīng)用簡(jiǎn)便方法繪制剪力圖和彎矩圖，會(huì)更加簡(jiǎn)捷方便。第三節(jié) 彎矩、剪力和分布荷載集度間的微分關(guān)系一、荷載集度的概念若將分布荷載表示成截面坐標(biāo)的函數(shù)，則就稱為荷載集度函數(shù)。前述的均布荷載也就是荷載集度為常量的分布荷載。同時(shí)規(guī)定，均布荷載方向向上，荷載集度為正，反之為負(fù)。如例6

18、-3所示的簡(jiǎn)支梁，作用的均布荷載的荷載集度。2、 之間的關(guān)系如果對(duì)例6-3所示簡(jiǎn)支梁的剪力方程和彎矩方程求一階導(dǎo)數(shù)，得 (a) (b)利用這些微分關(guān)系可以對(duì)梁的剪力圖、彎矩圖進(jìn)行繪制和檢查。由導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可知： 1） 無(wú)荷載作用的梁段上，由式(b)可知，常量。再由式(a)可知為的一次函數(shù)，即直線，且直線的斜率為常量。 2） 均布荷載作用的梁段上，若均布荷載方向向下，,再由式(b)可知，為的一次函數(shù)，即為直線，且直線的斜率為負(fù)；再由式(a)可知，是的二次函數(shù)，即為拋物線，拋物線的頂點(diǎn)即二次曲線的極值點(diǎn)（見例6-3處、例6-6處）。式(a)、式(b)表示彎矩函數(shù)曲線的二階導(dǎo)數(shù)等于荷載集度，二階導(dǎo)數(shù)小

19、于零，曲線凸向向下(見例6-3、例6-6BD段)。若均布荷載方向向上，為直線，且直線斜率為正；為拋物線，二階導(dǎo)數(shù)大于零，的凸向向上。3）集中力作用處，剪力值突變，由式(a)可知彎矩圖曲線在該點(diǎn)的斜率發(fā)生了突變，剪力值突變?yōu)檎瑥澗貓D曲線斜率將沿正值突變，反之沿負(fù)值突變。由于斜率在該點(diǎn)的突變形成了彎矩圖的折點(diǎn)。 利用上述荷載、剪力和彎矩之間的微分關(guān)系及規(guī)律，可更簡(jiǎn)捷地繪制梁的剪力圖和彎矩圖，其步驟如下： (1)分段，即根據(jù)梁上外力及支承等情況將梁分成若干段；(2)根據(jù)各段梁上的荷載情況，判斷其剪力圖和彎矩圖的大致形狀； (3)利用計(jì)算內(nèi)力的簡(jiǎn)便方法，直接求出若干控制截面上的剪力值和彎矩值； 4)

20、逐段直接繪出梁的剪力圖和彎矩圖。第四節(jié) 彎曲正應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算在確定了梁橫截面的內(nèi)力之后，我們還需進(jìn)一步研究橫截面上的應(yīng)力與截面內(nèi)力之間的定量關(guān)系，從而建立梁的強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。 一、純彎曲與橫力彎曲 火車輪軸的力學(xué)簡(jiǎn)圖為圖6-13a所示的外伸梁。畫其剪力圖和彎矩圖如圖6-13b、c所示。可見，在其、段內(nèi)各橫截面上彎矩和剪力同時(shí)存在，故梁在此段內(nèi)既有彎曲變形，也有剪切變形，這種變形稱為剪切彎曲，也稱為橫力彎曲。在其段內(nèi)各橫截面上，只有彎矩而無(wú)剪力，這種彎曲稱為純彎曲。 二、純彎曲正應(yīng)力公式 1實(shí)驗(yàn)觀察和平面假設(shè) 如圖6-14a所示，取一矩形截面等直梁，實(shí)驗(yàn)前在其表面畫兩條橫向線m-m和

21、n-n，再畫兩條縱向線和，然后在其兩端作用外力偶矩，梁將發(fā)生平面純彎曲變形。觀察其變形，可以看到如下現(xiàn)象(如圖6-14b)：1) 橫向線和仍為直線且與縱向線正交，并相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)微小角度。2) 縱向線和彎成了曲線，且線縮短而線伸長(zhǎng)。圖6-13 圖6-14由于梁內(nèi)部材料的變化無(wú)法觀察，因此假設(shè)橫截面在變形過(guò)程中始終保持為平面。這就是梁純彎曲時(shí)的平面假設(shè)?？梢栽O(shè)想梁由無(wú)數(shù)條縱向纖維組成，且縱向纖維間無(wú)相互擠壓作用，即處于單向受拉或受壓狀態(tài)。 2中性層與中性軸由實(shí)驗(yàn)觀察和平面假設(shè)推知：當(dāng)梁純彎曲時(shí)，從凸邊纖維伸長(zhǎng)連續(xù)變化到凹邊纖維縮短，其間必有一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，這一縱向纖維層稱為中性層(圖6

22、-14c)。中性層與橫截面的交線稱為中性軸，中性軸過(guò)截面的形心。梁純彎曲時(shí)，各橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。從上述分析可以得出以下的結(jié)論：純彎曲時(shí)，梁的各橫截面像剛性平面一樣繞其自身中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)了不同的角度，兩相鄰橫截面之間產(chǎn)生了相對(duì)轉(zhuǎn)角；兩橫截面間的縱向纖維發(fā)生拉伸或壓縮變形，梁的橫截面有垂直于截面的正應(yīng)力；縱向纖維與橫截面保持垂直，截面無(wú)切應(yīng)力。3. 正應(yīng)力公式 為了求得正應(yīng)力在截面上的分布規(guī)律，在梁的橫截面建立坐標(biāo)系，軸為軸線，軸為截面的對(duì)稱軸，方向向下；軸為中性軸。截取出一橫截面繞其中性軸與相鄰截面產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)角的示意圖(如圖6-15a)，觀察其變形。圖 6-15從圖6-15a可以看出，

23、截面上距中性軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)，縱向纖維的伸長(zhǎng)(縮短)量越大，說(shuō)明該點(diǎn)的線應(yīng)變?cè)酱?。由?壓)胡克定律可知，材料在彈性范圍內(nèi)時(shí)，正應(yīng)力與正應(yīng)變成正比，從而得出橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離坐標(biāo)成正比，正應(yīng)力與橫截面垂直，其線性分布規(guī)律如圖6-15b、c所示。應(yīng)用變形幾何關(guān)系和靜力學(xué)平衡關(guān)系進(jìn)一步可推知：橫截面任一點(diǎn)的正應(yīng)力與截面彎矩成正比，與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比，而與截面對(duì)中性軸的慣性矩成反比，其純彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式為 (6-1)式中，表示橫截面上距中性軸為的點(diǎn)處的正應(yīng)力；為橫截面上的彎矩，表示截面對(duì)中性軸的慣性矩。4最大正應(yīng)力計(jì)算公式由式(6-1)可見，截面的最大正應(yīng)力發(fā)生在離中性軸

24、最遠(yuǎn)的上、下邊緣的點(diǎn)上，即 (6-2) 令 (6-3) 則梁截面的最大正應(yīng)力為 (6-4)其中，稱為截面的抗彎截面系數(shù)。 三、常用截面的慣性矩和抗彎截面系數(shù) 1矩形截面設(shè)截面寬為，高為，則 (6-5)2圓截面設(shè)圓截面直徑為，則 (6-6)四、彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算1彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則由式(6-4)可知，梁彎曲時(shí)截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在截面的上、下邊緣處。對(duì)于等截面梁來(lái)說(shuō)，全梁的最大正應(yīng)力一定發(fā)生在最大彎矩所在截面的上、下邊緣處。要使梁具有足夠的強(qiáng)度，必須使梁的最大工作應(yīng)力不超過(guò)材料的許用應(yīng)力，此即為梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力強(qiáng)度條件，即 (6-7)需要說(shuō)明的是：公式(6-7)是以平面純彎曲正應(yīng)力建立的強(qiáng)度準(zhǔn)

25、則，對(duì)于橫力彎曲的梁，當(dāng)梁的跨度遠(yuǎn)大于截面高度()時(shí)，截面剪力對(duì)正應(yīng)力的分布影響很小，可以忽略不計(jì)，此時(shí)，純彎曲的正應(yīng)力強(qiáng)度條件可推廣應(yīng)用于橫力彎曲時(shí)梁的的正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算。2彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算應(yīng)用式(6-7)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件可以解決彎曲強(qiáng)度計(jì)算的三類問(wèn)題，即校核強(qiáng)度、設(shè)計(jì)截面和確定許可荷載。例6-6 圖6-16所示為矩形截面簡(jiǎn)支木梁，已知=10MPa，作用力=10kN，=6m，截面高度是寬度的2倍。(1)試按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則設(shè)計(jì)梁的截面尺寸；(2)若將梁平放(圖6-16c)，試設(shè)計(jì)梁的截面尺寸；(3)計(jì)算梁平放與豎放所用木材的體積比。 圖6-16解1) 畫梁的受力圖并求約束力。 2) 畫梁

26、的彎矩圖(圖6-16a)，求最大彎矩。 3) 按正應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則設(shè)計(jì)截面尺寸。 取=13l mm，則=262mm。4) 按強(qiáng)度準(zhǔn)則設(shè)計(jì)梁平放時(shí)的截面尺寸。取6l=165mm，則k=330mm。 5) 梁平放與豎放所用木材的體積比。 例6-7T形截面外伸梁如圖6-17(a)所示，已知：荷載Fp1=40kN，F(xiàn)p2=15kN，材料的彎曲許用應(yīng)力分別為=45MPa，=175MPa，截面對(duì)中性軸的慣性矩IZ=573×10-6m，下邊緣到中性軸的距離y1=72mm，上邊緣到中性軸的距離了y2=38mm，其他尺寸如圖。試校核該梁的強(qiáng)度。解 此問(wèn)題屬于正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算中的強(qiáng)度校核。 圖6-17(1)

27、求梁在圖示荷載作用下的最大彎矩。 作出梁的彎矩圖，如圖6-17(b)所示。從圖可知：B截面上彎矩取得最大負(fù)值，MB=3kN·m；C截面上彎矩取得最大正值，Mc=4.5kN·m (2)校核梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。 因?yàn)樵摿旱慕孛鏋樯稀⑾逻吘墝?duì)中性軸不對(duì)稱，所以對(duì)該梁進(jìn)行校核時(shí)應(yīng)當(dāng)同時(shí)校核最大正彎矩截面和最大負(fù)彎矩截面。 最大負(fù)彎矩截面(B截面)強(qiáng)度校核。B截面上邊緣產(chǎn)生最大拉應(yīng)力，下邊緣產(chǎn)生最大壓應(yīng)力 B截面滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。 最大正彎矩截面(C截面)強(qiáng)度校核。C截面上邊緣產(chǎn)生最大壓應(yīng)力，下邊緣產(chǎn)生最大拉應(yīng)力： C截面不滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件，所以該梁的正應(yīng)力強(qiáng)度不滿足要求。 第五節(jié)

28、彎曲切應(yīng)力簡(jiǎn)介一、彎曲切應(yīng)力梁在橫力彎曲時(shí)，其橫截面不僅有彎矩，而且有剪力，因而橫截面也就有切應(yīng)力。對(duì)于矩形、圓形截面的梁，當(dāng)其跨度比高度大得多時(shí)，因?yàn)槠鋸澢龖?yīng)力比切應(yīng)力大得多，所以切應(yīng)力就可以略去不計(jì)。但對(duì)于跨度短而截面高的梁，以及一些薄壁梁或剪力較大的截面，切應(yīng)力就不能忽略。本節(jié)只介紹幾種常見截面梁的切應(yīng)力分布及其最大切應(yīng)力計(jì)算公式。由彈性力學(xué)的分析結(jié)果可知，剪力在橫截面上分布，即切應(yīng)力計(jì)算公式為 （6-8）式中，表示橫截面上距中性軸為處的切應(yīng)力；表示該截面的剪力；表示截面上距中性軸為處的截面寬度；表示整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性矩；表示距中性軸為處外側(cè)部分面積(圖6-18a陰影部分)對(duì)中性軸

29、的靜矩。圖6-18二、常見截面的最大切應(yīng)力 現(xiàn)以矩形截面為例(圖6-18a)，說(shuō)明沿截面高度的變化規(guī)律及最大切應(yīng)力作用位置。取一高為，寬為的矩形截面，求距中性軸為處的切應(yīng)力。先求出距中性軸為處外側(cè)部分面積(圖6-18a中陰影部分)對(duì)中性軸的靜矩，取微面積=，從而可得 代入式（6-8） 由此可見，切應(yīng)力的大小沿矩形截面的高度按二次曲線(拋物線)規(guī)律分布，如圖6-17b所示。當(dāng)時(shí)，即在截面上、下邊緣的各點(diǎn)處切應(yīng)力；越靠近中性軸處切應(yīng)力越大，當(dāng)時(shí)，即在中性軸上各點(diǎn)處，其切應(yīng)力達(dá)到最大值，即 可見，矩形截面的最大切應(yīng)力是截面平均切應(yīng)力的1.5倍。對(duì)于其他截面形狀的切應(yīng)力，仍可應(yīng)用式(6-8)求得，其最

30、大切應(yīng)力總是出現(xiàn)在截面中性軸上的各點(diǎn)處。如圖6-17 c所示的工字形截面，切應(yīng)力沿截面高度也是按拋物線規(guī)律分布的(如圖6-18d)，在截面腹板上最大切應(yīng)力與最小切應(yīng)力相差不大，可近似認(rèn)為其均勻分布于腹板面積上，即(為截面腹板面積)。對(duì)于圓截面，；對(duì)于圓環(huán)截面，。三、切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算對(duì)于短跨梁、薄壁梁或承受較大剪力的梁，除了進(jìn)行彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算外，還應(yīng)考慮進(jìn)行彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算。其彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則為：最大切應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用切應(yīng)力，即 （6-9）例6-8 如圖6-19a所示的簡(jiǎn)支梁,作用荷載=10kNm，=200kN，=2m，=0.2m，材料的許用正應(yīng)力=160MPa，許用切應(yīng)力=120M

31、Pa，試選擇工字鋼型號(hào)。解1) 求最大彎矩。求出約束力，并 畫出梁的剪力圖和彎矩圖分別如圖6-19b、c所示。梁中間截面彎矩最大，其值為 2) 強(qiáng)度計(jì)算。按正應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則初選工字鋼型號(hào)，由正應(yīng)力強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則 查附錄C型鋼表，選用22a工字鋼，其=309cm3，=220mm，=12.3mm，腹板厚度 =7.5mm。 圖6-19 按切應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行校核，由剪力圖知kN，代入切應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則，得 因?yàn)樽畲笄袘?yīng)力超過(guò)許用切應(yīng)力很多，所以應(yīng)重新選取較大的工字鋼型號(hào)?，F(xiàn)選取22b工字鋼，由表查出=220mm，mm，腹板厚度=9.5mm。代入切應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行校核，得 可見，選用22b工字鋼能同時(shí)滿足正應(yīng)力

32、強(qiáng)度準(zhǔn)則和切應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則。對(duì)于本例這樣的薄壁梁或短跨梁來(lái)說(shuō)，進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，一般先用正應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行設(shè)計(jì)，再用切應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行校核。例6-9 一矩形截面簡(jiǎn)支梁受荷載作用，如圖6-20(a)所示，截面寬度b=100mm，高度h=200mm，q=4kNm，F(xiàn)P=40kN，d點(diǎn)到中性軸的距離為50mm。 (1)求C偏左截面上a,b，c，d四點(diǎn)的切應(yīng)力。 (2)該梁的最大切應(yīng)力發(fā)生在何處，數(shù)值等于多少? 圖6-20 解 (1)求C偏左截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力 確定C偏左截面上的剪力。 支座反力： FAy=FBy=36kN 取C偏左截面的左側(cè)求該截面上的剪力 FQ=364×4=20kN 求截面的

33、慣性矩及d點(diǎn)對(duì)應(yīng)的(a點(diǎn)、c點(diǎn)分別在截面的下、上邊緣上,b點(diǎn)在中性軸上，它們對(duì)應(yīng)的可以不計(jì)算)。截面對(duì)中性軸的慣性矩： d點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 求各點(diǎn)的切應(yīng)力。 a點(diǎn)及c點(diǎn)分別在截面的下、上邊緣上，距中性軸距離最遠(yuǎn)；=O。b點(diǎn)在中性軸上，該點(diǎn)的切應(yīng)力最大，帶入公式計(jì)算：d點(diǎn)為截面上的任意點(diǎn)用帶入公式計(jì)算：(2)求該梁的最大切應(yīng)力作出梁的剪力圖，梁的最大剪力發(fā)生在A偏右及B偏左截面，其數(shù)值=36kN。該梁的最大切應(yīng)力一定發(fā)生在最大剪力作用截面的中性軸上。 第六節(jié) 梁的變形及剛度計(jì)算在建筑工程中，梁除了應(yīng)有足夠的強(qiáng)度外，還必須具有足夠的剛度，即在荷載作用下梁的彎曲變形不能過(guò)大，否則梁就不能正常工作。因此，工程

34、中對(duì)梁的變形有一定要求，即其變形量不得超出工程允許的范圍。一、撓度和轉(zhuǎn)角度量梁的變形的基本物理量是撓度和轉(zhuǎn)角。如圖6-19所示，在懸臂梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)作用力，其軸線彎成一條平面曲線。變形時(shí)，梁的每一個(gè)橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)了不同的角度，同時(shí)每一個(gè)截面形心產(chǎn)生了不同的位移。1 撓度 橫截面形心在垂直于梁軸線方向的位移稱為撓度，用表示。在圖示的坐標(biāo)系中，撓度向上為正，反之為負(fù)。實(shí)際上，由于軸線在中性層上長(zhǎng)度不變，所以當(dāng)橫截面形心產(chǎn)生垂直位移時(shí)，還伴有軸線方向的位移，因其極微小，可略去不計(jì)。 圖6-212轉(zhuǎn)角橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度稱為截面轉(zhuǎn)角，用表示。在圖示坐標(biāo)系中，轉(zhuǎn)角逆時(shí)針為正，反之為負(fù)。3撓

35、曲線方程梁發(fā)生平面彎曲變形后，其各個(gè)橫截面形心的連線是一條連續(xù)光滑的平面曲線，這條曲線稱為撓曲線。若沿梁的軸線建立截面坐標(biāo)軸(圖6-19)，則撓曲線可表示為截面坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，即 稱為撓曲線方程。 因?yàn)闄M截面轉(zhuǎn)角往往很小，所以稱為轉(zhuǎn)角方程，即梁的撓曲線上任一點(diǎn)的斜率等于該點(diǎn)處橫截面的轉(zhuǎn)角。綜上所述，只要確定了梁的撓曲線方程，即可求得任一橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角。二、用積分法求梁的變形 1撓曲線近似微分方程 當(dāng)梁純彎曲時(shí)，梁的軸線彎成了一條平面曲線，其曲線的曲率公式為 此即為純彎曲時(shí)撓曲線的曲率。由于剪力對(duì)梁彎曲變形的影響忽略不計(jì)，故可由純彎曲時(shí)的曲率公式建立梁的撓曲線近似微分方程。由數(shù)學(xué)分析可知

36、，平面曲線的曲率為 在彈性小變形條件下，很小，是高階無(wú)窮小量，可略去不計(jì)，則1+1，于是得，從而得出撓曲線近似微分方程為 （6-10）2.用積分法求梁的變形 對(duì)于等截面直梁來(lái)說(shuō)，式(6-10)可寫為 對(duì)上式分離變量后進(jìn)行積分，即可得到等截面直梁的轉(zhuǎn)角方程為 （6-11） 撓曲線方程為 （6-12）式中的積分常量和，可根據(jù)梁的邊界條件和撓曲線的光滑連續(xù)條件確定。 例6-10如圖6-22所示，均質(zhì)等截面懸臂梁受均布荷載作用，為常量，試用積分法求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程。解1) 求支座反力，列彎矩方程 2) 列撓曲線近似微分方程并積分，得 圖 6-22 3) 確定積分常量。根據(jù)邊界條件，端為固定端，

37、當(dāng)時(shí)，將代入前式得；當(dāng)時(shí)，將代人上式得。將積分常量代人以上兩式得轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程為 4) 求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度。應(yīng)用以上兩個(gè)方程，很容易求出梁各個(gè)截面的轉(zhuǎn)角和撓度。由圖6-20可見，梁端截面有最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，把端截面坐標(biāo)代入以上方程得 需要注意的是：應(yīng)用積分法求梁的變形，當(dāng)梁上作用的荷載將梁分為幾段時(shí)，梁的彎矩方程是分段定義的函數(shù)，轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程要分段積分；對(duì)于變截面梁，由于其抗彎剛度已不是常量，也要分段進(jìn)行積分計(jì)算。三、用疊加法求梁的變形在復(fù)雜荷載作用下，由于梁的分段很多，積分和積分常量的運(yùn)算相當(dāng)麻煩。由于工程實(shí)際中，一般并不需要計(jì)算整個(gè)梁的撓曲線方程，只需計(jì)算最大撓度和最大轉(zhuǎn)

38、角，所以應(yīng)用疊加法求指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角比較方便。 從例6-8可以看出，梁的撓度和轉(zhuǎn)角都與荷載成線性關(guān)系，且變形為彈性小變形，材料服從胡克定律。這樣，梁上由某一荷載所引起的變形，不會(huì)受其他作用荷載的影響，即每個(gè)荷載對(duì)梁的彎曲變形的作用是相互獨(dú)立的，因此當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)荷載時(shí)，梁截面的總變形就等于每個(gè)荷載單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生變形的代數(shù)和，這種方法稱為疊加法。梁在簡(jiǎn)單荷載作用下的變形可查表，見附錄B。應(yīng)用疊加法，便可求得復(fù)雜荷載作用下梁的變形。例6-11 如圖6-23所示簡(jiǎn)支梁，試用疊加法求梁跨度中點(diǎn)的撓度和支座處截面的轉(zhuǎn)角、。 解 梁上作用荷載可以分為兩個(gè)簡(jiǎn)單荷載(圖6-21b、c)。應(yīng)用附錄B查出

39、它們分別作用時(shí)產(chǎn)生的相應(yīng)變形，然后疊加求代數(shù)和，得 例6-12 如圖6-22所示懸臂梁，已知、，試用疊加法求梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。解 梁上作用荷載分別為兩種形式(圖6-22b、c)。從懸臂梁在荷載作用下自由端有最大變形可知，梁B端有最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。應(yīng)用附錄B查出它們分別作用時(shí)產(chǎn)生的相應(yīng)變形，然后疊加求代數(shù)和，得 圖 6-23 圖6-24 四、梁的彎曲剛度計(jì)算 1剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則設(shè)計(jì)梁時(shí)，除了進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算外，還應(yīng)考慮進(jìn)行剛度計(jì)算，把梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角限制在一定的允許范圍內(nèi)。在機(jī)械工程中，往往要同時(shí)對(duì)撓度和轉(zhuǎn)角進(jìn)行校核，即要求。但在土建工程中對(duì)梁進(jìn)行剛度計(jì)算時(shí)，通常只對(duì)撓度進(jìn)行校核，對(duì)轉(zhuǎn)角一

40、般不作校核。要求梁的最大相對(duì)撓度不超過(guò)許用相對(duì)撓度，即土建工程中，梁的剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則為式中，稱為最大相對(duì)撓度；為許用相對(duì)撓度，其值可根據(jù)梁的工作情況及要求查閱有關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)。土建工程中的許用相對(duì)撓度值常限制在范圍內(nèi)。 2剛度準(zhǔn)則的應(yīng)用與強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則類似，剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則也可以解決剛度計(jì)算的三類問(wèn)題，即校核剛度、設(shè)計(jì)截面、確定許可荷載。對(duì)土建工程中的梁，一般情況下當(dāng)梁的強(qiáng)度滿足要求時(shí)，其剛度也能滿足要求。所以，通常在設(shè)計(jì)時(shí)先按強(qiáng)度準(zhǔn)則設(shè)計(jì)截面或確定許可荷載，再按剛度準(zhǔn)則進(jìn)行校核。當(dāng)剛度不滿足時(shí)，再按剛度準(zhǔn)則設(shè)計(jì)。例6-13圖6-25a所示簡(jiǎn)支梁用32a工字鋼制成，已知均布荷載=8kN/m，梁跨長(zhǎng)6m，彈

41、性模量E=200GPa，許用應(yīng)力=170MPa，許用相對(duì)撓度=。試校核梁的強(qiáng)度和剛度。解 1) 求最大彎矩。畫梁的彎矩圖(圖6-25b)，可知 2) 確定截面參數(shù)。查型鋼表32a，工字鋼得 圖6-253) 校核梁的強(qiáng)度。 可知梁的強(qiáng)度滿足要求。 4) 校核梁的剛度。查附錄B得該簡(jiǎn)支梁的最大撓度為 則最大相對(duì)撓度 可知梁的剛度滿足要求。 例6-14 如圖6-26a所示的簡(jiǎn)支木梁，已知作用荷載=3.6kN，梁跨長(zhǎng)=4m，木材的許用應(yīng)力=10MPa，彈性模量E=10GPa，許用相對(duì)撓度=。試設(shè)計(jì)該木梁的截面直徑。解 1） 求最大彎矩。畫梁的彎矩圖(圖6-26b)，可知 2)按正應(yīng)力強(qiáng)度設(shè)計(jì)。由強(qiáng)度準(zhǔn)

42、則 得 故取d=160mm。 圖6-26 3)按梁的剛度準(zhǔn)則校核。查附錄B得該簡(jiǎn)支梁的最大撓度為故最大相對(duì)撓度可見梁的剛度滿足，所以該木梁的直徑取=160mm。 五、提高彎曲剛度主要措施增加約束減小跨長(zhǎng) 從梁的變形表可以看出，撓度與長(zhǎng)度的三次方量級(jí)成比例，而梁轉(zhuǎn)角與梁長(zhǎng)度的二次方量級(jí)成比例?？梢姡瑴p少梁的跨長(zhǎng)是提高梁剛度的主要措施之一。如果梁的長(zhǎng)度無(wú)法減小，則可通過(guò)增加多余約束，使其成為超靜定梁。梁的剛度還取決于材料的彈性模量，但是各類鋼材的彈性模量值都很接近，采用優(yōu)質(zhì)高強(qiáng)度鋼材對(duì)提高剛度的意義不大。第七節(jié) 簡(jiǎn)單超靜定梁的解法用靜力學(xué)平衡方程不能求解出全部約束力的梁，稱為超靜定梁。工程上為了提

43、高梁的強(qiáng)度和剛度，或因結(jié)構(gòu)上的需要，往往給靜定梁再增加約束，這時(shí)梁就成為了超靜定梁。多于靜力學(xué)平衡方程個(gè)數(shù)的約束稱為多余約束。例如，圖6-27a所示外伸梁，端為固定端約束，為使梁的承載能力有所增加，在端用一根立柱支撐。這就是用增加多余約束的方法，使靜定梁變成超靜定梁。 求解簡(jiǎn)單超靜定梁，一般可將多余約束去掉，代之以約束力。去掉多余約束后的靜定梁，可稱為原超靜定梁的靜定基礎(chǔ)。對(duì)于同一個(gè)超靜定梁，可選擇不同的多余約束，去掉多余約束后，就得到不同的靜定基礎(chǔ)。例如，圖6-27c、d是圖6-27b超靜定梁的不同靜定基礎(chǔ)。在靜定基礎(chǔ)上畫出全部的外荷載，并在去掉多余約束處畫出多余約束力，就得到了靜定梁的基本

44、體系。查變形表比較外荷載和多余約束力在多余約束處的變形，列出變形協(xié)調(diào)方程，即可解出多余約束力，使超靜定梁求解。例6-15 如圖6-27a所示外伸挑梁，已知梁的，荷載作用在梁跨中點(diǎn)，試求該梁的約束力，并畫出梁的彎矩圖。 解 1) 建立外伸梁的力學(xué)簡(jiǎn)圖，如圖6-27b所示，為超靜定梁。 2) 去掉一端活動(dòng)鉸支座約束，得懸臂梁為靜定基礎(chǔ)，在靜定基礎(chǔ)上畫出荷載，和多余約束力，得圖6-27c所示的基本體系。3) 查變形表，比較和分別作用時(shí)端的變形。因?yàn)?0，所以得出變形協(xié)調(diào)方程為 圖6-25 解得 4) 列平衡方程求得， 5) 畫梁的彎矩圖，如圖6-27e所示。選取簡(jiǎn)支梁為靜定基礎(chǔ)，建立圖7-25d所示

45、的基本體系。因?yàn)?0，所以比較端的轉(zhuǎn)角為 列平衡方程求得 本章小結(jié)一、直梁平面彎曲 受力與變形特點(diǎn)是：外力作用于梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，梁的軸線彎成一條平面曲線。靜定梁的應(yīng)用性力學(xué)模型是簡(jiǎn)支梁、外伸梁和懸臂梁。 二、彎曲的內(nèi)力剪力和彎曲 任意截面的剪力，等于截面左段梁或右段梁上外力的代數(shù)和；左段梁上向上的外力或右段梁上向下的外力產(chǎn)生正值剪力。反之產(chǎn)生負(fù)值剪力。任意截面的彎矩，等于截面左段梁或右段梁上外力對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和；左段梁上順時(shí)針轉(zhuǎn)向或右段梁上向下逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力矩產(chǎn)生正值彎矩。反之產(chǎn)生負(fù)值剪力。可簡(jiǎn)述為等于截面左（或右）段梁上外力的代數(shù)和，左上、右下為正。等于截面左（或右）段梁上外力矩

46、的代數(shù)和，左順、右逆為正。 三、剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖是分析梁危險(xiǎn)截面的重要依據(jù)。正確、熟練地畫出剪力圖和彎矩圖是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)。列剪力、彎矩方程是剪力圖和彎矩圖的基本方法，但應(yīng)用簡(jiǎn)便畫法比較簡(jiǎn)捷實(shí)用。四、的微分方程 利用、的微分關(guān)系可檢查剪力圖和彎矩圖畫的是否正確。五、彎曲正應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算 （1）直梁平面純彎曲時(shí)，由平面假設(shè)可知，梁的每個(gè)橫截面繞其自身中性軸（中性軸過(guò)平面的形心）轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。有一個(gè)既不伸長(zhǎng)又不縮短的中性層，中性層上、下兩側(cè)一側(cè)縱向纖維拉長(zhǎng)，另一側(cè)縱向纖維縮短。其應(yīng)力分布公式和最大正應(yīng)力公式分別為（2）彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則為六、彎曲切應(yīng)力簡(jiǎn)介橫力彎曲時(shí)的最大切應(yīng)力發(fā)生

47、在中性軸上。梁的彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則為設(shè)計(jì)時(shí)，對(duì)于（），一般只進(jìn)行正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算；但對(duì)于薄壁梁或短跨梁，既要進(jìn)行正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算，又要進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算。七、梁的變形和剛度的計(jì)算梁的變形用撓度和轉(zhuǎn)角衡量。可通過(guò)積分法求出梁的撓曲線、轉(zhuǎn)角方程，確定指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角。梁的變形與作用荷載成線性關(guān)系，求復(fù)雜荷載作用下梁的變形一般應(yīng)用疊加法。八、簡(jiǎn)單超靜定梁的解法用變形比較法求解超靜定梁，先解除多余約束確定靜定基礎(chǔ)，即建立靜定梁的基本體系，在比較荷載和多余約束的變形并滿足變形條件，解出多余約束力；然后列平衡方程可解出全部約束力。思 考 題6-1. 什么是梁的平面彎曲？6-2. 梁的剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)是如何規(guī)定的？6-3. 如何利用簡(jiǎn)便方法計(jì)算梁指定截面上的內(nèi)力？6-4. 彎矩、剪力與荷載集度間的微分關(guān)系的意義是什么？6-5. 如何確定彎矩的極值？彎矩圖上的極值是否就是梁的最大彎矩？6-6. 何謂梁的中性層？中性軸？6-7. 梁彎曲時(shí)橫截