2020年浙江高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

1、C. 261 D. 279 必過數(shù)材美 兩個計(jì)數(shù)原理 完成一件事的策略 完成這件事共有的方法 分類加法計(jì)數(shù) 原理 有兩類不冋方案，在第 1 類方案中有 m 種不冋 的方法，在第 2 類方案中有 n 種不冋的方法 N= m+ n 種不同的方法 分步乘法計(jì)數(shù) 原理 需要兩個步驟，做第 1 步有 m 種不同的方法， 做第 2步有 n 種不同的方法 N= mX n 種不同的方法 小題體驗(yàn) 1 設(shè) x, y N,且 x + yw 3,則滿足條件的有序?qū)崝?shù)對 （x, y）的數(shù)量有（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 解析：選 D 由題可得，當(dāng) x= 0 時，y= 0,1,2,3 ;當(dāng) x= 1

2、 時，y= 0,1,2 ;當(dāng) x = 2 時，y =0,1;當(dāng) x = 3 時，y= 0.所以由分類加法計(jì)數(shù)原理可得， 滿足條件的有序?qū)崝?shù)對有 N = 4 + 3 + 2+ 1 = 10 對.故選 D. 2某考生進(jìn)行高考志愿填報(bào)，根據(jù)自己的興趣及就業(yè)意向，打算從某高校的 5 個專業(yè) 中選擇 3 個，分別作為第一、第二、第三志愿，則不同的志愿填報(bào)方式有 _ 種. 解析：由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的志愿填報(bào)方式有 N = 5X 4 X 3 = 60 種. 答案：60 必過易措關(guān) 1分類加法計(jì)數(shù)原理在使用時易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情， 類與 類之間是獨(dú)立的. 2分步乘法計(jì)數(shù)原理在使

3、用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而 未完成這件事，步與步之間是相關(guān)聯(lián)的. 小題糾偏 1. 用 0,1,2,，9 十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為 （ ） A. 243 B. 252分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 第 解析：選 B 0,1 , 2,，9 共能組成 9X 10X 10= 900（個）三位數(shù)，其中無重復(fù)數(shù)字的 三位數(shù)有 9X 9X 8= 648（個），有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有 900- 648= 252（個）. 2. 如圖，從 A 城到 B 城有 3 條路；從 B 城到 D 城有 4 條路；從 A 城到 C 城有 4 條路, 從 C 城到 D 城有 5

4、條路，則某旅客從 A 城到 D 城共有 _ 條不同的路線. 解析：不同路線共有 3X 4 + 4X 5= 32（條）. 答案：32 考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)一一自主練透 題組練透 1. 某同學(xué)有同樣的畫冊 2 本，同樣的集郵冊 3 本，從中取出 4 本贈送給 4 位朋友，每 位朋友 1 本，則不同的贈送方法共有 （ ） A. 4 種 B. 10 種 C. 18 種 D. 20 種 解析：選 B 分兩種情況：4 位朋友中有 2 個人得到畫冊，有 C4= 6（種）贈送方法； 4 位朋友中只有 1 個人得到畫冊，有 C1 = 4（種）贈送方法，所以不同的贈送方法共有 6 + 4 =10（

5、種），故選 B. 2 2 2橢圓X + y = 1 的焦點(diǎn)在 x 軸上，且 m 1,2,3,4,5 , n 1,2,3,4,5,6,7，則這樣的橢 m n 圓的個數(shù)為 _ . 解析：因?yàn)榻裹c(diǎn)在 x 軸上，所以 m n.以 m 的值為標(biāo)準(zhǔn)分類，由分類加法計(jì)數(shù)原理， 可分為四類：第一類： m= 5 時，使 m n, n 有 4 種選擇；第二類： m= 4 時，使 m n, n 有 3 種選擇；第三類： m= 3 時，使 m n, n 有 2 種選擇；第四類： m= 2 時，使 m n, n 有 1 種選擇.故符合條件的橢圓共有 10 個. 答案：10 3. （2019 諸暨模擬）小王同學(xué)在書店發(fā)現(xiàn)

6、三本有價值的書，若決定買一本，則購買的方 式有 種；決定至少買一本，則購買的方式有 _ 種. 解析：根據(jù)題意，若只買一本，則有 3 種選擇；若只買 2 本，則有 3 種選擇；若買 3 本，則有 1 種選擇.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知： N = 3 + 3+ 1= 7 種. 答案：3 7相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為 () 謹(jǐn)記通法 利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題時 2 個注意點(diǎn) （1） 根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏； （2） 分類時，注意完成這件事件的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù). 考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)一一自主練透 題組練透 1 雙

7、十一亞馬遜網(wǎng)站圖書類優(yōu)惠大促小明同學(xué)擬在 5 本不同的數(shù)學(xué)教輔圖書、 3 本 不同的物理教輔圖書以及 6 本不同的英語教輔圖書中各選 1 本進(jìn)行學(xué)習(xí)，則不同的選法種 數(shù)是（ ） A 14 B. 90 C. 48 D. 45 解析：選 B 先選數(shù)學(xué)書，有 5 種不同的選法；再選物理書，有 3 種不同的選法；最 后選英語書，有 6 種不同的選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得， 不同的選法種數(shù)是 N = 5X 3X 6 =90 種. 2. （2019 臺州模擬）有 4 個不同書寫形式的“迎”字和 3 個不同書寫形式的“新”字， 如果一個“迎”字和一個“新”字能配成一套，則不同的配套方式共有 （ ） A.

8、7 種 B. 12 種 C. 64 種 D. 81 種 解析：選 B 分兩步進(jìn)行，第一步，選“迎”字，有 4 種不同的選法；第二步，選“新” 字，有 3種不同的選法，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知： N = 4 X 3= 12 種. 3. 從一 1,0,1,2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù) f（x） = ax2 + bx+ c 的系數(shù)，則可組 成 _ 個不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有 _ 個（用數(shù)字作答）. 解析：一個二次函數(shù)對應(yīng)著 a, b, c（a豐0）的一組取值，a 的取法有 3 種，b 的取法有 3 種，c 的取法有 2 種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有 3X 3X 2 = 18（個）二次函數(shù)

9、.若二次函數(shù) 為偶函數(shù)，則 b= 0,同上可知共有 3X 2= 6（個）偶函數(shù). 答案：18 6 謹(jǐn)記通法 利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題時 3 個注意點(diǎn) （1） 要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的. （2） 各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事. （3） 對完成每一步的不同方法數(shù)要根據(jù)條件準(zhǔn)確確定. 考點(diǎn)三兩個原理的應(yīng)用重點(diǎn)保分型考點(diǎn)一一師生共研 典例引領(lǐng) 1. 如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色， B X C A. 24 B . 48 C . 72 D . 96 解析：選 C 分兩種情況： (1) A, C 不同色，先涂

10、 A 有 4 種，C 有 3 種，E 有 2 種，B, D 有 1 種，有 4X 3X 2 = 24(種)涂法. (2) A, C 同色，先涂 A 有 4 種，E 有 3 種，C 有 1 種，B, D 各有 2 種，有 4 X 3X 2 X 2 =48(種)涂法. 故共有 24+ 48= 72 種涂色方法. 2. _ 袋中有 8 個不同的紅球，7 個不同的白球，6 個不同的黃球，現(xiàn)從中任取兩個不同 顏色的球，則不同的取法有 種. 解析：若取紅球、白球各一個，則不同的取法有 8X 7= 56 種；若取紅球、黃球各一個， 則不同的取法有 8X 6= 48 種；若取白球、黃球各一個，則不同的取法有

11、7X 6= 42 種.由 分類加法計(jì)數(shù)原理可得，不同的取法有 N = 56+ 48 + 42= 146 種. 答案：146 由題悟法 兩個原理應(yīng)用的關(guān)鍵 (1) 應(yīng)用兩個計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)在于明確分類還是分步. (2) 分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵. (3) 分步要做到“步驟完整”，步步相連才能將事件完成. (4) 較復(fù)雜的問題可借助圖表完成. 即時應(yīng)用 1. 如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”.在 一個正方體中，由兩個頂點(diǎn)確定的直線與含有四個頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個 數(shù)是( ( ) ) A. 48 B. 18 C. 24 D . 36

12、 解析：選 D 分類討論： 第一類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成 “正交線面對”，這樣的“正交線面 對”有 2X 12= 24(個); 相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為 () 第二類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成 “正交線面對”，這樣的“正 交線面對”有 12 個. 所以正方體中“正交線面對”共有 24 + 12 = 36(個). 2. _ 如圖，用 6 種不同的顏色把圖中 A, B, C, D 4 塊區(qū)域分開， 若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則涂色方法共有 _種（用數(shù)字作 答）. d, e 共 5 個人，從中選 1 名組長 1 名副組長，但 a 不能當(dāng)副組長，不

13、同 A. 20 C. 10 當(dāng) a 當(dāng)組長時，則共有 1 X 4 = 4（種）選法；當(dāng) a 不當(dāng)組長時，因?yàn)?a 不能 4X 3= 12（種）選法.因此共有 4+ 12= 16 種選法. 2. （2019 江山模擬）某班班干部有 5 名男生，4 名女生，從中各選一名干部參加學(xué)生黨 校培訓(xùn)，則不同的選法種數(shù)有 （ ） B. 20 C. 16 D. 24 解析：選 B 先選男生，有 5 種不同的選法，再選女生，有 4 種不同的選法.由分步 乘法計(jì)數(shù)原理可知： N = 5 X 4 = 20. 3. 某 市 汽 車牌照號碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個號碼只能從字母 B, C, D 中選擇，其他四

14、個號碼可以從 09 這十個數(shù)字中選擇（數(shù)字可以重復(fù)），有車主第一個號碼（從 左到右）只想在數(shù)字 3,5,6,8,9 中選擇，其他號碼只想在 1, 3,6,9 中選擇，則他的車牌號碼可 選的所有可能情況有（ ） A. 180 種 B. 360 種 C. 720 種 D. 960 種 解析：選 D 按照車主的要求，從左到右第一個號碼有 5 種選法，第二個號碼有 3 種 選法，其余三個號碼各有 4 種選法.因此車牌號碼可選的所有可能情況有 5X 3 X 4X 4X 4 解析：從 A 開始涂色，A 有 6 種涂色方法, B 有 5 種涂色方法，C 有 4 種涂色方法，D 有 4 種涂色方法由分步乘法計(jì)

15、數(shù)原理可知，共有 6X 5X 4X 4= 480（種）涂色方法. 1. a, b, c, B. 16 解析：選 B 當(dāng)副組長，則共有 答案：480 一抓基 =960（種）. 4. _ 從0,1,2,3,4 這 5 個數(shù)字中任取 3 個組成三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)是 _ ; 3 的 倍數(shù)的個數(shù)有 _ . 解析：從 1,3 中取一個排個位，故排個位有 2 種方法；排百位不能是 0,可以從另外 3 個數(shù)中取一個，有 3 種方法；排十位有 3 種方法.故所求奇數(shù)的個數(shù)為 3X 3 X 2= 18.若有 0, 則另兩個數(shù)分別為 1,2 或 2,4,則不同的三位數(shù)有 2 X 2X 2 = 8 種，若有 3，

16、則另兩個數(shù)分別 為 1,2 或 2,4，則不同的三位數(shù)有 3 X 2X 2= 12 種，所以滿足條件的 3 的倍數(shù)的個數(shù)為 8 + 12= 20 個. 答案：18 20 5. （2018 溫州八校）將三個分別標(biāo)有 A, B, C 的球隨機(jī)放入編號為 1,2,3,4 的四個盒子 中，則 1 號盒子中無球的不同放法種數(shù)有 _種；1 號盒子中有球的不同放法種數(shù)有 _ 種. 解析：1 號盒子無球的不同放法有 33= 27 種，1 號盒子有球的不同放法有 43- 33= 64 27= 37 種. 答案：27 37 二保咼考，全練題型做到咼考達(dá)標(biāo) 1設(shè)集合 A = 1,0,1，集合 B= 0,1,2,3，

17、定義 A*B = （x, y）|x A n B, y AU B, 則 A*B 中元素的個數(shù)是（ ） A. 7 B. 10 C. 25 D. 52 解析：選 B 因?yàn)榧?A = 1,0,1,集合 B= 0,1,2,3，所以 A n B= 0,1 ,A U B = 1,0,1,2,3，所以 x 有 2 種取法，y 有 5 種取法，所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得有 2X 5 = 10（個）. 2. 從2,3,4,5,6,7,8,9 這 8 個數(shù)中任取 2 個不同的數(shù)分別作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)， 則 可以組成不同對數(shù)值的個數(shù)為 （ ） A. 56 B. 54 C. 53 D. 52 解析：選 D 在

18、8 個數(shù)中任取 2 個不同的數(shù)共有 8X 7= 56（個）對數(shù)值，但在這 56 個對 數(shù)值中，log24= log39 , log42= log93 , log23= log49, log32= log94，即滿足條件的對數(shù)值共有 56 4= 52（個）. 3. （2019 嘉興四高適應(yīng)性考試）將 3 封信投入 6 個不同的信箱內(nèi)，則不同的投法種數(shù)有 （ ） A. 9 B. 18 C. 216 D. 729 解析：選 C 將 3 封信投入 6 個不同的信箱內(nèi)，每封信都有 6 種不同的投法，所以滿 足條件的不同投法種數(shù)有 63= 216 種. 4. 用數(shù)字 0,1,2,3,4,5 組成沒有重復(fù)數(shù)

19、字的五位數(shù)，其中比 40 000 大的偶數(shù)共有（ ） A. 144 個 B. 120 個 C. 96 個 D. 72 個 解析：選 B 當(dāng)萬位數(shù)字為 4 時，個位數(shù)字從 0,2 中任選一個，共有 2A4個偶數(shù)；當(dāng)萬 位數(shù)字為 5 時，個位數(shù)字從 0,2,4 中任選一個，共有 C1A4個偶數(shù)故符合條件的偶數(shù)共有 2A3+ C3A4= 120（個） A 24 種 B. 72 種 C. 84 種 D. 120 種 解析：選 C 如圖，設(shè)四個直角三角形順次為 C D 順序涂色， 下面分兩種情況： （1）A, C 不同色（注意：B, D 可同色、也可不同色， D 只要不與 A, C 同色，所以 D 可

20、以從剩余的 2 種顏色中任意取一色）：有 4X 3X 2X 2= 48（種）不同的涂法. （2）A, C 同色（注意：B, D 可同色、也可不同色， D 只要不與 A, C 同色，所以 D 可以 從剩余的 3 種顏色中任意取一色）:有 4X 3X 1X 3= 36（種）不同的涂法.故共有 48+ 36= 84（種） 不同的涂色方法.故選 C. 6.集合 N = a, b, c? - 5, 4, 2,1,4，若關(guān)于 x 的不等式 ax2+ bx+ cv 0 恒有 實(shí)數(shù)解，則滿足條件的集合 N 的個數(shù)是 _ . 解析：依題意知，集合 N 最多有 C3= 10（個），其中對于不等式 ax2 + bx

21、+ cv 0 沒有實(shí) 數(shù)解的情況可轉(zhuǎn)化為需要滿足 a 0,且= b2 4ac 0,因此只有當(dāng) a, c 同號時才有可能， 共有 2 種情況，因此滿足條件的集合 N 的個數(shù)是 10 2 = 8. 答案：8 7. 在一個三位數(shù)中，若十位數(shù)字小于個位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為駝峰數(shù)”，比如 “102,” “ 546 為“駝峰數(shù)”.由數(shù)字 1,2,3,4 可構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”有 _ 個.其中偶數(shù)有 _ 個. 解析：十位上的數(shù)為 1 時，有 213,214,312,314,412,413，共 6 個，十位上的數(shù)為 2 時， 有 324,423,共 2 個，所以共有 6+ 2= 8（個）.偶數(shù)為 21

22、4,312,314,412,324，共 5 個. 答案：8 5 8. 如圖所示， 用五種不同的顏色分別給 A, B, C, D 四個區(qū)域涂色, 相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方 法共有 _ 種. 解析：按區(qū)域分四步：第一步， A 區(qū)域有 5 種顏色可選；第二步，B 區(qū) 域有 4 種顏色可選；第三步，C 區(qū)域有 3 種顏色可選；第四步，D 區(qū)域也有 3 種顏色可選.由 分步乘法5.如圖是一個由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形, 現(xiàn)在用四種顏色給這四個直角三角形區(qū)域涂色, 規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色, 相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方法有 （） B

23、計(jì)數(shù)原理，共有 5X 4X 3X 3= 180（種）不同的涂色方法. 答案：180 9. 已知 ABC 三邊 a, b, c 的長都是整數(shù)，且 a b c,如果 b= 25，則符合條件的 三角形共有 _ 個. 解析：根據(jù)三邊構(gòu)成三角形的條件可知， cv 25+ a. 第一類：當(dāng) a= 1, b= 25 時，c 可取 25,共 1 個值； 第二類，當(dāng) a= 2, b= 25 時，c 可取 25,26，共 2 個值; 當(dāng) a = 25, b= 25 時，c 可取 25,26,，49,共 25 個值； 所以三角形的個數(shù)為 1 + 2 + 25= 325. 答案：325 10. 已知集合 M = 3,

24、 2,- 1, 0, 1, 2，若 a, b, c M,則： (1) y= ax2 + bx+ c 可以表示多少個不同的二次函數(shù)； (2) y= ax2 + bx+ c 可以表示多少個圖象開口向上的二次函數(shù). 解：(1)a 的取值有 5 種情況，b 的取值有 6 種情況，c 的取值有 6 種情況，因此 y= ax2 + bx+ c可以表示 5 X 6 X 6= 180(個)不同的二次函數(shù). (2)y= ax2 + bx+ c 的圖象開口向上時，a 的取值有 2 種情況，b, c 的取值均有 6 種情況， 因此 y= ax2 + bx+ c 可以表示 2X 6X 6= 72(個)圖象開口向上的二

25、次函數(shù). 三上臺階，自主選做志在沖刺名校 2 2 1.已知集合 A=(x, y)|x + yw 1, x, y Z, B= (x, y 川 x|w 2, |y| 2, x, y Z, 定義集合 A B = ( (X1 + X2, y1+ y2)|( X1,y1) A, (x2 ,y2) B，則 A B 中元素的個數(shù)為( ( ) ) A. 77 B. 49 C. 45 D. 30 解析：選 C A= (x, y)|x2+ y2w 1, x, y Z = (x, y)|x = , y= 0;或 x= 0 , y= 1; 或 x= 0 , y= 0, B= (x , y 川 x|w 2 , |y|w 2 , x , y Z= (x , y)|x= 2, 1 , 0,1,2; y= 2, 1,0,1,2, A B表示點(diǎn)集. 由 X1= 1,0,1, x?= 2, 1,0,1,2 ,得 x1 + x?= 3, 2, 1,0,1,2,3 ,共 7 種取值可 能. 同理，由 y1= 1,0,1 , y2= 2, 1,0,1,2，得 y1+ y2= 3, 2, 1,0,1,2,3 ,共 7 種 取值可能. 當(dāng) X1+ X2= 3 或 3 時，浙+ y2可以為一 2, 1,0,1,2 中的一個值，分別構(gòu)成 5 個不同的 占 八、5 當(dāng) X1+ X2= 2, 1,0,1,2 時，y1 +