2020年高考文數(shù)(人教版)教學(xué)案第32講平面向量的數(shù)量積

1、第 32 講 平面向量的數(shù)量積 I復(fù)習(xí)目 _ , 1 理解和掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義. 2 掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)、運算律及其運算. 3 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算. 4 能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系. . _ 知識梳理 1 .兩向量的夾角與垂直 已知兩個非零向量 a , b,作OA = a, OB = b,貝 U ZAOB = 9(0 180 叫做向量 a, b 的夾角，特別地，當(dāng) a 與 b 夾角為 90。時，我們說 a 與 b 垂直，記作 a 丄 b . 2. 向量數(shù)量積的定義 已知兩個非零向量 a, b,它們的夾

2、角為 9,我們把數(shù)量 |a| |b|cos 9叫做 a 與 b 的數(shù) 量積，記作 a b,即卩 a b= |a| |b|cos 9 . 規(guī)定 0 與任一向量的數(shù)量積為 0 3. ab 的幾何意義 (1) 一個向量在另一個向量方向上的投影. 設(shè)9是向量 a 與 b 的夾角，貝U |a|cos 9叫做 a 在 b 方向上的投影， |b|cos 9叫做 b 在 a 方向上的投影. (2) a b 的幾何意義：a b 等于 a 的長度 |a|與 b 在 a 方向上的投影 |b|cos 9的乘積. 4. 向量數(shù)量積的性質(zhì) a, b 是兩個非零向量，它們的夾角為 9. (1)當(dāng) a 與 b 同向時，a b

3、= |a|b| ;當(dāng) a 與 b 反向時，a b= - |a|b| ;特別地，a a =a2= |a|2 或 |a|= a a (2) a b=0 a 丄 b . a b (3) cos 9= . |a|b| (4) | a b| w |a|b|. 5. 向量數(shù)量積的運算律 (1) a b= b a (交換律). (2) (掃)b= Xa b) = a (血)(入 R). (3)( a + b) c= a c+ b c . 6. 向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 (1) 若 a= (x1, yj, b= (x2, 丫2),貝 U a b= X1X2+ yy2 (2) 若 a= (x, y)，貝 U a a

4、 = a2= |a|2= x + y2 , |a|= , x2+ y2 (3)若 A(xi, yi), B(X2, y2),貝 U |AB|= p(X2 xi j+(y2 yi f ，此時為兩點間的距離公 式. (4) 若 a= (xi, yi), b= (X2, y2),貝 U a丄b xiX2+ yiy2= 0 (5) a, b 是兩個非零向量，它們的夾角為 0, a = (xi, yi), b =(X2, y2)，貝 U cos 0= xix2 + yiy2 C2 2 r2 2 . xi + yi x2+ y2 i .兩個向量 a, b 的夾角為銳角？ a b0 且 a, b 不共線;

5、兩個向量 a, b 的夾角為鈍角？ a b i 3yF3 所以 AE= （5, 3）, BF = （-2,寧）, 1 33 所以 AE BF = （5, .3） （-2, ?。?1 廠鉅 =5X （尹 3X- = 2. .L課匹 _ 1. 平面向量 a 與 b 的數(shù)量積為 ab=|a|bCos 0,它是一個實數(shù)，而不是向量，其中 0 是 a 與 b 的夾角，要注意夾角的定義和它的取值范圍： 0 其 180 2. 計算數(shù)量積一般有三種方法：定義、坐標(biāo)運算及利用運算律計算. 向量的數(shù)量積可以解決與長度、角度、垂直等有關(guān)的問題. 4由于向量有幾何法和坐標(biāo)法兩種形式，它的運算也因為這兩種表示方法而有兩種: 基于幾何表示的幾何法和基于坐標(biāo)表示的代數(shù)法，在具體做題時要