南航07-14矩陣論試卷

1、南京航空航天大學(xué)07-14碩士研究生矩陣論試題2007 2008學(xué)年矩陣論 課程考試A卷一、（20分）設(shè)矩陣，（1）求的特征多項式和的全部特征值；（2）求的行列式因子、不變因子和初等因子；（3）求的最小多項式，并計算；（4）寫出的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。二、（20分）設(shè)是實數(shù)域上全體實矩陣構(gòu)成的線性空間(按通常矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法)。（1）求的維數(shù)，并寫出其一組基；（2）設(shè)是全體實對稱矩陣的集合，證明：是的子空間，并寫出的維數(shù)和一組基；（3）在中定義內(nèi)積，求出的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基；（4）給出上的線性變換： 寫出線性變換在（1）中所取基下的矩陣，并求的核和值域。三、（20分）（1）設(shè)，求，；（2）

2、設(shè)，令，證明：是上的矩陣范數(shù)并說明具有相容性；（3）證明：。四、（20分）已知矩陣，向量，（1）求矩陣A的分解；（2）計算；（3）用廣義逆判斷方程組是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其極小最小二乘解。五、（20分）（1）設(shè)矩陣，其中為實數(shù)，問當(dāng)滿足什么條件時, 成立？（2）設(shè)階Hermite矩陣，其中，證明：。（3）已知Hermite矩陣，證明：正定。2007 2008學(xué)年矩陣論 課程考試B卷一（20分）已知矩陣，（1）求的不變因子、初等因子及最小多項式；（2）求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及可逆變換矩陣，使得；（3）問矩陣序列是否收斂？.二（20分）（1）已知矩陣，求（2）設(shè)為階可逆矩陣，是上

3、的相容范數(shù)，為的任一特征值，證明： 。三（20分）表示實數(shù)域上次數(shù)不小于3的多項式與零多項式構(gòu)成的線性空間，對，記，在上定義線性變換：（1）給出的一組基，并求出線性變換在該基下的表示矩陣；（2）求線性變換的特征值和特征向量；（3）判斷線性變換是否可對角化？若可以，給出對角化的一組基；若否，證明之。四（20分）（1）設(shè)，試給出的滿秩分解，并計算；（2）設(shè)，利用廣義逆矩陣判斷線性方程組是否相容？若相容，求其通解；若不相容，求其極小最小二乘解。五（20分）（1）設(shè),其中是實數(shù)，問滿足什么條件時，成立？（2）設(shè)為階Hermite矩陣，對任意，記，證明：。（3）設(shè)階Hermite矩陣，其中，如果 證明：

4、。2008 2009學(xué)年矩陣論 課程考試A卷一（20分）設(shè), （1） 求的特征多項式和的全部特征值； （2） 求的不變因子、初等因子和最小多項式； （3） 寫出的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。二（20分）（1）設(shè)，求；（2） 設(shè)是上的相容矩陣范數(shù)，證明：（i） 如果是n階可逆矩陣，是的任一特征值，則；（ii） 如果是可逆矩陣，令，則是上的相容矩陣范數(shù)。三（20分）設(shè)，（1） 作出A的滿秩分解，計算；（2） 應(yīng)用廣義逆矩陣判定線性方程組是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其極小最小二乘解；（3） 設(shè)是實矩陣，是維實向量，證明：不相容線性方程組的最小二乘解唯一當(dāng)且僅當(dāng)列滿秩。四 (20分)設(shè)表示實數(shù)域上

5、全體上三角矩陣作成的線性空間（對矩陣的加法和數(shù)量乘法）。 （1） 求的維數(shù)，并寫出的一組基； （2） 在中定義線性變換：, 求在（1）中所取基下的矩陣表示；（3） 求（2）中線性變換的值域和核，并確定它們的維數(shù)；（4） 在中能否取一組基使得（2）中線性變換在所取基下的矩陣為對角矩陣？如果能，則取一組基；如果不能，則說明理由。五（20分）設(shè)為n階Hermite矩陣，證明：存在唯一Hermite矩陣使得；（2） 如果，則；（3） 如果，則。2009 20010學(xué)年矩陣論 課程考試A卷一、（20分）設(shè)， （1）求A的特征多項式和A的全部特征值； （2）求A的不變因子、初等因子和最

6、小多項式； （3）寫出A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型J； （4）求可逆矩陣P，使。二、（20分） （1）設(shè)，求； （2）設(shè)，令×，證明是Cn×n上的矩陣范數(shù)并說明具有相容性； （3）設(shè)A,B均為n階矩陣，并且AB=BA，證明：如果A有n個互異的特征值，則B相似于對 角矩陣。三、（20分）設(shè)表示實數(shù)域R上次數(shù)小于3的多項式再添上零多項式構(gòu)成的線性空間（按 通常多項式的加法和數(shù)與多項式的乘法）。 （1）在中定義線性變換T：求變換T在基下的矩陣；（2）求 T的值域R(T)和核ker(T)的維數(shù)和基； （3）求線性變換T的特征值及特征向量； （4）在中定義內(nèi)積 ,求出的

7、一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。四、（20分） （1）設(shè)，其中t為實參數(shù)，問t取何值時A正定； （2）設(shè)A是n階Hermite矩陣，證明：A半正定的充分必要條件是A的特征值均為非負(fù)實數(shù)；（3）已知n階矩陣³，證明，并且等號成立的充分必要條件為A=0。五、（20分） （1）， (i)做出A的滿秩分解，并計算+； (ii)用廣義逆矩陣判定線性方程組Ax=b是否相容，若相容，求其通解；若不相容，求其極小最小二乘解； （2）設(shè)A,B,C分別為,矩陣，則矩陣方程AXB=C有解的充分必要條件是 。2010 2011學(xué)年矩陣論 課程考試A卷一（20分）（1）設(shè)。 （i）求的特征多項式和的全部特征值； （ii）求的

8、行列式因子，不變因子和初等因子； （iii）寫出的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形； （2）設(shè)，試問A和B是否相似？并說明原因。二（20分）（1）設(shè)，求，；（2）設(shè)的特征值為，求證： (i) ；(ii) 的充要條件是為正規(guī)矩陣。三（20分）設(shè) （1） 證明：是的線性子空間，并求的基和維數(shù)； （2） 在中定義變換, 其中為的伴隨矩陣， 證明：為線性變換； （3） 求在（1）中所取基下的矩陣表示；（4） 求（2）中線性變換的值域和核，并確定它們的維數(shù).四（20分）設(shè)。（1）證明：半正定；（2）證明：，并且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)；（3）證明：；（4）證明：存在唯一的對稱半正定矩陣使得。五（20分）（1）設(shè)，.（i） 求

9、A的奇異值分解；（ii）計算廣義逆矩陣；（iii）用廣義逆矩陣判定線性方程組是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其極小最小二乘解;（2）設(shè)，判定矩陣級數(shù)是否收斂。若收斂，求其和。2011 2012學(xué)年矩陣論 課程考試A卷一（20分）設(shè)。 （1） 求的特征多項式和的全部特征值； （2） 求的行列式因子，不變因子，初等因子和最小多項式；（3） 寫出的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。二（20分）（1）設(shè)，求；（2）設(shè)，證明：（i）對階酉矩陣和階酉矩陣，有；（ii）若，為的全部正奇異值，則。三（20分）設(shè)，.（1） 計算A的滿秩分解；（2）計算廣義逆矩陣；（3）用廣義逆矩陣判定線性方程組是否相容。若相容，求其

10、通解；若不相容，求其極小最小二乘解。四（20分）（1）設(shè)，判斷是否是正定或半正定矩陣，并說明理由；（2）設(shè)是n階Hermite正定矩陣，是n階Hermite矩陣，證明：相似于實對角矩陣；（3）設(shè)，均為n階Hermite矩陣，并且，是的特征值，證明：存在的特征值和的特征值，使得。五（20分）設(shè)表示實數(shù)域上次數(shù)小于3的多項式再添上零多項式構(gòu)成的線性空間。 （1） 確定的維數(shù)，并寫出的一組基；（2） 對，在上定義線性變換如下：，求在（1）中所取基下的矩陣表示；（3） 求（2）中線性變換的值域和核，并確定它們的維數(shù)；（4） 在中定義內(nèi)積求的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。2012 2013學(xué)年矩陣論 課程考試A卷一、

11、(20分) 設(shè)是的一個線性子空間，對任意，定義：，其中.(1) 求的一組基和維數(shù)；(2) 對任意，定義：，二、(20分)設(shè)三階矩陣，.(1) 求的行列式因子、不變因子、初等因子及Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；(2) 利用矩陣的知識，判斷矩陣和是否相似，并說明理由.三、(20分)已知線性方程組不相容.(1) 求系數(shù)矩陣的滿秩分解；(2) 求廣義逆矩陣；(3) 求該線性方程組的極小最小二乘解.四、(20分)已知冪級數(shù)的收斂半徑為3,矩陣.(1) 求；(2) 證明矩陣冪級數(shù)收斂；(3) 求矩陣冪級數(shù)的和.五、(20分)設(shè)是兩個階矩陣,其中，證明:(1) 若對任意，有則可逆；(2) 若都是Hermite正定矩陣，則的特征值均為正數(shù)；(3) 若都是Hermite半正定矩陣，則,并且當(dāng)?shù)忍柍闪r,必有.2013 2014學(xué)年矩陣論 課程考試A卷一、(20分) 設(shè)三階矩陣.1. 求的特征多項式和初等因子；2. 求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；3. 問:與矩陣是否相似?并說明理由.二、(20分)設(shè)的線性變換將基變?yōu)橄蛄?. 求在基下的矩陣；2. 求向量及在基下的坐標(biāo)；3. 求線性變換的值域和核三、(15分)設(shè)，.1.