廣義逆矩陣及其在線性方程組中的應(yīng)用

1、畢業(yè)論文題 目 廣義逆矩陣及其在線性方程組中的應(yīng)用 學(xué) 院 理學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí) 數(shù)學(xué)0601班 學(xué) 生 周正明 學(xué) 號(hào) 20060903116 指導(dǎo)教師 孫紅衛(wèi) 二一年 五 月 三十 日摘 要線性方程組的逆矩陣求解方法只適用于系數(shù)矩陣為可逆方陣,但是對(duì)于一般線性方程組，其系數(shù)矩陣可能不是方陣或是不可逆的方陣，這種利用逆矩陣求解線性方程組的方法將不適用。為解決這種系數(shù)矩陣不是可逆矩陣或不是方陣的線性方程組，我們對(duì)逆矩陣進(jìn)行推廣，研究廣義逆矩陣，利用廣義逆矩陣求解線性方程組。廣義逆矩陣在數(shù)據(jù)分析、多元分析、信號(hào)處理、系統(tǒng)理論、現(xiàn)代控制理論、網(wǎng)絡(luò)理論等許多領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用，本

2、文針對(duì)廣義逆矩陣的定義、性質(zhì)、計(jì)算及其在線性方程組中的應(yīng)用進(jìn)行研究，利用廣義逆矩陣求解線性方程組的通解及極小范數(shù)解。關(guān)鍵詞：廣義逆矩陣；Moore-Penrose 方程；線性方程組；滿秩分解ABSTRACTThe method to solve linear equations using the inverse matrix is only feasible when the coefficient matrix is reversible. But for the general system of linear equations, the coefficient matrix may

3、be a irreversible matrix or a rectangular matrix, in this case, we can not use this method to solve the system of linear equations. In order to find solutions of this system, we promote the inverse matrix to generalized inverse matrix, and than use the generalized inverse matrix to solve the system

4、of linear equations.The generalized inverse matrix is important in many area, such as Data analysis, Multivariate analysis, Signal processing, System theory, Modern control theory, Network theory and so on. This paper studies the definition, properties, calculation of the generalized inverse matrix

5、, and the applications in soluting the system of linear equations. Utilizing the generalized inverse matrix, we study the soluting of the general system of linear equations and the minimum norm solution.Key words: generalized inverse matrix; Moore-Penrose eqations; linear equations; full rank decomp

6、osition目 錄摘要 ABSTRACT 第1章 前言 1第2章 廣義逆矩陣 2§2.1 廣義逆矩陣的定義 2§2.2 廣義逆矩陣的性質(zhì) 3第3章 廣義逆矩陣的計(jì)算12§3.1 一般廣義逆求解12§3.2 Moore-Penrose 廣義逆19第4章 廣義逆矩陣在線性方程組中的應(yīng)用24§4.1 相容方程組的求解25§4.2 不相容方程組的極值問題解28結(jié)論33參考文獻(xiàn)34致謝35第1章 前言逆矩陣的概念只對(duì)非奇異矩陣才有意義，但在實(shí)際問題中，遇到的矩陣不一定是方陣，即使是方陣也不一定非奇異，這就需要將逆矩陣的概念進(jìn)行推廣。為此，人們

7、提出了下述關(guān)于逆矩陣的推廣：（1） 該矩陣對(duì)于奇異矩陣甚至長(zhǎng)方矩陣都存在；（2） 它具有通常逆矩陣的一些性質(zhì)；（3） 當(dāng)矩陣非奇異時(shí)，它即為原來的逆矩陣。滿足上面三點(diǎn)的矩陣稱之為廣義逆矩陣。1903年，瑞典數(shù)學(xué)家弗雷德霍姆開始了對(duì)廣義逆矩陣的研究，他討論了關(guān)于積分算子的一種廣義逆。1904年，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特在廣義格林函數(shù)的討論中，含蓄地提出了微分算子的廣義逆。美國(guó)芝加哥的穆爾(Moore)教授在1920年提出了任意矩陣廣義逆的定義，他以抽象的形式發(fā)表在美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)刊上。我國(guó)數(shù)學(xué)家曾遠(yuǎn)榮和美籍匈牙利數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼及其弟子默里分別在1933年和1936年對(duì)希爾伯特空間中線性算子的廣

8、義逆也作過討論和研究。1951年瑞典人布耶爾哈梅爾重新給出了穆爾(Moore)廣義逆矩陣的定義，并注意到廣義逆矩陣與線性方程組的關(guān)系。1955年，英國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家彭羅斯(Penrose)以更明確的形式給出了與穆爾(Moore)等價(jià)的廣義逆矩陣定義，因此通稱為Moore-Penrose廣義逆矩陣，從此廣義逆矩陣的研究進(jìn)入了一個(gè)新階段?，F(xiàn)如今，Moore-Penrose廣義逆矩陣在數(shù)據(jù)分析、多元分析、信號(hào)處理、系統(tǒng)理論、現(xiàn)代控制理論、網(wǎng)絡(luò)理論等許多領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用，使這一學(xué)科得到迅速發(fā)展，并成為矩陣論的一個(gè)重要分支。第2章 廣義逆矩陣§2.1 廣義逆矩陣的定義1、 Penrose廣義

9、逆矩陣的定義為了推廣逆矩陣的概念，我們引進(jìn)了廣義逆矩陣的定義，下面給出廣義逆矩陣的Moore-Penrose 定義。定義2.1 設(shè)矩陣，若矩陣滿足如下四個(gè)Penrose方程（）（）（）（）中的一部分或全部方程，則稱為的一個(gè)廣義逆矩陣。若只滿足（）式，則成為的一個(gè)-逆，可記為，所有滿足-逆的構(gòu)成的集合記為。若滿足四個(gè)方程中的第個(gè)方程，則稱為的一個(gè)-逆，記為，所有滿足-逆的構(gòu)成的集合記為。2、 常見廣義逆定義按照廣義逆定義，分別滿足一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)和四個(gè)方程的廣義逆矩陣一共有=15類，其中常見的有，。定義2.2 設(shè)有復(fù)矩陣。若有一個(gè)復(fù)矩陣存在，使下式成立，則稱為的減號(hào)逆：(2.1)當(dāng)存在時(shí)，顯然滿

10、足上式，可見減號(hào)逆是普通逆矩陣的推廣；另外，由得，即可見，當(dāng)為的一個(gè)減號(hào)逆時(shí)，就是的一個(gè)減號(hào)逆。定義2.3 設(shè)復(fù)矩陣，若有一個(gè)矩陣，滿足：且稱為的一個(gè)自反逆矩陣，記作為，滿足Penrose方程的（），（）式，所以。顯然，自反廣義逆為減號(hào)逆的子集。對(duì)矩陣是矩陣的-逆，即, 若矩陣也是矩陣的-逆，即， 則為的一個(gè)自反逆矩陣。定義2.4 設(shè)復(fù)矩陣，若有一個(gè)矩陣，滿足： 及 ，則稱為的最小二乘廣義逆，記作 ，滿足Penrose方程的（），（）式，所以。最小二乘廣義逆是用條件對(duì)減號(hào)逆進(jìn)行約束后所得到的子集。定義2.5 設(shè)復(fù)矩陣，若有一個(gè)矩陣，滿足： 及 ，則稱為的最小范數(shù)廣義逆，記作 ，滿足Penros

11、e方程的（），（）式，所以。顯然，最小范數(shù)廣義逆也是減號(hào)逆的子集。若滿足全部四個(gè)方程，則稱為的Moore-Penrose廣義逆矩陣，記為。§2.2 廣義逆矩陣的性質(zhì)將一個(gè)非零矩陣分解為一個(gè)列滿秩矩陣與一個(gè)行滿秩矩陣的乘積，是矩陣分解理論中的常見問題。特別是在廣義逆矩陣的計(jì)算與研究中有著重要的應(yīng)用。定義2.6 設(shè)矩陣（r0），如果存在一個(gè)列滿秩矩陣與一個(gè)行滿秩矩陣使得，則稱上式為的一個(gè)滿秩分解。定理2.112 對(duì)任意矩陣（r0），必存在著矩陣和使。證明： 由，對(duì)進(jìn)行若干次初等行變換后，可將化為行階梯矩陣，其中。故存在若干個(gè)階初等矩陣的乘積，使得，即，將分塊為,，便有。因是可逆矩陣的前列

12、，所以是一個(gè)列滿秩矩陣，是行滿秩矩陣，故是的一個(gè)滿秩分解。上式是的一個(gè)滿秩分解，但是的滿秩分解并不是唯一的。任意取一個(gè)階非奇異矩陣,若是一個(gè)滿秩分解，則顯然也是的一個(gè)滿秩分解。一、1-逆的性質(zhì)定理2.21 設(shè)，則的Moore-Penrose逆存在且唯一。證 設(shè) .若r=0，則是零矩陣，可以驗(yàn)證零矩陣滿足四個(gè)Penrose方程。若r>0，則有滿秩分解分解,取，則滿足4個(gè)Penrose方程，所以，是Moore-Penrose廣義逆矩陣。設(shè)，均滿足四個(gè)Penrose方程，則綜上所訴，存在且唯一。滿足四個(gè)Penrose方程的所有方程，所以，屬于15類廣義逆矩陣中的任意一類。上面我們證明了的存在性

13、，所以，任意的類廣義逆矩陣都是存在的。對(duì)任意的，定義為（2.4）下面給出1-逆的一些性質(zhì)。定理2.31 設(shè)，則（1） ；（2） ；（3） 若S和T非奇異，則；（4） ；（5） 和均為冪等矩陣且與A同秩；（6）（7） 的充要條件是， 的充要條件是；（8） 的充要條件是， 的充要條件是。證 （1）由， 有， 兩邊同時(shí)求共軛轉(zhuǎn)置得 ， 即， 由定義知。 （2）, 由1-逆定義得，。 （3）, 由1-逆定義得， 。 （4）, 故 .。 （5）， 故為冪等矩陣，又由， 故為冪等矩陣， 所以，也即。 同理，。 （6）由, 得 ，類似的，由，得。又因?yàn)椋?所以 。（7）充分性：，所以，由為冪等矩陣且非奇異，

14、 易知 。 必要性：由，故。 另一式同理可證明。（8）充分性：， 所以，。所以存在矩陣，使，從而。必要性：，故。另一式同理可證明。性質(zhì)（5）逆命題仍然成立，即定理2.4 設(shè)復(fù)矩陣，若存在矩陣， 使為冪等矩陣，且，則矩陣。證明： 冪等，則，而,又， 所以， 存在矩陣, 使得，有，即 。2、 -逆的性質(zhì)因?yàn)樵赑enrose方程（1）（2）中，和的位置是對(duì)稱的，所以與是等價(jià)的，即和總是互為-逆。這與通常矩陣的逆的逆是本身是一樣的。定理2.53 設(shè)矩陣, 又設(shè)， 則。證明：，則，由上2式得，。定理2.61 給定矩陣，若，則的充要條件是。證明： 充分性：若，則，且和冪等，又，所以，。由定理2.3得，所以

15、，。 必要性：，則，又，根據(jù)X為自反廣義逆，有，則所以，。三、Moore-Penrose 廣義逆矩陣定理2.2已證明對(duì)任意矩陣，Moore-Penrose 廣義逆矩陣存在且唯一。Moore-Penrose 廣義逆矩陣是滿足全部Penrose條件的廣義逆矩陣，其必然有其特殊性，下面給出Moore-Penrose 廣義逆矩陣的一些性質(zhì)：定理2.79 設(shè)矩陣，則有（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 。證明： （1） 由定義，和的位置是對(duì)稱的，即是的Moore-Penrose 廣義逆矩陣，那么就是的Moore-Penrose 廣義逆矩陣，又因?yàn)槲ㄒ?，所以，。?） 令，則有，根據(jù)定義，。（

16、3） 令,則有，根據(jù)定義及Moore-Penrose 廣義逆矩陣的唯一性知 。同理可證明，。（4） 令，則有，根據(jù)定義及Moore-Penrose 廣義逆矩陣的唯一性知。同理可證明 。（5） ，故。定理2.81 給定矩陣，則有，其中，。證明： 設(shè)，則由定理2.5知，又因?yàn)椋?， 所以，。 又因?yàn)橹挥幸粋€(gè)元素，所以，。第3章 廣義逆矩陣的計(jì)算廣義逆矩陣在解線性方程組中有著重要作用，而利用廣義逆矩陣解線性方程組首先需要求解相對(duì)應(yīng)矩陣的廣義逆矩陣。§3.1 一般廣義逆的求解一、1-逆的求解定理3.19 設(shè)矩陣，有矩陣且，則。（3.1）證明： 因?yàn)閷?duì)任意，令，于是有，所以，。反之，任取，于是

17、有取，則M有（3.1）式的表示。所以，。定理3.214 設(shè)矩陣，存在可逆矩陣和，使，則中的任一矩陣可寫成的形式，其中，為任意矩陣。證明： 設(shè)，則是矩陣，將分塊為：，其中，則，因?yàn)?，所以，所以，即中的任一矩陣可寫成，即中的任一個(gè)矩陣可寫成，其中，為任意矩陣。由定理3.2知，要想計(jì)算出一個(gè)矩陣的1-逆，必須首先求出可逆矩陣和，使成為標(biāo)準(zhǔn)形，所以可先構(gòu)造分塊矩陣，用行和列初等變換把中的化簡(jiǎn)成，同時(shí)，化成了，化成了，即，故，于是中的矩陣可寫成。例3.1 求矩陣的1-逆。解 對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，得到一個(gè)最簡(jiǎn)單的，。所以， 2、 1,3-逆的求解定理3.39 設(shè)矩陣，那么（1） 若是行滿秩矩陣，則；（

18、2） 若是列滿秩矩陣，則；（3） 若且有滿秩分解，則 或。證明： (1)若是行滿秩矩陣，則，有，所以，。 (2)若是列滿秩矩陣，令，又，所以，。 (3)，又，所以，。令，于是，又，所以，。例3.2 求矩陣的。解 求出的一個(gè)1-逆3、 1，4-逆的求解定理3.49 設(shè)矩陣，那么（1） 若是行滿秩矩陣，則；（2） 若是列滿秩矩陣，則；（3） 若且有滿秩分解,則 或 。證明： （1）令,則，又，所以，。 （2），所以，,有，所以，。（3）又，所以，。令，則，又，所以，。例3.3 求矩陣的。解 §3.2 Moore-Penrose 廣義逆定理3.51 設(shè)矩陣（r>0）的滿秩分解為，其中

19、，則（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 。證明： （1），分別為列滿秩和行滿秩矩陣，有，所以，；所以，；所以，。綜上，。（2），分別為列滿秩和行滿秩矩陣，有，所以，；，；，所以，綜上，。（3）由（2）知，成立；由（1）知，。（4）由知，又因?yàn)?，即，所以，又由的唯一性，。同理可證明。所以，。（5） 由（4）式，又，由的唯一性知。由定理2.7之（4）知，而矩陣和可逆，顯然，且，所以，。例3.4 求矩陣的Moore-Penrose 逆矩陣。解 ，可求得第4章 廣義逆矩陣在線性方程組中的應(yīng)用考慮非齊次線性方程組（4.1）其中，給定，而為待定向量。如果存在向量x使方程組（4.1）成立，則稱方

20、程組相容，否則稱為不相容或矛盾方程組。關(guān)于方程組求解問題，常見的有以下幾種情況（1） 方程組（4.1）相容時(shí)，求出其通解；（2） 如果方程組相容，其解可能有無窮多個(gè)，求出具有極小范數(shù)的解，即（4.2）其中為歐氏范數(shù)，滿足該條件的解是唯一的，稱為極小范數(shù)解。（3） 如果方程組（4.1）不相容，則不存在通常意義下的解，但在許多實(shí)際問題中，需要求出極值問題（4.3）的解x，其中為歐氏范數(shù)，稱這個(gè)極值問題為求矛盾方程組的最小二乘問題，相應(yīng)的x稱為矛盾方程組的最小二乘解。（4） 一般說來，矛盾方程組的最小二乘解也不是唯一的，但在最小二乘解的集合中，具有極小范數(shù)的解（4.4）是唯一的，稱之為極小范數(shù)最小二

21、乘解。廣義逆矩陣與線性方程組的求解有著極為密切的關(guān)系，利用廣義逆矩陣可以求出上述諸多問題的解。§4.1 相容方程組的求解1、 相容方程組的通解與1-逆對(duì)于線性方程組（4.1），若系數(shù)矩陣非奇異，則就是方程組的唯一解，但當(dāng)是奇異方陣或長(zhǎng)方矩陣時(shí)，它的逆不存在或無意義，但是我們可以利用廣義逆矩陣來求方程組的解。定理4.11 線性方程組（4.1）相容的充要條件是（4.5）且其通解為（4.6）其中任意。證明： 若方程組（4.1）相容，則設(shè)x是方程組的任意解，有，反之，若，則顯然就是方程組的解，所以，線性方程組（4.1）相容的充要條件是。當(dāng)方程組（4.1）相容時(shí)，顯然，即式（4.6）是方程組的

22、解。設(shè)x是方程組的任意解，則是方程組的解，因此，方程組的任意解都可以改寫成式（4.6）的形式，所以，式（4.6）是方程組（4.1）的通解。2、 相容方程組的極小范數(shù)解與1,4-逆定理4.21 相容方程組（4.1）的極小范數(shù)解唯一，且這個(gè)唯一解在中。證明： 設(shè)的極小范數(shù)解為，假設(shè)，則由，知，且，于是，與時(shí)方程組的極小范數(shù)解矛盾，所以，假設(shè)不成立，極小范數(shù)解在中。若且，則，即，又，故，即，所以，極小范數(shù)解唯一。定理4.31 設(shè)方程組（4.1）相容，則是極小范數(shù)解，其中。證明： 方程組（4.1）相容，則，由定理4.1知，對(duì)任意的，都是方程組的解，由，則存在使，所以，根據(jù)定理4.2，是方程組（4.1）

23、的唯一極小范數(shù)解。例4.1 求方程組的通解及極小范數(shù)解，其中，。解 顯然矩陣A為行滿秩矩陣通解為而極小范數(shù)解為。§4.2 不相容方程組的極值問題解1、 最小二乘解與1，3-逆定理4.41 若方程組（4.1）不相容，則方程組存在最小二乘解其中。證明： 因?yàn)?，而，所以?4.7)其中是歐氏范數(shù)。顯然，式(4.7)取得極小值的充要條件是，（4.8）任取，根據(jù)定理2.3之（6）知，所以，故當(dāng)時(shí)，即式（4.8）成立。2、 極小范數(shù)最小二乘解與定理4.6 方程組（4.1）不相容，則方程有唯一的極小范數(shù)最小二乘解。證明： 取，由定理4.5和式（4.8）知，方程組（4.1）的最小二乘解是（4.9）的

24、解。因而方程組（4.1）的極小范數(shù)最小二乘解就是方程組（4.9）的極小范數(shù)解。例4.2 求方程組的最小二乘解和極小范數(shù)最小二乘解，其中，。解 這里 ，所以方程組不相容。最小二乘解為極小范數(shù)最小二乘解為定理4.7 若存在矩陣，且，可逆，則，的充要條件為。證明： “” 若，則等號(hào)兩邊同時(shí)左乘，右乘，得，即。 “” 若，則等號(hào)兩邊同時(shí)左乘，右乘，得，即。我們知道若方程組（4.1）相容，則是方程組的極小范數(shù)解，因?yàn)閷?duì)任意-逆，有是方程組的極小范數(shù)解，而，所以是方程組的極小范數(shù)解。而若方程組（4.1）不相容，則是方程組的極小范數(shù)最小二乘解。對(duì)于相容方程組（4.1），極小范數(shù)解滿足是使方程組成立的所有x構(gòu)

25、成的集合中范數(shù)最小的一個(gè)。對(duì)于不相容方程組（4.1），極小范數(shù)最小二乘解，是使方程組成立的所有x構(gòu)成的集合中范數(shù)最小的一個(gè)，即滿足條件：，其中。對(duì)給出的一個(gè)大于0定值，我們?cè)O(shè)一個(gè)，使，則定理4.8 設(shè)為極小范數(shù)最小二乘解， 則 。證明： 若在處最小，則對(duì)任意，對(duì)t在0時(shí)求導(dǎo)，得，對(duì)任意的，有（4.10）在式（4.10）中，替代y為iy，則有 ，即， （4.11）由式（4.10），（4.11）知，由y的任意性知，即，而可逆，所以，。對(duì)進(jìn)行滿秩分解，則。由，所以，而對(duì)給定的方程組，為定值，所以，。結(jié) 論我們對(duì)逆矩陣進(jìn)行得到廣義逆矩陣的概念，不同于非奇異矩陣的逆，廣義逆矩陣并不唯一，而且廣義逆矩陣的

26、種類也不唯一，我們對(duì)廣義逆矩陣進(jìn)行分類定義，主要研究常見及常用廣義逆矩陣，探討廣義逆矩陣的性質(zhì)，從而對(duì)一般矩陣進(jìn)行其各種廣義逆矩陣的求解，然后利用廣義逆矩陣解線性方程組。本論文主要目標(biāo)為線性方程組的求解，利用常見廣義逆矩陣-逆，-逆，-逆和Moore-Penrose 廣義逆矩陣對(duì)線性方程組求解，分別利用上述廣義逆矩陣求相容方程組的通解、極小范數(shù)解和不相容廣義逆矩陣的最小二乘解、極小范數(shù)最小二乘解。參 考 文 獻(xiàn)1高等學(xué)校教材.程云鵬,張凱院,徐仲.矩陣論M.西北工業(yè)大學(xué)出版社,2000,西安.2高等學(xué)校研究生系列教材.韓世勤,彭放,羅文強(qiáng).矩陣?yán)碚摷皯?yīng)用M.武漢:中國(guó)之地大學(xué)出版社,2005.

27、3王松桂,楊振海.廣義逆矩陣及其應(yīng)用M.北京工業(yè)大學(xué)出版社,1996.4研究生數(shù)學(xué)教學(xué)系列.徐仲,張凱院,陸全,冷國(guó)偉.矩陣論簡(jiǎn)明教程M.北京科學(xué)出版社,2001.5研究生教育書系.吳昌愨,魏洪增.矩陣?yán)碚撆c方法M.北京:電子工業(yè)出版社,2006.6西昌學(xué)院.張禮平,喻惠波.廣義逆矩陣表達(dá)式及計(jì)算J.西昌學(xué)院學(xué)報(bào)·自然科學(xué)報(bào),2008.7中央財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院.尹釗,賈尚暉.Moore-Penrose廣義逆矩陣與線性方程組的解J.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2009.8尹釗,鐘衛(wèi)民,趙麗君.線性方程組的廣義逆矩陣解法J.哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),1999.9陳永林.廣義逆矩陣的理論與方法M

28、.南京師范大學(xué)出版社,2005年.10鄧勇.求-矩陣廣義逆矩陣的初等變換法J.四川文理學(xué)院學(xué)報(bào),2008.11馬秀珍,韓靜華.關(guān)于幾種廣義逆矩陣及其應(yīng)用的探討J.沈陽航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2005.12劉軒黃.矩陣的滿秩分解與廣義逆矩陣的計(jì)算J.江西科學(xué),1985.13劉軒黃.廣義逆矩陣的計(jì)算方法J.江西電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào).14同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.矩陣分析M同濟(jì)大學(xué)出版社，2005.16C.RADHAKRISHNA RAO and SUJIT KUMAR MITRA.Generalized inverse of a matrix and its applicationsJ.601-608.致 謝

29、畢業(yè)臨近，心中充滿留戀和感慨，在此，我要感謝所有曾經(jīng)指導(dǎo)過我的老師，幫助過我的同學(xué)，一直支持著我的家人，是你們?cè)谖业娜松邪缪葜煌慕巧?，幫我解決學(xué)習(xí)中存在的問題，生活中的磕絆，使我不斷進(jìn)步，你們對(duì)我的教誨、幫助和鼓勵(lì)我會(huì)永遠(yuǎn)記在心里。首先，我要感謝我的論文指導(dǎo)老師孫紅衛(wèi)老師，孫老師在我的畢業(yè)論文的撰寫過程中，給我提供了極大的幫助和指導(dǎo)，從開始選題，中期指導(dǎo)，到最后畢業(yè)論文的結(jié)題，都提出了寶貴的意見，老師對(duì)于畢業(yè)論文的態(tài)度嚴(yán)謹(jǐn)，精益求精，同時(shí)又平易近人，讓我受益匪淺。其次，我要感謝理學(xué)院所有曾經(jīng)擔(dān)任過數(shù)學(xué)0601班的任課老師，老師們教會(huì)我的不僅僅是專業(yè)知識(shí)，更多的的對(duì)待學(xué)習(xí)，對(duì)待生活的態(tài)度。

30、再次，我要感謝我的父母，是他們?cè)诮?jīng)濟(jì)上和精神上的大力支持以及幫助才使我能夠順利的完成學(xué)業(yè)。同時(shí)，我要感謝我的舍友和其他好友，因?yàn)橛心銈?，我的大學(xué)四年才那么充實(shí)和快樂，感謝你們給我的幫助和鼓勵(lì)，讓我們永遠(yuǎn)彼此珍惜。最后，對(duì)老師、同學(xué)、家人再次致以我最衷心的感謝！感謝你們，也因?yàn)槟銈儯业娜松艜?huì)如此豐富和精彩！薃肀莂蒃袂肀肂蠆袈聿芄薂螄肈莇螇蝕肇葿薀罿肆腿莃裊肅芁薈螁膄莃莁蚇膄肅薇薃膃芅荿羈膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃蠆腿節(jié)蒆羈羋莄蟻襖羋蒆蒄螀芇膆蝕蚆袃莈蒃螞袂蒁螈羀袁膀薁袆袁芃螆螂袀蒞蕿蚈衿蕆莂羇羈膇薇袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羅膁蒈蟻羅芄蚄罿羄莆蕆裊羃蒈螞螁羂膈蒅蚇肁芀蟻薃肀莂蒃袂肀肂蠆袈聿芄薂螄肈莇螇蝕

31、肇葿薀罿肆腿莃裊肅芁薈螁膄莃莁蚇膄肅薇薃膃芅荿羈膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃蠆腿節(jié)蒆羈羋莄蟻襖羋蒆蒄螀芇膆蝕蚆袃莈蒃螞袂蒁螈羀袁膀薁袆袁芃螆螂袀蒞蕿蚈衿蕆莂羇羈膇薇袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羅膁蒈蟻羅芄蚄罿羄莆蕆裊羃蒈螞螁羂膈蒅蚇肁芀蟻薃肀莂蒃袂肀肂蠆袈聿芄薂螄肈莇螇蝕肇葿薀罿肆腿莃裊肅芁薈螁膄莃莁蚇膄肅薇薃膃芅荿螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂

32、肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃

33、螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇

34、羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈

35、肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿

36、袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃

37、羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄

38、螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈

39、袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆

40、羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀

41、蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄

42、袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅

43、羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿

44、螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕

45、袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁

46、羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈薇蚇袇肅莀薃羆膅薆葿羆羋荿螇羅羇膁螃羄膀莇蠆羃節(jié)芀薅羂羂蒅蒁羈肄羋螀羀膆蒃蚆肀羋芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆?wù)仄M薀螂肆蒞莃蚈肅肅薈薄螞膇莁蒀蟻艿薇蝿螀罿荿蚅

47、蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蝕袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羈 荿葿蠆裊膂蒞蚈羇莈芁蚈肀膁蕿螇蝿羃蒅螆袂腿莁螅肄羂莇螄螄芇芃螃袆肀薂螂羈芅蒈螂肁肈莄袁螀芄芀袀袂肇薈衿羅節(jié)蒄袈膇肅蒀袇袇莀莆蒄罿膃節(jié)蒃肁荿薁蒂螁膁蕆蒁袃莇莃薀羆膀艿薀肈羃薈蕿袈膈薄薈羀肁葿薇肂芆蒞薆螂聿芁薅襖芅薀薄羇肇蒆蚄聿芃莂蚃螈肆羋螞羈芁芄蟻肅膄薃蝕螃荿葿蠆裊膂蒞蚈羇莈芁蚈肀膁蕿螇蝿羃蒅螆袂腿莁螅肄羂莇螄螄芇芃螃袆肀薂螂羈芅蒈螂肁肈莄袁螀芄芀袀袂肇薈衿羅節(jié)蒄袈膇肅蒀袇袇莀莆蒄罿膃節(jié)蒃肁荿薁蒂螁膁蕆蒁袃莇莃薀羆膀艿薀肈羃薈蕿袈膈薄薈羀肁葿薇肂芆蒞薆螂聿芁薅襖芅薀薄羇肇蒆蚄聿芃莂蚃螈肆

48、羋螞羈芁芄蟻肅膄薃蝕螃荿葿蠆裊膂蒞蚈羇莈芁蚈肀膁蕿螇蝿羃蒅螆袂腿莁螅肄羂莇螄螄芇芃螃袆肀薂螂羈芅蒈螂肁肈莄袁螀芄芀袀袂肇薈衿羅節(jié)蒄袈膇肅蒀袇袇莀莆蒄罿膃節(jié)蒃肁荿薁蒂螁膁蕆蒁袃莇莃薀羆膀艿薀肈羃薈蕿袈膈薄薈羀肁葿薇肂芆蒞薆螂聿芁薅襖芅薀薄羇肇蒆蚄聿芃莂蚃螈肆羋螞羈芁芄蟻肅膄薃蝕螃荿葿蠆裊膂蒞蚈羇莈芁蚈肀膁蕿螇蝿羃蒅螆袂腿莁螅肄羂莇螄螄芇芃螃袆肀薂螂羈芅蒈螂肁肈莄袁螀芄芀袀袂肇薈衿羅節(jié)蒄袈膇肅蒀袇袇莀莆蒄罿膃節(jié)蒃肁荿薁蒂螁膁蕆蒁袃莇莃薀羆膀艿薀肈羃薈蕿袈膈薄薈羀肁葿薇肂芆蒞薆螂聿芁薅襖芅薀薄羇肇蒆蚄聿芃莂蚃螈肆羋螞羈芁芄蟻肅膄薃蝕螃荿葿蠆裊膂蒞蚈羇莈芁蚈肀膁蕿螇蝿羃蒅螆袂腿莁螅肄羂莇螄螄芇芃螃袆肀

49、薂螂羈芅蒈螂肁肈莄袁螀芄芀袀袂肇薈衿羅節(jié)蒄袈膇肅蒀袇袇莀莆蒄罿膃節(jié)蒃肁荿薁蒂螁膁蕆蒁袃莇莃薀羆膀艿薀肈羃薈蕿袈膈薄薈羀肁葿薇肂芆蒞薆螂聿芁薅襖芅薀薄羇肇蒆蚄聿芃莂蚃螈肆羋螞羈芁芄蟻肅膄薃蝕螃荿葿蠆裊膂蒞蚈羇莈芁蚈肀膁蕿螇蝿羃蒅螆袂腿莁螅肄羂莇螄螄芇芃螃袆肀薂螂羈芅蒈螂肁肈莄袁螀芄芀袀袂肇薈衿羅節(jié)蒄袈膇肅蒀袇袇莀莆蒄罿膃節(jié)蒃肁荿薁蒂螁膁蕆蒁袃莇莃薀羆膀艿薀肈羃薈蕿袈膈薄薈羀肁葿薇肂芆蒞薆螂聿芁薅襖芅薀薄羇肇蒆蚄聿芃莂蚃螈肆羋螞羈芁芄蟻肅膄薃蝕螃荿葿蠆裊膂蒞蚈羇莈芁蚈肀膁蕿螇蝿羃蒅螆袂腿莁螅肄羂莇螄螄芇芃螃袆肀薂螂羈芅蒈螂肁肈莄袁螀芄芀袀袂肇薈衿羅節(jié)蒄袈膇肅蒀袇袇莀莆蒄罿膃節(jié)蒃肁荿薁蒂螁膁蕆蒁袃莇

50、莃薀羆膀艿薀肈羃薈蕿袈膈薄薈羀肁葿薇肂芆蒞薆螂聿芁薅襖芅薀薄羇肇蒆蚄聿芃莂蚃螈肆羋螞羈芁芄蟻肅膄薃蝕螃荿葿蠆裊膂蒞蚈羇莈芁蚈肀膁蕿螇蝿羃蒅螆袂腿莁螅肄羂莇螄螄芇芃螃袆肀薂螂羈芅蒈螂肁肈莄袁螀芄芀袀袂肇薈衿羅節(jié)蒄袈膇肅蒀袇袇莀莆蒄罿膃節(jié)蒃肁荿薁蒂螁膁蕆蒁袃莇莃薀羆膀艿薀肈羃薈蕿袈膈薄薈羀肁葿薇肂芆蒞薆螂聿芁薅襖芅薀薄羇肇蒆蚄聿芃莂蚃螈肆羋螞羈芁芄蟻肅膄薃蝕螃荿葿蠆裊膂蒞蚈羇莈芁蚈肀膁蕿螇蝿羃蒅螆袂腿莁螅肄羂莇螄螄芇芃螃袆肀薂螂羈芅蒈螂肁肈莄袁螀芄芀袀袂肇薈衿羅節(jié)蒄袈膇肅蒀袇袇莀莆蒄罿膃節(jié)蒃肁荿薁蒂螁膁蕆蒁袃莇莃薀羆膀艿薀肈羃薈蕿袈膈薄薈羀肁葿薇肂芆蒞薆螂聿芁薅襖芅薀薄羇肇蒆蚄聿芃莂蚃螈肆羋螞羈芁

51、芄蟻肅膄薃蝕螃荿葿蠆裊膂蒞蚈羇莈芁蚈肀膁蕿螇蝿羃蒅螆袂腿莁螅肄羂莇螄螄芇芃螃袆肀薂螂羈芅蒈螂肁肈莄袁螀芄芀袀袂肇薈衿羅節(jié)蒄袈膇肅蒀袇袇莀莆蒄罿膃節(jié)蒃肁荿薁蒂螁膁蕆蒁袃莇莃薀羆膀艿薀肈羃薈蕿袈膈薄薈羀肁葿薇肂芆蒞薆螂聿芁薅襖芅薀薄羇肇蒆蚄聿芃莂蚃螈肆羋螞羈芁芄蟻肅膄薃蝕螃荿葿蠆裊膂蒞蚈羇莈芁蚈肀膁蕿螇蝿羃蒅螆袂腿莁螅肄羂莇螄螄芇芃螃袆肀薂螂羈芅蒈螂肁肈莄袁螀芄芀袀袂肇薈衿羅節(jié)蒄袈膇肅蒀袇袇莀莆蒄罿膃節(jié)蒃肁荿薁蒂螁膁蕆蒁袃莇莃薀羆膀艿薀肈羃薈蕿袈膈薄薈羀肁葿薇肂芆蒞薆螂聿芁薅襖芅薀薄羇肇蒆蚄聿芃莂蚃螈肆羋螞羈芁芄蟻肅膄薃蝕螃荿葿蠆裊膂蒞蚈羇莈芁蚈肀膁蕿螇蝿羃蒅螆袂腿莁螅肄羂莇螄螄芇芃螃袆肀薂螂羈芅

52、蒈螂肁肈莄袁螀芄芀袀袂肇薈衿羅節(jié)蒄袈膇肅蒀袇袇莀莆蒄罿膃節(jié)蒃肁荿薁蒂螁膁蕆蒁袃莇莃薀羆膀艿薀肈羃薈蕿袈膈薄薈羀肁葿薇肂芆蒞薆螂聿芁薅襖芅薀薄羇肇蒆蚄聿芃莂蚃螈肆羋螞羈芁芄蟻肅膄薃蝕螃荿葿蠆裊膂蒞蚈羇莈芁蚈肀膁蕿螇蝿羃蒅螆袂腿莁螅肄羂莇螄螄芇芃螃袆肀薂螂羈芅蒈螂肁肈莄袁螀芄芀袀袂肇薈衿羅節(jié)蒄袈膇肅蒀袇袇莀莆蒄罿膃節(jié)蒃肁荿薁蒂螁膁蕆蒁袃莇莃薀羆膀艿薀肈羃薈蕿袈膈薄薈羀肁葿薇肂芆蒞薆螂聿芁薅襖芅薀薄羇肇蒆蚄聿芃莂蚃螈肆羋螞羈芁芄蟻肅膄薃蝕螃荿葿蠆裊膂蒞蚈羇莈芁蚈肀膁蕿螇蝿羃蒅螆袂腿莁螅肄羂莇螄螄芇芃螃袆肀薂螂羈芅蒈螂肁肈莄袁螀芄芀袀袂肇薈衿羅節(jié)蒄袈膇肅蒀袇袇莀莆蒄罿膃節(jié)蒃肁荿薁蒂螁膁蕆蒁袃莇莃薀羆膀

53、艿薀肈羃薈蕿袈膈薄薈羀肁葿薇肂芆蒞薆螂聿芁薅襖芅薀薄羇肇蒆蚄聿芃莂蚃螈肆羋螞羈芁芄蟻肅膄薃蝕螃荿葿蠆裊膂蒞蚈羇莈芁蚈肀膁蕿螇蝿羃蒅螆袂腿莁螅肄羂莇螄螄芇芃螃袆肀薂螂羈芅蒈螂肁肈莄袁螀芄芀袀袂肇薈衿羅節(jié)蒄袈膇肅蒀袇袇莀莆蒄罿膃節(jié)蒃肁荿薁蒂螁膁蕆蒁袃莇莃薀羆膀艿薀肈羃薈蕿袈膈薄薈羀肁葿薇肂芆蒞薆螂聿芁薅襖芅薀薄羇肇蒆蚄聿芃莂蚃螈肆羋螞羈芁芄蟻肅膄薃蝕螃荿葿蠆裊膂蒞蚈羇莈芁蚈肀膁蕿螇蝿羃蒅螆袂腿莁螅肄羂莇螄螄芇芃螃袆肀薂螂羈芅蒈螂肁肈莄袁螀芄芀袀袂肇薈衿羅節(jié)蒄袈膇肅蒀袇袇莀莆蒄罿膃節(jié)蒃肁荿薁蒂螁膁蕆蒁袃莇莃薀羆膀艿薀肈羃薈蕿袈膈薄薈羀肁葿薇肂芆蒞薆螂聿芁薅襖芅薀薄羇肇蒆蚄聿芃莂蚃螈肆羋螞羈芁芄蟻肅膄薃蝕螃荿葿蠆裊膂蒞蚈羇莈芁蚈肀膁蕿螇蝿羃蒅螆袂腿莁螅肄羂莇螄螄芇芃螃袆肀薂螂羈芅蒈螂肁肈莄袁螀芄芀袀袂肇薈衿羅節(jié)蒄袈膇肅蒀袇袇莀莆蒄罿膃節(jié)蒃肁荿薁蒂螁膁蕆蒁袃莇莃薀羆膀艿薀肈羃薈蕿袈膈薄薈羀肁葿薇肂芆蒞薆螂聿芁薅襖芅薀薄羇肇蒆蚄聿芃莂蚃螈肆羋螞羈芁芄蟻肅膄薃蝕螃荿葿蠆裊膂蒞蚈羇莈芁蚈肀膁蕿螇蝿羃蒅螆袂腿莁螅肄羂莇螄螄芇芃螃袆肀薂螂羈芅蒈螂肁肈莄袁螀芄芀袀袂肇薈衿羅節(jié)蒄袈膇肅蒀袇袇莀莆蒄罿膃節(jié)蒃肁