三角形的中位線定理 (2)

1、 沂水縣第二實(shí)驗(yàn)中學(xué) 楊永青 如圖，有一塊三角形的蛋糕，準(zhǔn)備平均分如圖，有一塊三角形的蛋糕，準(zhǔn)備平均分給四個(gè)小朋友，要求四人所分的給四個(gè)小朋友，要求四人所分的形狀大小相形狀大小相同同，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)合理的解決方案。，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)合理的解決方案。設(shè)設(shè) 計(jì)計(jì) 方方 案：案： f （中點(diǎn)）（中點(diǎn)）(中點(diǎn)中點(diǎn))de(中點(diǎn)中點(diǎn))abc溫馨提示溫馨提示連結(jié)三角形連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)兩邊中點(diǎn)的線段叫的線段叫三角形的中位線三角形的中位線三角形有三角形有三三條中位線條中位線三角形的三角形的中位線中位線和三角形的和三角形的中線中線不同不同edfacb獲取新知獲取新知你還能畫出幾條三角形的中位線？你還能畫出幾條三角形的中位線？ （

2、1 1）相同之處相同之處都和都和邊的邊的中點(diǎn)中點(diǎn)有關(guān)；有關(guān)；（2 2）不同之處：）不同之處： 三角形中位線三角形中位線的的兩個(gè)端點(diǎn)兩個(gè)端點(diǎn)都是都是邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn)； 三角形中線三角形中線只有只有一個(gè)端點(diǎn)一個(gè)端點(diǎn)是是邊的中點(diǎn)，邊的中點(diǎn)，另一另一端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)。端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)。cbaed概念對(duì)比概念對(duì)比cbad中線中線dcdc中位線中位線dede猜一猜：猜一猜： abc的中位線的中位線de與與bc的的關(guān)系怎樣？（從位置和數(shù)量關(guān)系怎樣？（從位置和數(shù)量關(guān)系猜想）關(guān)系猜想）獲取新知獲取新知debc,bcde21即：三角形的中位線即：三角形的中位線平行平行于三角形的第三邊，于三角形的第三邊，并且等

3、于第三邊的并且等于第三邊的 一半。一半。你能驗(yàn)證你的猜想嗎？abcdef已知：已知： 如圖：在如圖：在abc中，中，d是是ab的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，e是是ac的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。 求證：求證： debc,de= bc.21dabcef分析分析: 延長(zhǎng)延長(zhǎng)ed到到f,使使df=ed , 連接連接cf 易證易證ade cfe， 得得cf=ae , a=acf 又可得又可得cf=be,cf/be 所以四邊形所以四邊形bcfe是平行四邊形是平行四邊形 則有則有de/bc,de= ef= bc 2121已知已知:點(diǎn)點(diǎn)d,e分別是分別是abcabc的邊的邊ab,acab,ac的中點(diǎn)的中點(diǎn). .求證求證:de= bc

4、:de= bc21abcdef證明證明:延長(zhǎng)延長(zhǎng)de到到f,使使ef=de.連接連接fc,dc,af.四邊形四邊形dbcfdbcf是平行四邊形是平行四邊形. .ae=ec,ae=ec,四邊形四邊形adcf是平行四邊形是平行四邊形,cfda,cfda,且且cf=da.cf=da.cfdb,cfdb,且且cf=dbcf=dbdf=bc.df=bc.de= bc.de= bc.21de和和bc 有什么位有什么位置關(guān)系置關(guān)系?debcbc 三角形的中位線三角形的中位線平行于平行于三角形的第三邊，三角形的第三邊，并且并且等于等于第三邊的一半第三邊的一半. .幾何語言幾何語言：dede是是abcabc的中

5、位線的中位線cedbab bc c2 21 1d de ed de e/ / /b bc c, , 證明證明平行平行問題問題 證明一條線段是另一條線段的證明一條線段是另一條線段的兩倍兩倍或或一半一半用用 途途已知：如圖，在四邊形已知：如圖，在四邊形abcd中，中，e、f、g、h分別是分別是 ab、bc、cd、da的中點(diǎn)的中點(diǎn).猜想四邊形猜想四邊形efgh的形狀并證明。的形狀并證明。abcdefghe，f是是ab，bc的中點(diǎn)，你聯(lián)想到什么？的中點(diǎn)，你聯(lián)想到什么？ 要使要使ef成為一個(gè)三角形的中位線應(yīng)怎樣添加輔助線？成為一個(gè)三角形的中位線應(yīng)怎樣添加輔助線？ 證明：如圖，連接證明：如圖，連接acef

6、是是abc的中位線的中位線a ac c2 21 1e ef fe ef f/ / /a ac c, ,同理得：同理得： acac2 21 1ghghgh/ac,gh/ac,e ef f/ / /g gh h四邊形四邊形efgh是平行四邊形是平行四邊形典例示范典例示范 答：答： 四邊形四邊形efgh為平行四邊形。為平行四邊形。如圖所示，已知四邊形如圖所示，已知四邊形abcd，r，p分別是分別是dc，bc上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，e，f分別是分別是ap，rp的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)p在在bc上從點(diǎn)上從點(diǎn)b向點(diǎn)向點(diǎn)c移動(dòng)移動(dòng)而點(diǎn)而點(diǎn)r不動(dòng)時(shí)，不動(dòng)時(shí)， 那么下列結(jié)論成立的是（那么下列結(jié)論成立的是（ ） a線段線

7、段ef的長(zhǎng)逐漸增大的長(zhǎng)逐漸增大 b線段線段ef的長(zhǎng)逐漸減少的長(zhǎng)逐漸減少 c線段線段ef的長(zhǎng)不變的長(zhǎng)不變 d線段線段ef的長(zhǎng)不能確定的長(zhǎng)不能確定c初試身手初試身手初試身手初試身手acbedf初試身手初試身手若若ade=65ade=65，則，則b=b= 度，為什么？度，為什么？若若bc=8cmbc=8cm，則，則de=de= cmcm，為什么？，為什么？65654 4若若ac=4cm,bc=6cm，ab=8cm， 則則def的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)=_.如圖，在如圖，在abc中，中，d、e、f分別是分別是ab、ac、bc的中點(diǎn)的中點(diǎn)9cm9cm若若abc的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為24，def的周長(zhǎng)是的周長(zhǎng)是_12121

8、、 三角形三條中位線圍成的三角三角形三條中位線圍成的三角形的形的周長(zhǎng)周長(zhǎng)與原三角形的與原三角形的周長(zhǎng)周長(zhǎng)有什么有什么關(guān)系？關(guān)系？探究活動(dòng)探究活動(dòng)2、三角形三條中位線圍成的三角形的、三角形三條中位線圍成的三角形的面積面積與原三角與原三角形的形的面積面積有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？圖中有圖中有_個(gè)平行四邊形個(gè)平行四邊形若若abc的面積為的面積為24，def的面積是的面積是_小明家的村小明家的村頭有一大水頭有一大水塘塘,要量出池要量出池塘兩端點(diǎn)塘兩端點(diǎn)a,b之間的之間的距離距離,你能想你能想出幾種方法出幾種方法?abcde下面的方法是不是更簡(jiǎn)單下面的方法是不是更簡(jiǎn)單?abcmn 在在abab外選一點(diǎn)外選

9、一點(diǎn)c c，連結(jié)，連結(jié)acac和和bcbc，并分別找出，并分別找出acac和和bcbc的中點(diǎn)的中點(diǎn)m m、n n，如果測(cè)得，如果測(cè)得mn = 20mmn = 20m，那么，那么a a、b b兩點(diǎn)的距離是多少？為什么？?jī)牲c(diǎn)的距離是多少？為什么？在在abc中，中，e、f、g、h分別為分別為ac、cd、 bd、 ab的中點(diǎn)，若的中點(diǎn)，若ad=3，bc=8，則四邊，則四邊形形efgh的周長(zhǎng)是的周長(zhǎng)是 。abdcefgh11 已知：在四邊形abcd中，adbc，p是對(duì)角線bd的中點(diǎn)，m是dc的中點(diǎn)，n是ab的中點(diǎn) 求證pmnpnm 已知已知 abcdabcd中，中，acac、bdbd相交相交于點(diǎn)于點(diǎn)o

10、o，e e、f f、g g、h h分別是分別是abab、obob、cdcd、odod的中點(diǎn)。求的中點(diǎn)。求 證：證：hefhef fghfgh。證明：證明：四邊形四邊形abcd是平行四邊形，是平行四邊形，oa=ocoa=oc又又點(diǎn)點(diǎn)e.fe.f分別是分別是abab和和obob的中的中點(diǎn)點(diǎn)ef/oa,ef= oaef/oa,ef= oa同理同理 hg/oc,hg= oc hg/oc,hg= oc ef/hg,ef=hg ef/hg,ef=hg 四邊形四邊形efghefgh是平行四邊形是平行四邊形hefhef fghfgh2 21 12 21 1小結(jié)1.1.什么是三角形的中位線？它有哪些作用什么是三角形的中位線？它有哪些作用? ?位置關(guān)系位置關(guān)系: :可以證明兩條直線平行可以證明兩條直線平行. .數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系: :可以證明線段的倍分關(guān)系可以證明線段的倍分關(guān)系. .edfacb2.2.三角形的三條中位線分原三角形成三角形的三條中位線分原三角形成4 4個(gè)（個(gè)（ ）的三角形，每個(gè)三角形的周長(zhǎng)是原三角形周長(zhǎng)的三角形，每個(gè)三角形的周長(zhǎng)是原三角形周長(zhǎng)的（的（ ), ),面積是原三角形面積的（面積是原三角