輔導第6講大數(shù)定理和中心極限定理

1、第六章 大數(shù)定律和中心極限定理第1節(jié) 馬爾可夫不等式和契比雪夫不等式馬爾可夫不等式定理 1設隨機變量，若存在，則對任意,成立。證明 記 ，令 ，則有，從而，有，即得，于是成立 。對隨機變量，成立,。利用在上是遞增函數(shù)，可得，從而成立 ；由，得到 ，即成立 。切比雪夫不等式定理2 設隨機變量存在數(shù)學期望和方差,則對任意正數(shù),成立, 。例 1設隨機變量存在數(shù)學期望和方差，且，則對任意，成立 ,.例2 設隨機變量的概率密度為 ， 其中為正整數(shù)，證明 .證明 , , ,利用契比雪夫不等式,得 .例 3設隨機序列和隨機變量，如果對某一，有，則對任意,有 。證明 因為 對任意，成立，利用條件，即得成立。例

2、4 設隨機變量的數(shù)學期望和方差均存在,且,則有 .證明 由契比雪夫不等式,得 , ,又,于是,即.( , ).第2節(jié) 大數(shù)定律定理一(契比雪夫大數(shù)定律) 設是相互獨立的隨機變量序列,每一個都有有限的方差,且有公共的上界,即, 則對任意,成立 , . 定義 對于隨機(變量)序列和隨機變量(或常數(shù)),若對任意,有(或)則稱隨機(變量)序列依概率收斂于(或常數(shù)).(等價于)簡記為(或)推論 (辛欽大數(shù)定律)若隨機變量序列獨立同分布,且存在有限的數(shù)學期望和方差, ，則對任意,有 ,其中 .定理二(貝努里大數(shù)定律 ) 設是次獨立重復試驗中事件發(fā)生的次數(shù),是事件在每次試驗中發(fā)生的概率, 則對任意,成立 .

3、例 1 設是相互獨立的隨機變量序列,且其分布律為；記,。證明: 對任給，成立。證明 由數(shù)學期望和方差的性質(zhì)及條件,有，,對任意,由契比雪夫不等式,得,于是成立 。定理 設隨機(變量)序列依概率收斂于，設隨機(變量)序列依概率收斂于，則有依概率收斂于。證明 對任意，由，利用條件，得，于是，即得依概率收斂于。第3節(jié) 中心極限定理定理三(獨立同分布的中心極限定理)設隨機變量獨立同分布,且存在有限的數(shù)學期望和方差 , 記, 稱為的標準化, 則對任意實數(shù),有. 進一步，成立在上一致收斂于。定理四(De Moivre-Laplace定理)設是次獨立重復試驗中事件發(fā)生的次數(shù),是事件在每次試驗中發(fā)生的概率,

4、則對任意區(qū)間,成立 . 近似計算公式:由于，所以 。例1 某計算機系統(tǒng)有120個終端,每個終端有5%的時間在使用,若各終端使用與否是相互獨立的,試求有10個以上的終端在使用的概率.解 方法一 以表示使用終端的個數(shù), 引人隨機變量 , ,則 ,由于使用與否是獨立的,所以相互獨立,且都服從相同的(01)分布,即于是,所求概率為,由中心極限定理得 .方法二 以表示使用終端的個數(shù),根據(jù)題意知, 所求概率為 ,(查泊松分布表).例2 用契比雪夫不等式確定當投擲一枚均勻硬幣時,需投多少次,才能使出現(xiàn)正面的頻率在0.4至0.6之間的概率不小于90 .并用德莫弗-拉普拉斯定理計算同一問題,然后進行比較.解 用

5、契比雪夫不等式估計,設為投擲次硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù),則 , , ,由題設 ,又由契比雪夫不等式知(取),由,得.用德莫弗-拉普拉斯定理估計,設為投擲次硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù),則 , , ,由題設 ,即,查表得,即.計算結(jié)果表明, 用契比雪夫不等式估計至少需要擲250次, 才能使出現(xiàn)正面的頻率在0.4至0.6之間的概率不小于0.9;而用德莫弗-拉普拉斯定理估計至少需要擲68次, 才能使出現(xiàn)正面的頻率在0.4至0.6之間的概率不小于0.9.說明用中心極限定理計算比用契比雪夫不等式估計精確.例3 現(xiàn)有一大批種子,其中良種占.現(xiàn)從中任選6000粒,試問在這些種子中,良種所占的比例與之誤差小1%的概率是多少？

6、解 設表示良種個數(shù), 則, , 所求概率為 .例4 設有30個電子器件,它們的使用情況如下: 損壞,接著使用; 損壞,接著使用等等.設器件的使用壽命服從參數(shù)(單位:)的指數(shù)分布.令為30個器件使用的總時數(shù),問超過350h的概率是多少？解 設為 器件的使用壽命, 服從參數(shù)(單位:)的指數(shù)分布, 相互獨立, , ,由中心極限定理得 .例5 某單位設置一電話總機,共有200架電話分機. 設每個電話分機有5%的時間要使用外線通話,假定每個電話分機是否使用外線通話是相互獨立的,問總機需要安裝多少條外線才能以90%的概率保證每個分機都能即時使用.解 方法一 依題意 設為同時使用的電話分機個數(shù),則, 設安裝

7、了條外線,引人隨機變量 , ,則 ,由于使用與否是獨立的,所以相互獨立,且都服從相同的(01)分布,即,保證每個分機都能即時使用, , ,查標準正態(tài)分布表 ,取 ,答: 需要安裝14條外線.方法二 設為同時使用的電話分機個數(shù),則, ; 設安裝了條外線, 保證每個分機都能即時使用, ,在列出的泊松分布表中沒有的情形,此法就解決不了這個問題.方法一是用中心極限定理解決問題的,從而體會中心極限定理的作用.例6 作加法運算時,先對每個數(shù)取整(既四舍五進取作整數(shù)).設所有取整產(chǎn)生的誤差是相互獨立的,且都在區(qū)間上服從均勻分布,求最多幾個數(shù)相加,方能保證誤差總和的絕對值小于15的概率大于0.90.解 ,;

8、設 為第個加數(shù)產(chǎn)生的誤差, 相互獨立,由中心極限定理, ,得 。例7 利用中心極限定理證明 .證明：設為相互獨立同分布的隨機變量序列，共同的分布為參數(shù)的泊松分布，又由服從泊松分布的獨立隨機變量具有可加性，即服從參數(shù)為的泊松分布，所以有 ，又因為，由獨立同分布的中心極限定理知，所以，故有. 例 8 設隨機變量的概率密度為, ,分布函數(shù)為, 求 。解 。例9 設隨機變量的概率密度為, ,試證 。證明 對任意，由于 ，所以 。例10 設隨機變量的概率密度為, ,分布函數(shù)為，其中常數(shù), 求。 解 由 由的表達式 及 ，可知 ； 于是 ，且是在和內(nèi)是內(nèi)閉一致收斂的；又，所以 。例11設隨機變量序列獨立同分布,且存在有限的數(shù)學期望和方差 , ；，試證：（1）； （2）； （3）； （4） 。證明 利用貝努利大數(shù)