2.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)(1)

1、13.1.2橢圓的簡橢圓的簡單幾何性質(zhì)（單幾何性質(zhì)（1）高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修2-1 第三章第三章 圓錐曲線與方程圓錐曲線與方程2一、復(fù)習(xí)：一、復(fù)習(xí)：1.橢圓的定義橢圓的定義:到兩定點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為常數(shù)（大于的距離之和為常數(shù)（大于|F1F2 |）的）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：3.橢圓中橢圓中a,b,c的關(guān)系是的關(guān)系是:a2=b2+c2|)|2(2|2121FFaaPFPF當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)軸上時(shí)當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸上時(shí)軸上時(shí))0( 12222babyax)0( 12222babxay3二、二、橢圓橢圓 簡單的幾何

2、性質(zhì)簡單的幾何性質(zhì)12222byax -axa, -byb 知知, 122 ax得：得：122 by oyB2B1A1A2F1F21、范圍：、范圍： 橢圓落在橢圓落在x=a,y= b組成的矩形中組成的矩形中4橢圓頂點(diǎn)坐標(biāo)為：2.頂點(diǎn)與長短軸頂點(diǎn)與長短軸 橢圓和它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)橢圓的頂點(diǎn).回顧：A1(a，0)、A2(a，0)、B1(0，b)、B2(0，b)焦點(diǎn)坐標(biāo)(c，0) oxyA2(a, 0)A1(-a, 0)B2(0,b)B1(0,-b)B2(0,b)B1(0,-b) 0(12222babyax5長軸：線段長軸：線段A1A2；長軸長長軸長 |A1A2|=2a短軸：線段短軸：線段B1B2

3、；短軸長短軸長 |B1B2|=2b焦焦 距距 |F1F2| =2c a a2 2=b=b2 2+c+c2 2， oxyB2(0,b)B1(0,-b)A2(a, 0)A1(-a, 0)bacaF2F1|B2F2|=a；注意注意63.橢圓的對(duì)稱性橢圓的對(duì)稱性)0(12222babyax oxy在方程中，把換成，方程不變，說明：橢圓關(guān)于軸對(duì)稱；橢圓關(guān)于軸對(duì)稱；橢圓關(guān)于 點(diǎn)對(duì)稱；坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心x-xxY Y(0,0)(0,0)Y -YY -YX X -X-X Y Y -Y-Y Q(-x,y)P(x,y)M(x,-y)N(-x,-y)7想一想橢圓的對(duì)稱軸一定是軸和軸嗎？對(duì)稱中

4、橢圓的對(duì)稱軸一定是軸和軸嗎？對(duì)稱中心一定是原點(diǎn)嗎？心一定是原點(diǎn)嗎？ oxyF2F1說明橢圓的對(duì)稱性不隨位置的改變說明橢圓的對(duì)稱性不隨位置的改變而改變而改變8123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識(shí)畫出下列圖形根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識(shí)畫出下列圖形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 9問題2：圓的形狀都是相同的，而橢圓卻有圓的形狀都是相同的，而橢圓卻有些比較些比較“扁扁”，有些比較，有些比較“圓圓”，用什么，用什么樣的量來刻畫橢圓樣的

5、量來刻畫橢圓“扁扁”的程度呢？的程度呢？104、橢圓的離心率、橢圓的離心率ace 離心率：離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。叫做橢圓的離心率。1離心率的取值范圍：離心率的取值范圍：1）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，從而，從而 b就越小，橢圓就越扁就越小，橢圓就越扁因?yàn)橐驗(yàn)?a c 0，所以，所以0e babceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x| b,|y| a同前同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前同前同前同前13 它的長軸長是： 。短軸長是： 。焦距是 。

6、離心率等于： 。焦點(diǎn)坐標(biāo)是： 。頂點(diǎn)坐標(biāo)是： 。 外切矩形的面積等于： 。 例1已知橢圓方程為16x2+25y2=400108635( 3,0)( 5,0)(0, 4)80分析：橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為： 2222162540012516xyxya=5 b=4 c=3 oxy ox y題型一：利用橢圓方程，研究其幾何性質(zhì)題型一：利用橢圓方程，研究其幾何性質(zhì)14已知橢圓方程為已知橢圓方程為6x6x2 2+y+y2 2=6=6它的長軸長是：它的長軸長是： 。短軸是：。短軸是： 。焦距是：焦距是： . .離心率等于：離心率等于： 。焦點(diǎn)坐標(biāo)是：焦點(diǎn)坐標(biāo)是： 。頂點(diǎn)坐是：。頂點(diǎn)坐是： 。 外切矩形的面

7、積等于：外切矩形的面積等于： 。 262)5, 0( 52630(0,6) ( 1,0)4 616122 yx其其標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程是是5 1 622bacba則例例2 2. .題型一：利用橢圓方程，研究其幾何性質(zhì)題型一：利用橢圓方程，研究其幾何性質(zhì)15例例2 2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)P(P(3,0)3,0)、Q(0,Q(0,2)2)；長軸長等于長軸長等于2020，離心率，離心率3/53/5。一焦點(diǎn)將長軸分成一焦點(diǎn)將長軸分成: :的兩部分的兩部分, ,且經(jīng)過點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)3 2,4P 22194xy所求橢圓方程為：解：解： 方法一：方法一：設(shè)方程為設(shè)

8、方程為mx2ny21（m0，n0，mn），），注注：待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟： 定位；定位； 定量定量題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程將點(diǎn)的坐標(biāo)方程，求出將點(diǎn)的坐標(biāo)方程，求出m1/9,n1/4。16例例2 2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)P(P(3,0)3,0)、Q(0,Q(0,2)2)；長軸長等于長軸長等于2020，離心率，離心率3/53/5。一焦點(diǎn)將長軸分成一焦點(diǎn)將長軸分成: :的兩部分的兩部分, ,且經(jīng)過點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)3 2,4P 22194xy解：解：(1)方法二：利用橢

9、圓的幾何性質(zhì)方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì) 題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn)，交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn)， 于是焦點(diǎn)在于是焦點(diǎn)在x軸上，且點(diǎn)軸上，且點(diǎn)P、Q分別是分別是橢圓長軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn)，橢圓長軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn)， 故故a3，b2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 17例例2 2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)P(P(3,0)3,0)、Q(0,Q(0,2)2)；長軸長等于長軸長等于2020，離心率，離心率3/53/5。一焦點(diǎn)將長軸

10、分成一焦點(diǎn)將長軸分成: :的兩部分的兩部分, ,且經(jīng)過點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)3 2,4P 2222111006410064xyyx橢圓方程為：或題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程3220,5caea：解(2)10,6ac8.b 18例例2 2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)P(P(3,0)3,0)、Q(0,Q(0,2)2)；長軸長等于長軸長等于2020，離心率，離心率3/53/5。一焦點(diǎn)將長軸分成一焦點(diǎn)將長軸分成: :的兩部分的兩部分, ,且經(jīng)過點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)3 2,4P 222211145290363249xyyx橢圓方程為：或題

11、型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程一焦點(diǎn)將長軸分成：解:(3)的兩部分():()2:1acac3ac228bc22222222119889xyxycccc橢圓方程可設(shè)為：或22222222( 3 2)4( 3 2)4119889cccc或3 2,4P 橢圓過，22145436cc或1922221111yxabPPPOPPFPFPF-點(diǎn) 是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) 的坐標(biāo)為時(shí)，到原點(diǎn) 的最大距離為；當(dāng) 的坐標(biāo)為時(shí)，到原點(diǎn)O的最小距離為；設(shè) （c,0),則當(dāng)P的坐標(biāo)為時(shí)，的最大值為；則當(dāng)P的坐標(biāo)為時(shí)，的最小值為。(a,0)a(0, b)b(-a,0)a+c(a,0)a-

12、c1、有關(guān)橢圓的一些重要結(jié)論有關(guān)橢圓的一些重要結(jié)論F2F1xy20的位置關(guān)系與橢圓點(diǎn)1),(. 2222200byaxyxP ; 1),(122022000byaxyxP在橢圓內(nèi)：點(diǎn) ; 1),(222022000byaxyxP在橢圓上：點(diǎn) ; 1),(322022000byaxyxP在橢圓外：點(diǎn)的位置關(guān)系與橢圓例：判斷點(diǎn)184x,2)2(0,2)(2,2)22y有關(guān)橢圓的一些重要結(jié)論有關(guān)橢圓的一些重要結(jié)論213.3.焦點(diǎn)相同的橢圓系焦點(diǎn)相同的橢圓系有相同焦點(diǎn)且與橢圓求橢圓方程使其過點(diǎn)練習(xí)149x(-3,2),:22y有關(guān)橢圓的一些重要結(jié)論有關(guān)橢圓的一些重要結(jié)論221. 1. 根據(jù)下列條件，求

13、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 長軸長和短軸長分別為長軸長和短軸長分別為8 8和和6 6，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在x x軸上軸上 長軸和短軸分別在長軸和短軸分別在y y軸，軸，x x軸上，經(jīng)過軸上，經(jīng)過P(-2,0)P(-2,0)， Q(0,-3)Q(0,-3)兩點(diǎn)兩點(diǎn). .一焦點(diǎn)坐標(biāo)為（一焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3 3，0 0）一頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）一頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0 0，5 5）兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為（兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0 0，6 6），且經(jīng)過點(diǎn)（），且經(jīng)過點(diǎn)（5 5，4 4）焦距是焦距是1212，離心率是，離心率是0.60.6，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在x x軸上。軸上。22169xy+=12294yx+=1223425xy

14、+=12210064xy+=1224536xy+=1題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程23練習(xí)練習(xí)1、若橢圓的焦距長等于它的短軸長，則其離心率、若橢圓的焦距長等于它的短軸長，則其離心率為為 。2、若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)及一個(gè)短軸端點(diǎn)構(gòu)成正三角、若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)及一個(gè)短軸端點(diǎn)構(gòu)成正三角形，則其離心率為形，則其離心率為 。2221題型三：橢圓的離心率問題題型三：橢圓的離心率問題 3、若某個(gè)橢圓的長軸、短軸、焦距依次成等差數(shù)列，、若某個(gè)橢圓的長軸、短軸、焦距依次成等差數(shù)列， 則其離心率則其離心率e=_53 4、若橢圓、若橢圓 + =1的離心率為的離心率為 0.5，則：

15、，則：k=_82kx92y445或2412212FFFPFPF()221. C.2- 2. 2122ABD1.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 、 ，過 作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn) ，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為 ， D題型三：橢圓的離心率問題題型三：橢圓的離心率問題25題型三：橢圓的離心率問題題型三：橢圓的離心率問題 21D31C22B23A,2PABBFBAF01. 12222）則橢圓的離心率是（，若于點(diǎn)軸交軸，直線在橢圓上，且，點(diǎn)點(diǎn)為，右頂?shù)淖蠼裹c(diǎn)為已知橢圓PBAPyxbabyax26例例3：(1)橢圓橢圓 的左焦點(diǎn)的左焦點(diǎn) 是兩個(gè)頂點(diǎn)，如果到是兩個(gè)頂點(diǎn)，如果到F1直線直線AB的的距距 離

16、為離為 ，則橢圓的離心率，則橢圓的離心率e= .22221(0)xyabab1(,0),Fc(,0),(0, )AaBb7b題型三：橢圓的離心率問題題型三：橢圓的離心率問題:0ABbxayab解 直線方程為122.7FABbcabbdba222bac2227()2acac2251480aacc24 .acac或51.2cea 1227例例3：(2)設(shè)設(shè)M為橢圓為橢圓 上一點(diǎn)，上一點(diǎn)， 為橢圓的焦點(diǎn)，為橢圓的焦點(diǎn)， 如果如果 ，求橢圓的離心率。，求橢圓的離心率。22221(0)xyabab12FF、122175 ,15MFFMF F題型三：橢圓的離心率問題題型三：橢圓的離心率問題01221127

17、5 ,1590MFFMF FFMF解：，1212sin15sin75sin90MFMFFF由正弦定理：1212sin75sin15sin90MFMFFF22sin75sin15sin90acsin903sin75sin153cea 28題型三：橢圓的離心率問題題型三：橢圓的離心率問題1113(3):FA,PO AB(O)例已知F為橢圓的左焦點(diǎn),A,B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),P為橢圓上的點(diǎn),當(dāng)PF為橢圓中心 時(shí),求橢圓的離心率2222:1xyab解 設(shè)橢圓方程為11FAPF2(,)bPca( ,0), (0, )A aBbPO ABPOABkk2/babcabc 22.22cceac 291

18、.1.（5 5分）橢圓分）橢圓 (ab0)(ab0)和和 （ab0,ab0,且且k k0 0）具有（）具有（ ）（A A）相同的長軸）相同的長軸 （B B）相同的焦點(diǎn)）相同的焦點(diǎn)（C C）相同的頂點(diǎn)）相同的頂點(diǎn) （D D）相同的離心率）相同的離心率【解析】【解析】選選D.D.由已知得由已知得 的離心率的離心率e e1 1= =而而 的離心率的離心率故故e e1 1=e=e2 2. .2222xy+=1ab2222xy+=kab2222xy+=1ab22222ca -b=,aa2222xy+=kab2222222a k-b ka -be =.a ka3031324.4.（20102010湛江高二

19、檢測）設(shè)橢圓湛江高二檢測）設(shè)橢圓C C：（a ab b0 0）的離心率為）的離心率為e= ,e= ,點(diǎn)點(diǎn)A A是橢圓上的一點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，且點(diǎn)且點(diǎn)A A到橢圓到橢圓C C兩焦點(diǎn)的距離之和為兩焦點(diǎn)的距離之和為4.4.（1 1）求橢圓）求橢圓C C的方程；的方程；（2 2）橢圓）橢圓C C上一動(dòng)點(diǎn)上一動(dòng)點(diǎn)P P（x x0 0,y,y0 0）關(guān)于直線）關(guān)于直線y=2xy=2x的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為為P P1 1（x x1 1,y,y1 1）, ,求求3x3x1 1-4y-4y1 1的取值范圍的取值范圍. .2222xy+=1ab2233【解析】【解析】（1 1）依題意知，）依題意知，2a=4, a=

20、2.2a=4, a=2. 所求橢圓所求橢圓C C的方程為的方程為 . .（2 2） 點(diǎn)點(diǎn)P P（x x0 0,y,y0 0）關(guān)于直線）關(guān)于直線y=2xy=2x的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為P P1 1（x x1 1,y,y1 1）, , 解得：解得：3x3x1 1-4y-4y1 1=-5x=-5x0 0. .又又-2x-2x0 02, -10-5x2, -10-5x0 010,10,3x3x1 1-4y-4y1 1的取值范圍為的取值范圍為-10-10，1010. .22c2e=,c= 2,b= a -c = 2.a222xy+ -y2=-1,x -xy +yx +x=2.220

21、000114y -3x3y +4xx =,y =.55347.7.（20102010新鄉(xiāng)高二檢測）橢圓的中心在原點(diǎn)，焦新鄉(xiāng)高二檢測）橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在點(diǎn)在x x軸上，焦距為軸上，焦距為2 2，且經(jīng)過點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P P（-1-1， ）；）；（1 1）求滿足條件的橢圓方程；）求滿足條件的橢圓方程；（2 2）求該橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)，長軸和短軸長，離心率）求該橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)，長軸和短軸長，離心率. .3235【解析】【解析】（1 1）設(shè)橢圓方程為）設(shè)橢圓方程為 （a ab b0 0）, ,則則c=1,c=1,焦點(diǎn)坐標(biāo)為焦點(diǎn)坐標(biāo)為F F1 1（-1-1，0 0），），F(xiàn) F2 2（1 1，0 0），）

22、，2a=|PF2a=|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=|= b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=3,=3, 橢圓方程為橢圓方程為 ; ;（2 2）頂點(diǎn)坐標(biāo)：（）頂點(diǎn)坐標(biāo)：（2 2，0 0），（），（0 0， ）；長軸長：）；長軸長：4 4；短軸長：短軸長： ；離心率；離心率e= .e= .2222xy+=1ab222233(-1+1) +() + (-1-1) +() =4,a=2,2222xy+=14332 31236小結(jié)：小結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的幾個(gè)簡單幾何性質(zhì)：范圍、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的幾個(gè)簡單幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等概念及其幾何意義。對(duì)稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等概念及其幾何意義。了解了研究橢圓的幾個(gè)了解了研究橢圓的幾個(gè)基本量基本量a a，b b，c c，e e及頂點(diǎn)、及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、對(duì)稱中心及其相互之間的關(guān)系焦點(diǎn)、對(duì)稱中心及其相互之間的關(guān)系，這對(duì)我們解，這對(duì)我們解決橢圓中的相關(guān)問題有很大的幫助，給我們以后學(xué)決橢圓中的相關(guān)問題有很大的幫助，給我們以后學(xué)習(xí)圓錐曲線其他的兩種曲線扎實(shí)了基礎(chǔ)。在解析幾習(xí)圓錐曲線其他的兩種曲線扎實(shí)了基礎(chǔ)。在解析幾何的學(xué)習(xí)中，我們更多的是從方程的形式這個(gè)角度何的學(xué)習(xí)中，我們更多