高數(shù)中需要掌握證明過程的定理二

1、高數(shù)中的重要定理與公式及其證明（二）在第一期的資料內(nèi)我們總結(jié)了高數(shù)前半部分需要掌握證明過程的定理，由于最近比較忙，所以一直沒來得及寫。現(xiàn)將后半部分補上。希望對大家有所幫助。1）泰勒公式（皮亞諾余項）設(shè)函數(shù)在點處存在階導(dǎo)數(shù)，則在的某一鄰域內(nèi)成立【點評】：泰勒公式在計算極限、高階導(dǎo)數(shù)及證明題中有很重要的應(yīng)用。對于它們，我們首要的任務(wù)是記住常見函數(shù)（）在處的泰勒公式，并能利用它們計算其它一些簡單函數(shù)的泰勒公式，然后在解題過程中加以應(yīng)用。在復(fù)習的前期，如果基礎(chǔ)不是很好的話，兩種不同形式的泰勒公式的證明可以先不看。但由于證明過程中所用到的方法還是很常用的。因此把它寫在這里。證明：令則我們要證明。由高階無

2、窮小量的定義可知，需要證明。這個極限式的分子分母都趨于零，并且都是可導(dǎo)的，因此用洛必達法則得再次注意到該極限式的分子分母仍趨于零，并且也都是可導(dǎo)的，因此可以再次運用洛必達法則。不難驗證該過程可以一直進行下去，運用過次洛必達法則后我們可以得到由于在點處存在階導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的定義可知代入可得。 證畢注：這個定理很容易得到如下錯誤的證明：直接用次洛必達法則后得到錯誤的原因在于定理條件中僅告知了在點處存在階導(dǎo)數(shù)，并沒有說明在其它點處的階導(dǎo)數(shù)是否存在。就算其它點處的階導(dǎo)數(shù)也存在，也不一定連續(xù)，也不一定成立。希望大家注意。2）泰勒公式（拉格朗日余項）設(shè)函數(shù)含有點的某個開區(qū)間內(nèi)有直到階導(dǎo)數(shù)，則對內(nèi)任意一點，都

3、成立其中，其中介于和之間?！军c評】：同上。證明：令則我們需要證明。由于，因此易知，滿足柯西中值的條件。因此，由柯西中值定理可知，在和之間存在一點使得而因此，此時仍然有。則。易知，仍滿足柯西中值的條件。因此，由柯西中值定理可知，在和之間存在一點使得。由于在和之間，因此也在和之間。容易檢驗，上述過程可以一直進行下去，使用過次柯西公式后即可得到。 證畢注：在計算極限或確定無窮小量的階時，一般用到皮亞諾余項的泰勒公式；在做證明題時用拉格朗日余項比較多。兩種泰勒公式的條件是不同的，其中拉格朗日余項的條件更強，結(jié)論也更強。這兩個定理的證明，如果基礎(chǔ)不太好一時接受不了的話可以先跳過，到下一階段再看。3）定積

4、分中值定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一點使得下式成立：【點評】：積分中值定理是定積分比較定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理的推論，它在是證明微積分基本定理的基礎(chǔ)，在整個微積分中具有極大的理論意義。同時，證明題中對該定理的應(yīng)用也比較常見，通常會和微分中值定理結(jié)合使用，考生首先應(yīng)該熟記該定理的條件和結(jié)論。另外，考試中還出現(xiàn)過與該定理證明方法類似的證明題。因此，該定理的證明過程也是需要掌握的。該定理的證明過程教材上有，因為比較重要，也為了方便大家，在這里寫一下我的證明過程證明：由于在區(qū)間上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理可知：在區(qū)間上可以取到最大與最小值。設(shè)最大值為，最小值為。則有。

5、則有，也即兩邊同時除以可得?？芍墙橛诤瘮?shù)在區(qū)間上的最大值和最小值為之間的一個數(shù)。由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，能取到上的一切數(shù)。因此在積分區(qū)間上存在一點使得：。也即。 證畢附：下面是02年數(shù)三的一道證明題，證明方法與本定理很類似，大家可以試一試。【02年數(shù)三 6分】：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且。試利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證明存在一點，使得。4）積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則變積分上限函數(shù)在上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)是【點評】：這個定理的重要性不用強調(diào)了，考試中也直接考到過它的證明。由于是對定理的證明，因此要證明的導(dǎo)數(shù)等于只能用定義，對于大家強化導(dǎo)數(shù)的定義是一個很好的訓練。證明：由導(dǎo)數(shù)的

6、定義可知，本定理等價于證明。而由于在區(qū)間上連續(xù)，因此由定積分中值定理可知：存在介于與之間的使得，則。由于介于與之間，因此當時，。又由于在區(qū)間上連續(xù)，可知。也即。由導(dǎo)數(shù)的定義可知。 證畢5）牛頓萊布尼茲公式如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則【點評】：牛頓-萊布尼茲公式又名微積分基本定理，是因為它用一個簡單的公式就成功地聯(lián)系起了微積分中最重要的兩個概念：微分和積分，極大地簡化了定積分的計算。它是微積分最核心的定理之一，其簡潔明了的形式也使它被認為是微積分幾百年研究歷史中最漂亮的結(jié)論之一！該定理和上一個定理實際上是等價的，只需要用到一個函數(shù)在同一區(qū)間上的不同原函數(shù)間僅相差一個常數(shù)。大家不妨自

7、己推證。6）柯西施瓦茲不等式設(shè)函數(shù)都在區(qū)間上可積且平方可積（注意：這里沒有說連續(xù)），則有【點評】：這個公式是教材上的習題，在考試時可以直接用。該公式在連續(xù)時也成立，但證明方法有區(qū)別，通過這個例子可以說明應(yīng)用牛頓萊布尼茲公式時檢驗被積函數(shù)是否連續(xù)的重要性。證明：法一：令則。而因此在區(qū)間上單調(diào)遞減。則有。整理即得所需不等式。 證畢注：就本題來說，這個證明過程是錯的。因為本題沒有說連續(xù)，因此不能用變上限積分求導(dǎo)公式，也就是說對的計算是不合法的。把這個證明過程放在這里是因為在考研范圍內(nèi)我們遇到的函數(shù)大多是連續(xù)的，而且利用函數(shù)單調(diào)性的方法在積分不等式的證明中也是很有代表性的。法二：易知，有。將括號打開可

8、得將該式看作變量的二次函數(shù)，?？芍?，對任意的實數(shù)都成立。由二次函數(shù)的相關(guān)理論可知，該二次函數(shù)的判別式小于或等于零也即整理即得所需不等式。 證畢注：由于這種證明方法所用到的條件比連續(xù)弱，因此當連續(xù)時，該證明過程也成立。但這個證明過程所用到的方法不具有代表性，大家了解一下即可。7）二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與可微的關(guān)系如果函數(shù)在點可微，則函數(shù)在該點連續(xù)且兩個偏導(dǎo)數(shù)均存在，并且【點評】：學到多元函數(shù)時第一個困擾我們的就是多元函數(shù)的可微與可導(dǎo)不再等價，它們與連續(xù)性的關(guān)系也變得更為復(fù)雜了。下面希望能通過幾個定理與反例來將這個關(guān)系說清楚。證明：由可微的定義可知存在只與有關(guān)而與實數(shù)使得在點附近成立?，F(xiàn)證明，由偏導(dǎo)數(shù)定義可知，這等價于證明。由于成立，因此則。由高階無窮小的定義可知。因此，有。也即。同理，可證。 證畢注1：關(guān)于二元函數(shù)可微，偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)和偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的關(guān)系可以用下圖來表示：也就是說：偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)必然可微，可微的函數(shù)必然連續(xù)并且存在偏導(dǎo)數(shù)，但連續(xù)和偏導(dǎo)數(shù)存在這兩個概念本身是互不包含的（也就是說連續(xù)的函數(shù)不一定存在偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)也不一定連續(xù)）。注二：例如：1）函數(shù)，在連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在。2）又如函數(shù)，在（0，0）處