隨機(jī)變量及其分布函數(shù)

1、1一、隨機(jī)變量二、分布函數(shù)2例例1 拋一枚硬幣拋一枚硬幣,觀察正面觀察正面 1,反面反面 2出出現(xiàn)的情況現(xiàn)的情況:樣本空間樣本空間 = 1, 2 引入一個(gè)定義在引入一個(gè)定義在 上的函數(shù)上的函數(shù) X : 由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)是隨機(jī)的由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)是隨機(jī)的,因此因此X( )的取值也是隨機(jī)的的取值也是隨機(jī)的 21 , 0 , 1)( XX3例例2 從包含兩件次品從包含兩件次品(a1,a2)和三件正品和三件正品(b1,b2,b3)的五件產(chǎn)品中任意取出兩件的五件產(chǎn)品中任意取出兩件: 以以X表示抽取的兩件產(chǎn)品中包含的表示抽取的兩件產(chǎn)品中包含的次品個(gè)數(shù)次品個(gè)數(shù),則則X是定義在是定義在 上的一個(gè)函數(shù)上的一個(gè)

2、函數(shù)樣本空間為樣本空間為:即即 X=X( ), =a1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a2,b1, a2,b2,a2,b3,b1,b2,b1,b3,b2,b34具體寫出這個(gè)函數(shù)如下具體寫出這個(gè)函數(shù)如下: X取什么值依賴于試驗(yàn)結(jié)果取什么值依賴于試驗(yàn)結(jié)果,即即X的的取值帶有隨機(jī)性取值帶有隨機(jī)性 ),( , 2),(),(),( ),(),(),( , 1),(),(),( , 0)(21322212312111323121aabababababababbbbbbXX 5 在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念量來表示

3、，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.6 1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）就是一個(gè)數(shù)）. 例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)； 七月份鄭州的最高溫度；七月份鄭州的最高溫度；每天從鄭州下火車的人數(shù)；每天從鄭州下火車的人數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；7R 設(shè)設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn), 是其樣本空間是其樣本空間,如果對(duì)每個(gè)如果對(duì)每個(gè) ,總有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)總有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)X( )與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng), 則稱則稱X( )為定義在為定義在 上上的一個(gè)的一個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量 定義定義:隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用常用X、Y 或或 、 等表示等表示

4、 X( )8隨機(jī)變量的特點(diǎn)隨機(jī)變量的特點(diǎn):1. X的全部可能取值是互斥且完備的的全部可能取值是互斥且完備的2. X的部分可能取值描述隨機(jī)事件的部分可能取值描述隨機(jī)事件9函數(shù)變量函數(shù)變量:隨機(jī)變量隨機(jī)變量: :樣本空間樣本空間R f x XXRR實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)一樣嗎？這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)一樣嗎？10 定義了隨機(jī)變量后定義了隨機(jī)變量后,就可以用隨機(jī)就可以用隨機(jī)變量的取值情況來變量的取值情況來刻劃隨機(jī)事件刻劃隨機(jī)事件在例在例2中中,事件事件“取出的兩件產(chǎn)品中沒取出的兩件產(chǎn)品中沒有有 次品次品” 用用X=0表示表示 且概率為且概率為: PX

5、=0=0.3 事件事件“取出的兩件產(chǎn)品中至少有一件取出的兩件產(chǎn)品中至少有一件次次 品品” 用用X1表示表示且概率為且概率為: PX1=0.7 11 例如，從某一學(xué)校隨機(jī)選一例如，從某一學(xué)校隨機(jī)選一學(xué)生，測(cè)量他的身高學(xué)生，測(cè)量他的身高. 我們可以把可能的我們可以把可能的身高看作隨機(jī)變量身高看作隨機(jī)變量X,然后我們可以提出關(guān)于然后我們可以提出關(guān)于X的各種問題的各種問題. 如如 P(X1.7)=？ P(X1.5)=?P(1.5X1.7)=?12例例3 3 在約會(huì)問題中，樣本空間為在約會(huì)問題中，樣本空間為( , )|0,0 x yxTyT 設(shè)設(shè)X表示甲到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)刻，則表示甲到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)刻，則

6、X為隨機(jī)變量。試求：對(duì)于給定的實(shí)為隨機(jī)變量。試求：對(duì)于給定的實(shí)數(shù)數(shù)a,事件事件 的概率的概率 。XaP Xa1300()01aaP XaaTTaT則：則：14 有了隨機(jī)變量有了隨機(jī)變量,隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來就可以通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來. 引入隨機(jī)變量的意義引入隨機(jī)變量的意義 如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)用叫次數(shù)用X表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 X 1 沒有收到呼叫沒有收到呼叫 X= 0 15 隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展隨

7、機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件史上的重大事件. 引入隨機(jī)變量后，對(duì)引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對(duì)隨機(jī)變量及及事件概率的研究擴(kuò)大為對(duì)隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究其取值規(guī)律的研究.事件及事件及事件概率事件概率隨機(jī)變量及其隨機(jī)變量及其取值規(guī)律取值規(guī)律16對(duì)隨機(jī)變量的概率分布情況進(jìn)行刻畫對(duì)隨機(jī)變量的概率分布情況進(jìn)行刻畫 定義定義: 設(shè)設(shè)X是一隨機(jī)變量是一隨機(jī)變量,稱函數(shù)稱函數(shù) F(x)=P(Xx), x+ 為為X的的分布函數(shù)分布函數(shù) xX顯然顯然,有有: 0F(x)1 17X且且Xx1 Xx2故故: P(x1Xx

8、2)=PXx2 PXx1xx1 x2 o另另, P(x1Xx2)=F(x2) F(x1) (x1x2) x1Xx2=Xx2 Xx1=F(x2) F(x1)18(1)F(x)是是x的不減函數(shù)的不減函數(shù) 即若即若x1x2 ,則則F(x1)F(x2)(2) 理解理解:當(dāng)當(dāng)x+ 時(shí)時(shí),Xx越接近于必然事件越接近于必然事件性質(zhì)性質(zhì):0)(lim)( xFFx1)(lim)( xFFx19(3)右連續(xù)性右連續(xù)性: 對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x ,)()(lim) 0(000 xFxFxFxx 具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)必是某具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)必是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù).該三個(gè)性質(zhì)是分布該三個(gè)

9、性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)函數(shù)的充分必要性質(zhì)20例4 設(shè)一個(gè)箱子中有依次標(biāo)有-1，2，2，3數(shù)字的4個(gè)乒乓球，從中任取一個(gè)乒乓球記隨機(jī)變量X為取得的乒乓球上標(biāo)有的數(shù)字,求X的分布函數(shù)，并分別求解 可能取的值為-1，2，3，由古典概率的計(jì)算公式，可知取這些值的概率依次為0.25,0.5,0.25 . .當(dāng)x -1時(shí) X x是不可能事件，因此 F(x)= 0當(dāng)-1 x 2時(shí) X x等同于X= -1，因此 F(x)= 0.250 51 52 523. , . ,P XPXPX21當(dāng)2 x 3時(shí) X x 等同于X = -1或X = 2， 因此 F(x)= 0.25+0.5=0.75當(dāng)3 x時(shí) X x是必然事件，因此 F(x)= 1。綜合起來， F(x)的表達(dá)式為：010 25120 752313,.,( ).,.xxF xxx 22分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)的圖像如下：的圖像如下：23 1.概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在