高中數(shù)學：函數(shù)的極值和最值ppt課件

1、 函數(shù)的極值和最值 本節(jié)內(nèi)容提要:一、極值及其求法 1.極值的定義 2.極值存在的必要條件和充分條件二、最大值與最小值本節(jié)重點:極值的定義,極值存在的必要條件和充分條件,求極值的方法,求最值的方法本節(jié)難點: 極值和最值的關系,極值點和駐點、不可導點之間的關系, 求極值和最值的方法一、極值及其求法 1.極值的定義:定義:設y=f(x)在 某一鄰域內(nèi)有定義,如果對于該鄰域內(nèi)異于 的任意點x都有: (1) f(x) f( ),則稱f( )為f(x)的極小值, 稱為f(x)的極小值點; 極大值,極小值統(tǒng)稱為極值;極大值點,極小值點統(tǒng)稱為極值點.注: (1) 極值是局部概念,極值不一定是最值; (2)

2、極值不唯一,極大值不一定比極小值大 0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x000000( )()x0; ( )()xx 0 f xf xxxf xf xxx00000證:設f(x)在x 可導,f(x )為極大值(極小值的情形可類似證明),由極大值定義,在x 的某鄰域內(nèi),對于任意xx 均有f(x)f(x )成立,于是當時,當時,2.極值存在的必要條件和充分條件:(1)必要條件定理 若函數(shù)f(x)在 可導,且在 處取得極值,那么0()0fx0 x0 x00000000000( )()()lim0;( )()()lim0()() ()0 xxxxf xf xfxxxf xf xfxxxfx

3、fxfx注：極值點是駐點或不可導點，反之不成立。例 x=0是函數(shù) 的駐點而非極值點;3yx（2極值存在的第一充分條件定理：設函數(shù) f (x)在點 的某一鄰域內(nèi)可導且 (1)若x 時 ,則f (x)在點 處取得極大值f ( )(2)若x 時， , 則f (x)在點 處取得極小值f ( )(3若x從 的左側(cè)變化到右側(cè)時， 不變號，則f (x)在 處無極值.注：此定理也可以判斷不可導點是否為極值點 ( )0fx ( )0fx ( )0fx ( )0fx ( )fx0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x235233212133333(25)2510101010(1)()33

4、330 x=1, x=0 xyxyxyxyyxxxxxx例1 求的極值點和極值解:定義域為(- ,+ ) 令得當時不存在 y 函數(shù)有極大值f(0)=0 極小值f (1)=-3 （3第二充分條件定理：設f (x)在點 的某鄰域內(nèi)一階可導，在x= 處二階可導，且 , , (1)假設 ,則f(x)在點 取得極大值(2)假設 ,則f(x)在點 取得極小值。0()0fx0()0fx0()0fx0()0fx0 x0 x0000000000( )()()0,()lim0( )()0 (xx )( )()0 0 xxfxfxfxfxxxfxfxxxfxfxxx0證:由于則所以在x 的某鄰域有 0 x0 x00

5、0( )0;( )0()xxfxxxfxf x從而,當時當時由第一充分條件可知,為f(x)的極大值(同理可證(2)2693(1)(1)1,3xxxx 3221例2 求f(x)=x -3x -9x+5的極值解一: f (x)=3x令f (x)=0,得x f (x)2: 693(1)(1)1,3( )66 ( 1)120 f(-1)=10 (3)120 f(3)=-22 xxxxfxxff 21解二 f (x)=3x令f (x)=0,得x函數(shù)有極大值函數(shù)有極小值二、最大值與最小值1.設f(x)在a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上必有最值求最值的方法：求求出f(x)在a,b內(nèi)的所有駐點和不可導點 (

6、i=1,2,n)求f(a),f(b),f( ),其中最大(小)的即為f(x) 在a,b上的最大(小)值。 f (x)ixix164 (2)(2)0,2,2(0)2,(2)14,( 1)5,(3)11 13(3)11(2)14xx xxffffff 423123例3 求y=x -8x +2在-1,3上的最值解: y =4x令y =0,得xxx所以函數(shù)在上的最大值為最小值為2f(x)在某區(qū)間內(nèi)可導且只有一個駐點，根據(jù)實際問題的性質(zhì)知f(x)的最大小值一定存在，則在駐點處取得最值。例4從一塊邊長為a的正方形鐵皮的四角上截去同樣大小的正方形，然后沿虛線把四邊折起來做成一個無蓋的盒子，問要截去多大的小方塊，可使盒子的容積最大？ 解：設小正方形的邊長為a盒子的容積2212812 0 ,()62VaaxxaaVxx 令舍去2 a(2 ) x(0, )2Vx ax函數(shù)在定義區(qū)間駐點唯一，由問題性質(zhì)知最大容積一定存在，所以，當正方形的邊長為 ，即從四角各截去一邊長為 的小正方形，可使盒子的容積最大例5：一張1.4米高的圖片掛在墻上，它的底邊高于觀察者的眼睛1.8米，問觀察者應站在據(jù)墻多遠處看圖才清楚，（即視角最大）？6a6a2222 x(0,+)-3.21.8= =0,x3.2x1