高等數(shù)學(xué)練習(xí)題(附答案)

1、 高等數(shù)學(xué)專業(yè) 年級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 一、判斷題. 將或×填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi).（每題2分，共20分）（ ）1. 收斂的數(shù)列必有界.（ ）2. 無(wú)窮大量與有界量之積是無(wú)窮大量.（ ）3. 閉區(qū)間上的間斷函數(shù)必?zé)o界.（ ）4. 單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是單調(diào)函數(shù).（ ）5. 若在點(diǎn)可導(dǎo)，則也在點(diǎn)可導(dǎo).（ ）6. 若連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)不可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)沒(méi)有切線.（ ）7. 若在上可積，則在上連續(xù).（ ）8. 若在（）處的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在（）處可微.（ ）9. 微分方程的含有任意常數(shù)的解是該微分方程的通解.（ ）10. 設(shè)偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且 , 則為的一個(gè)極小值.二、填空題.（每題2分

2、，共20分）1. 設(shè)，則 .2. 若，則 .3. 設(shè)單調(diào)可微函數(shù)的反函數(shù)為, 則 .4. 設(shè), 則 .5. 曲線在點(diǎn)切線的斜率為 .6. 設(shè)為可導(dǎo)函數(shù),則 .7. 若則 .8. 在0,4上的最大值為 .9. 廣義積分 .10. 設(shè)D為圓形區(qū)域 .三、計(jì)算題（每題5分，共40分）1. 計(jì)算.2. 求在（0，+）內(nèi)的導(dǎo)數(shù).3. 求不定積分.4. 計(jì)算定積分.5. 求函數(shù)的極值.6. 設(shè)平面區(qū)域D是由圍成，計(jì)算.7. 計(jì)算由曲線圍成的平面圖形在第一象限的面積.8. 求微分方程的通解.四、證明題（每題10分，共20分）1. 證明： .2. 設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，且證明：方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根.高等數(shù)

3、學(xué)參考答案一、判斷題. 將或×填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)（每題2分，共20分）1. ；2.× ；3.×； 4.× ；5.×； 6.× ；7.× ；8.× ；9. ；10.二、 填空題.（每題2分，共20分）1.； 2. 1； 3. 1/2； 4.； 5. 2/3 ； 6. 1 ； 7. ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.三、計(jì)算題（每題5分，共40分）1.解：因?yàn)?且 ，=0 由迫斂性定理知： =0 2.解：先求對(duì)數(shù) 3.解：原式= = =2 4.解：原式= = = = =4/5 5.解： 故 或 當(dāng) 時(shí)， 且

4、A= （0，0）為極大值點(diǎn) 且 當(dāng) 時(shí)， ， 無(wú)法判斷 6.解：D= = = = = = 7.解：令，；則， 8.解：令 ，知 由微分公式知： 四.證明題（每題10分，共20分）1.解：設(shè) =0 令 即：原式成立。 2.解： 上連續(xù)且 <0,>0故方程在上至少有一個(gè)實(shí)根. 又 即 在區(qū)間上單調(diào)遞增 在區(qū)間上有且僅有一個(gè)實(shí)根. 高等數(shù)學(xué)專業(yè) 學(xué)號(hào) 姓名 一、判斷題（對(duì)的打，錯(cuò)的打×；每題分，共分）1.在點(diǎn)處有定義是在點(diǎn)處連續(xù)的必要條件.2. 若在點(diǎn)不可導(dǎo)，則曲線在處一定沒(méi)有切線.3. 若在上可積，在上不可積，則在上必不可積.4. 方程和在空間直角坐標(biāo)系中分別表示三個(gè)坐標(biāo)軸和

5、一個(gè)點(diǎn).5. 設(shè)是一階線性非齊次微分方程的一個(gè)特解，是其所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，則為一階線性微分方程的通解.二、填空題（每題分，共分）1. 設(shè)則 .2. 設(shè)，當(dāng) 時(shí)，在點(diǎn)連續(xù).3. 設(shè)，則 .4. 已知在處可導(dǎo)，且，則 . 5. 若，并且，則.6. 若在點(diǎn)左連續(xù)，且 ，則與大小比較為 7. 若，則；.8. 設(shè)，則.9. 設(shè)，則.10. 累次積分化為極坐標(biāo)下的累次積分為 .三、計(jì)算題（前題每題分，后兩題每題分，共分）1. ; 2. 設(shè)，求; 3. ;4. ; 5. 設(shè), 求.6. 求由方程所確定的函數(shù)的微分.7. 設(shè)平面區(qū)域是由圍成，計(jì)算. 8. 求方程在初始條件下的特解. 四、（分）已知在處有

6、極值，試確定系數(shù)、，并求出所有的極大值與極小值.五、應(yīng)用題（每題分，共分）1. 一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比. 已知當(dāng)速度為時(shí)，燃料費(fèi)為每小時(shí)元，而其它與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用為每小時(shí)元. 問(wèn)輪船的速度為多少時(shí), 每航行所消耗的費(fèi)用最??？2. 過(guò)點(diǎn)向曲線作切線，求：（1）切線與曲線所圍成圖形的面積；（2）圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積. 六、證明題（分）設(shè)函數(shù)在上的二階導(dǎo)數(shù)存在，且, . 證明在上單調(diào)增加.高等數(shù)學(xué)參考答案一、判斷題 1.； 2.×； 3. ； 4.× ； 5.二、填空題1. 36 ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6.；7. ； 8. ；

7、 9. ； 10.三、計(jì)算題1. 原式 2. 3原式= 4設(shè) 則 原式= 5 6兩邊同時(shí)微分得： 即 故 （本題求出導(dǎo)數(shù)后，用解出結(jié)果也可）7 8原方程可化為 通解為 代入通解得 故所求特解為： 四、解： 因?yàn)樵谔幱袠O值，所以必為駐點(diǎn)故 又 解得： 于是 由 得 ，從而 ， 在處有極小值 ，在處有極大值 五、1.解：設(shè)船速為，依題意每航行的耗費(fèi)為 又 時(shí)， 故得， 所以有， 令 ， 得駐點(diǎn) 由極值第一充分條件檢驗(yàn)得是極小值點(diǎn).由于在上該函數(shù)處處可導(dǎo)，且只有唯一的極值點(diǎn)，當(dāng)它為極小值點(diǎn)時(shí)必為最小值點(diǎn)，所以求得船速為時(shí)，每航行的耗費(fèi)最少，其值為（元） 2.解：（1）設(shè)切線與拋物線交點(diǎn)為，則切線的斜

8、率為，又因?yàn)樯系那芯€斜率滿足，在上即有所以，即 又因?yàn)闈M足，解方程組 得 所以切線方程為 則所圍成圖形的面積為： （2）圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為： 六、證： 在上，對(duì)應(yīng)用拉格朗日中值定理，則存在一點(diǎn)，使得 代入上式得 由假設(shè)知為增函數(shù)，又，則,于是,從而，故在內(nèi)單調(diào)增加. 高等數(shù)學(xué)試卷專業(yè) 學(xué)號(hào) 姓名 一、填空題（每小題1分，共10分）1函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)。 2函數(shù) 上點(diǎn)（ ， ）處的切線方程是_。 3設(shè)在可導(dǎo)且，則 _。 4設(shè)曲線過(guò)，且其上任意點(diǎn)的切線斜率為，則該曲線的方程是_。 5_。 _。 7設(shè)，則_。 8累次積分化為極坐標(biāo)下的累次積分為_(kāi)。 9微分方程的階數(shù)為_(kāi)。 10設(shè)級(jí)數(shù) 發(fā)散

9、，則級(jí)數(shù) _。二、單項(xiàng)選擇題（在每小題的四個(gè)備選答案中，選出一個(gè)正確的答案，將其碼寫在題干的（ ）內(nèi)，（110每小題1分，1117每小題2分，共24分）1設(shè)函數(shù) ，則 （ ） 2 時(shí)， 是 （ ） 無(wú)窮大量 無(wú)窮小量 有界變量 無(wú)界變量 3下列說(shuō)法正確的是 （ ） 若在 連續(xù)， 則在可導(dǎo) 若在不可導(dǎo)，則在不連續(xù) 若在 不可微，則在極限不存在 若在 不連續(xù)，則在不可導(dǎo) 4若在內(nèi)恒有，則在內(nèi)曲線弧為 （ ）. 上升的凸弧 下降的凸弧 上升的凹弧 下降的凹弧 5設(shè)，則 （ ） 為常數(shù) 為常數(shù) 6 （ ） 7方程在空間表示的圖形是 （ ） 平行于面的平面 平行于軸的平面 過(guò)軸的平面 直線8設(shè)，則 （

10、） 9設(shè)，且 ，則級(jí)數(shù) （ ） 在時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散 在時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散 在時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散 在時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散10方程是 （ ） 一階線性非齊次微分方程 齊次微分方程 可分離變量的微分方程 二階微分方程11下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是 （ ） 12設(shè)在可導(dǎo)，則至少有一點(diǎn)使 （ ） 13設(shè)在 的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是在 可導(dǎo)的 （ ） 充分必要的條件 必要非充分的條件 必要且充分的條件 既非必要又非充分的條件14設(shè) ，則，則 （ ） 15過(guò)點(diǎn)（，）且切線斜率為 的曲線方程為 （ ） 4 4 4 16設(shè)冪級(jí)數(shù) 在（）收斂， 則 在 （ ） 絕對(duì)收斂 條件收斂 發(fā)散 收斂性與有關(guān) 17設(shè)域由所圍成，則 （ ） ；

11、； ； . 三、計(jì)算題（13每小題5分，49每小題6分，共51分） 設(shè) 求 . 求 . 計(jì)算 . 設(shè)，求 . 求過(guò)點(diǎn) （，），（，）的直線方程. 設(shè) ，求 . 計(jì)算. 求微分方程 的 通解 . 將 展成的冪級(jí)數(shù). 四、應(yīng)用和證明題（共15分） （分）設(shè)一質(zhì)量為的物體從高空自由落下，空氣阻力正比于速度（ 比例常數(shù)為 ）求速度與時(shí)間的關(guān)系。（分）借助于函數(shù)的單調(diào)性證明：當(dāng)時(shí)， 。高等數(shù)學(xué)參考答案一、填空題（每小題1分，共10分） （，） 2 （） 三階 發(fā)散二、單項(xiàng)選擇題（在每小題的四個(gè)備選答案中，選出一個(gè)正確的答案，將其碼寫在題干的（ ）內(nèi)，110每小題1分，1117每小題2分，共24分） 1

12、2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17三、計(jì)算題（13每小題5分，49每小題6分，共51分） 解： 解： 原式 解： 原式 - 解：因?yàn)?解：所求直線的方向數(shù)為， 所求直線方程為 解： 解：原積分 解：兩邊同除以 得 兩邊積分得 亦即所求通解為 解：分解，得 （ 且 ） （ ） 四、應(yīng)用和證明題（共分） 解：設(shè)速度為，則滿足 解方程得 由t=0定出，得 證：令 則在區(qū)間，連續(xù) 而且當(dāng)時(shí)， 因此在，單調(diào)增加 從而當(dāng)時(shí)， 即當(dāng)時(shí)， 高等數(shù)學(xué)專業(yè) 學(xué)號(hào) 姓名 一、判斷正誤（每題2分，共20分）1. 兩個(gè)無(wú)窮大量之和必定是無(wú)窮大量.2. 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)必定

13、為連續(xù)函數(shù).3. 在點(diǎn)連續(xù)，則在點(diǎn)必定可導(dǎo).4. 若點(diǎn)為的極值點(diǎn)，則必有.5. 初等函數(shù)在其定義域區(qū)間內(nèi)必定存在原函數(shù).6. 方程表示一個(gè)圓.7. 若在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)連續(xù).8. 是二階微分方程.9. .10. 若為連續(xù)函數(shù)，則必定可導(dǎo).二、填空題（每題4分，共20分）. . . 設(shè)，且，則. ，則.三、計(jì)算題與證明題（共計(jì)60分）.，（5分）； ，（5分）。. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（10分）. 若在上.證明：在區(qū)間和上單調(diào)增加.（10分）. 對(duì)物體長(zhǎng)度進(jìn)行了次測(cè)量，得到個(gè)數(shù)。現(xiàn)在要確定一個(gè)量，使之與測(cè)得的數(shù)值之差的平方和最小.應(yīng)該是多少？（10分） . 計(jì)算.（5分） 6. 由曲線與兩直線所圍成的平

14、面圖形的面積是多少.（5分）. 求微分方程滿足條件的特解。（5分）. 計(jì)算二重積分是由圓及圍成的區(qū)域.（5分）高等數(shù)學(xué)參考答案一、判斷正誤（每題2分，共20分）1-5 ， ， ， ， . 6-10. ， ， ， ， .二、填空題（每題4分，共20分） ； ； ； ； .三、計(jì)算題與證明題。（共計(jì)60分）.= = = = 2. 令 則 同理 3. = 令 則 則 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 故命題成立。 4.令 則 令 5. = = 6. 7. 方程變形為 而 = 初始條件： 8、 高等數(shù)學(xué)專業(yè) 學(xué)號(hào) 姓名 一、判斷（每小題 2 分，共 20 分）1. f(x)在點(diǎn)x處有定義是f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)的必要條件.

15、( )2. 無(wú)窮小量與有界變量之積為無(wú)窮小量. ( )3. y=f(x)在x處可導(dǎo),則y=|f(x)|在x處也可導(dǎo). ( )4. 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)必連續(xù). ( )5. 可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)一定是f(x) 的駐點(diǎn). ( )6. 對(duì)任意常數(shù)k,有=k. ( )7. 若f(x)在a,b上可積,則f(x)在a,b上有界. ( )8. 若f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)且區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱,則當(dāng)f(x,y) 為關(guān)于x的奇函數(shù)時(shí),=0. ( )9. =-2x-e的通解中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù). ( )10. 若z=f(x,y)在P的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在,則z=f(x,y)在P連續(xù). ( )二、填空（每空 2

16、分，共20 分）1. xsin+sinx+()= .2. 函數(shù)f(x)=x在0,3上滿足羅爾定理的條件,定理中的數(shù)值= .3. 設(shè)f(x)= 當(dāng)a= 時(shí),f(x)在x=0處連續(xù).4. 設(shè)z=e ,則dz| (0,0)= .5. 函數(shù)f(x)=e-x-1在 內(nèi)單調(diào)增加;在 內(nèi)單調(diào)減少.6. 函數(shù)滿足條件 時(shí), 這函數(shù)沒(méi)有極值.7.dx = 其中a,b為常數(shù). 8. (x)=1且,則= .9.若I=dxdy交換積分次序后得 .三、計(jì)算（每小題 5 分,共 40 分）1. 求(-) ； 2. +=2,求dy；3. 求； 4. 求 ； 5. 求；6. 設(shè)z=ln(x+y) 求,；7. 計(jì)算 I=.其中D是由圓x+y=4圍成的區(qū)域；8. 求微分方程-ydx+(x+y)dy=0的通解.四、應(yīng)用題(每題7分,共14分)1. 某車間靠墻壁要蓋一間長(zhǎng)方形小屋,現(xiàn)有存磚只夠砌20米長(zhǎng)的墻壁,問(wèn)應(yīng)圍成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng),寬各為多少才能使這間小屋面積最大.2. 求由y=,x=1,x=2與x軸所圍成的圖形的面積及該圖繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積.五、證明(本題6分)證明:當(dāng)x0時(shí),不等式1+成立.高等數(shù)學(xué)參考答案一、判斷正誤（每