機(jī)械振動拉格朗日方程要點(diǎn)

1、振動理論及其應(yīng)用第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.1 自由度和廣義坐標(biāo)5.2 虛位移原理5.3 動能和勢能5.4 D'Alembert原理5.5 Lagrange方程5.6 哈密爾頓原理第5章 分析力學(xué)基礎(chǔ) 5.1自由度和廣義坐標(biāo)分析力學(xué)分析力學(xué)是利用分析方法研究質(zhì)點(diǎn)系平衡和運(yùn)動問題的工具. 它從能量的觀點(diǎn)，統(tǒng)一建立起系統(tǒng)動能、勢能和功之間的標(biāo)量關(guān) 系，是研究料動力學(xué)問題的一個普遍、簡單又統(tǒng)一的方法.5.1自由度和廣義坐標(biāo)自由度完全確定系統(tǒng)在任何瞬時位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)稱為自由度.廣義坐標(biāo)用某一組獨(dú)立坐標(biāo)（參數(shù)）就能完全確定系統(tǒng)在任何瞬時的 位置，則這組坐標(biāo)稱為廣義坐標(biāo).一般地，建立振動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模

2、型時廣義坐標(biāo)的數(shù)目 與自由度相等.約束對質(zhì)點(diǎn)在空間的運(yùn)動所加的限制稱為約束.11回回第5聿 分析力學(xué)基礎(chǔ) 5.1自由度和廣義坐標(biāo)質(zhì)點(diǎn)的自由度質(zhì)點(diǎn)在空間需要3個獨(dú)立坐標(biāo)才能確定它在任何瞬時的位置，因此， 它的自由度為3. 個毫不相干、無任何約束的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)系自由度為 3H.剛體的自由度一個剛體在空間需要6個獨(dú)立坐標(biāo)才能確定其在任何瞬時的位JL, 因此它的自由度為6/個無約束剛體組成的系統(tǒng)自由度為61.振動系統(tǒng)的自由度振動系統(tǒng)力學(xué)模型中若有個質(zhì)點(diǎn)和帆個剛體，那么它的自由度DCF 必定滿足下列方程：DOF = 3ji+6/m-（約束方程數(shù)）回回第5章 分析力學(xué)基礎(chǔ)2.1自由度和廣義坐標(biāo)例5.1圖（

3、H）中，質(zhì)量用一'Z根彈簧懸掛.因（b）中質(zhì)o o_量用一根長度為八變形可忽/'/個p/略的懸絲懸掛.分析系統(tǒng)的“/ 飛：；用x/一中自由度，井建立系統(tǒng)的廣義（a）（b）坐標(biāo).解 對圖（a）所示的系統(tǒng)，盡管質(zhì)量用彈簧懸掛，但彈簧能自由地伸長， 因此它的約束方程為零，自由度為3.對圖（b）所示的系統(tǒng)，懸掛質(zhì)量的懸絲不可伸長，因此在空間的位重必 須滿足質(zhì)量再懸掛點(diǎn)的距離保持不變的條件，即滿足下列方程約束方程：這樣，坐標(biāo)x、j和z就再不獨(dú)立.若用球面坐標(biāo)廠、男和尹來表示, 必須滿足條件= / ,只要用3和夕兩個坐標(biāo)就能完全確定質(zhì)量在任何瞬 時的位JL,即廣義坐標(biāo)數(shù)為2,自由度為2.第

4、S章 分析力學(xué)基岫 5.1自由度和廣義坐標(biāo)例5.2右圖表示由剛性桿/ 和質(zhì)量/w 及剛性桿/ 2 和質(zhì)步62組成的兩個單把在處用較能連接成. 雙探，并通過校鏈。與固定點(diǎn)連接，使雙擺只能 在平面內(nèi)狂動，分析系統(tǒng)的自由度，并建立系統(tǒng) 的廣義坐標(biāo).解 由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動，因此，ZI = 0, Z 而雙探的長度人和/ 2不變，即（出一七+（為一必=/2利用自由度DOF計(jì)算的公式，可得到雙接的自由度為DOF = 3X2 4 = 2設(shè)剛性桿乙與X軸的夾角為氏，剛性桿/ z與工軸的夾角為,方向如 困所示，那么用和可以完全確定雙擺在任何語時的位置，氏和火可以作 為雙擺的廣義坐標(biāo).第S章 分析力學(xué)基岫 5

5、.1自由度和廣義坐標(biāo)完整約束當(dāng)約束方程本身或約束方程通過積分后可以用下式所示的形式表示時, 稱為完整約束.顯然，例5. 1和例5. 2的約束都是完整約束.fi （X, y, z, o = o定常約束當(dāng)約束方程與時間，無關(guān)時，稱為定常約束.例5. 1和例5. 2的約束都是定 常約束.不完整約束當(dāng)約束方程含有不能積分的速度項(xiàng)時，系統(tǒng)的約束稱為不完整約束.具 有不完整約束的系統(tǒng)，系統(tǒng)的自由度不等于廣義坐標(biāo)數(shù)，自由度數(shù)小于廣 義坐標(biāo)數(shù).回回第坤 分析力學(xué)基岫 5.1自由度和廣義坐標(biāo)不完整約束義坐標(biāo)數(shù).例5.3剛體A通過三個點(diǎn)放置因此需要三個廣義坐標(biāo)（X4和例描述其當(dāng)約束方程含有不能積分的速度項(xiàng)時，系統(tǒng)

6、的約束稱為不完整約束.具 有不完整約束的系統(tǒng)，系統(tǒng)的自由度不等于廣義坐標(biāo)數(shù)，自由度數(shù)小于廣在xoy平面上，其中的兩個接 觸點(diǎn)可在平面上作無摩擦自由 滑動，而。點(diǎn)有一個刀片，使 其只能沿刀片方向移動，分析 冰刀系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和自由度.解由于剛體4在X”平面中移動, 在任意時刻的位置.而剛體A只能沿刀片方向移動，因此有約束方程：，= tanH 自由度數(shù)為2,小于廣義坐標(biāo)數(shù).回回X第5章分析力學(xué)基岫 5.2虛位移原理虛位移所謂非自由質(zhì)點(diǎn)系的虛位移是指在某一固定時刻，約束所允許發(fā)生的 坐標(biāo)微小改變量.虛位移只是約束允許的可能位移，并不一定是系統(tǒng)的真實(shí)位移.它 與時間£的變化無關(guān).虛位移用6表

7、示，其實(shí)微小位移用d表示.虛功力在虛位移上的元功稱為虛功.力的分類在系統(tǒng)運(yùn)動或平衡中處于主導(dǎo)地位.作用于系統(tǒng)的力可分為兩類：約束反力和主動力.理想約策束作用于系統(tǒng)的加在虛位移上不做功的約束稱為理想約束.虛位移原理受定常理想約束的質(zhì)點(diǎn)系在某一位直平衡的必要與充分條件是：作用于質(zhì)點(diǎn)系所有主動力在該位置處的任何虛位移中的虛功之和等于零。虛位移原理第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.2虛位移原理受定常理想約束的質(zhì)點(diǎn)系在某一位3L平衡的必要與充分條件是： 作用于質(zhì)點(diǎn)系所有主動力在垓位置處的任何虛位移中的虛功之和等于零。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：方卬=工尸-Sr = 0其中，片為作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動力， 以/為虛位移.上式也稱為虛

8、功方程.虛位移原理的另一種表述若系統(tǒng)有個自由度，任意一點(diǎn)的坐標(biāo)矢量可以用個廣義坐標(biāo)和時間 I來表示，即：,=工(“，外,，qn, t ) 由于虛位移與時間無關(guān)，則有：代入虛功方程，得：5卬=之尸之二54回回對換求和的次序，得:第5章分析力學(xué)基礎(chǔ) 5.2虛位移原理f-i 七一 c q£回回村=4力4人 一臼 a qj其中，2(Jt = l, 2,，)為與廣義坐標(biāo)為對應(yīng)的廣義力. 占 6 /這樣，虛功方程可以寫成：由于虛位移是約束所允許的任意可能位移，因此可任意選擇，當(dāng)上式成 立時，有：2=。(k = 1, 2,，n)虛位移原理可表述為：在理想約束情況下，個自由度的系統(tǒng)達(dá)到平衡 的充要條

9、件是個廣義力都等于零.動能第5章分析力學(xué)基礎(chǔ) 53動能和勢能設(shè)質(zhì)量為，%.的質(zhì)點(diǎn)在某位置時的速度是r 則質(zhì)點(diǎn)在此位置的動能為白dr(若振動系統(tǒng)由個質(zhì)點(diǎn)組成，則系統(tǒng)的動能為V5 fs乙1-1當(dāng)系統(tǒng)具有定常約束時，各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)只是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，而不顯 含時間乙系統(tǒng)的動能可寫成：2 JGq：人會 dqf 1改變求和的次序，得：用；£力傳會.票儲,I，" 。q 1 。q ,第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)53動能和勢能:1幾其中，和q為廣義速度，匕，為廣義質(zhì)量系數(shù)，%=之2, '-6% 8qf顯然有，, =，.當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近作小振動時可近似地取其在 平衡位苴附近臺勞級數(shù)展開的第一

10、項(xiàng)，即將，灰聲為與廣義坐標(biāo)無關(guān)的常數(shù).引入廣義質(zhì)量矩陣ML并引入廣義速度列陣 4 ,則動能可表示為 V=LqM 顯然，動能是正定的，廣義質(zhì)量矩陣也是正定的.勢力場和勢力質(zhì)點(diǎn)從力場中某一位置運(yùn)動到另一位五時，作用力的功與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)歷的路 拄無關(guān)，而只與其起點(diǎn)及終點(diǎn)位置有關(guān)，這就是所謂的勢力場.重力場、 萬有引力場和彈性力場都是勢力場.在勢力場中質(zhì)點(diǎn)所受的力稱為勢力. 勢能所謂勢能是把質(zhì)點(diǎn)從當(dāng)前位置移至勢能零點(diǎn)的過程中勢力所作的功。根據(jù)勢 能的定義，掙別需要強(qiáng)調(diào)的是：勢能大小與規(guī)定的勢能零點(diǎn)位五有關(guān).第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)53動能和勢能勢能在線性系統(tǒng)中，勢能是廣義坐標(biāo)的二次函數(shù).可用矩陣形式表示成：U =

11、 qTKq其中，K為剛度矩陣.一般地，剛度矩陣是對稱、半正定矩陣.J 例5.4右因表示由剛性桿/1和質(zhì)量小及剛性桿，2和質(zhì)量，2二個二, 組成的兩個單狂在。處用較鏈連接成雙整，并通過校鏈。,，1與固定點(diǎn)連接，使雙擺只能在平面內(nèi)探動.求系統(tǒng)作微損 z LX* 動時的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣.|父】解由于雙枉只能在平面內(nèi)推動，可取火和。2為廣義坐“X2標(biāo).并以平衡位五%。20作為勢能零點(diǎn).J 胃號啊則系統(tǒng)的勢能為'U =71 g / 1 ( I - cosg )+62 g 1/ ( 1 - COS，)+ /? ( I - COS 2 2 ) J微振動時，系統(tǒng)的勢能在平衡位JL附近展開并保留廣義坐

12、標(biāo)的二次項(xiàng)：U =二(m 1 + m 2 ) g I、4- - rn 2 g 12 6打第5章分析力學(xué)基岫 53動能和勢能系統(tǒng)的動能為m. /.2 <9.2+-zn2/.2+ 2/、4 2 cos 一 ,)I I2 X1IJ. XI X I X、/I J(my0? +)%" 、0、cos (0.y ，、1Lz I 1Z 1 Z 1 Z、/1 z2 Z L通常，系數(shù)，一般不是常數(shù)，這里， 12和， 21是廣義坐標(biāo)的函數(shù)Z 2 = ' 2 I = g 7 2 / I / 2 COS ( 0 2 - 0 1)當(dāng)系統(tǒng)在平衡位正附近作小運(yùn)動時，系數(shù)，取其在平衡位置附近臺勞級 數(shù)的

13、第一項(xiàng)：/n12 =m21 m2ll2則系統(tǒng)的動能可寫成V=-(m. +%)彳 J：+/ / 0。21/11/1414乙 /Cff回回第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)53動能和勢能1 , 1U = - ( m)+ tn2 ) g 乙 £+ 弓 rn2 g l2 3；V = ("z +，)/101 + nt -> I / o “ 0 9 + m、17 0 7將動能和勢能寫成矩陣形式可以得到剛度矩陣和質(zhì)量矩陣：勺=啊 +，n? ） g / 0。 m 2 g 12M =(啊+啊)/;23Cffl回回第5 分析力學(xué)基礎(chǔ)5.4 D'Alembert原理質(zhì)系D'Alembert

14、原理作用在質(zhì)系上的外力(主動力和約束反力)和慣性力構(gòu)成平衡力系.其數(shù)學(xué)衣達(dá)式為：Zf, -mfi =0 (z = l, 2,p)其中，R,為主動力產(chǎn)，和約束反力/,的向量和。應(yīng)用D'Alembert原理可將虛位移原理推廣到動力學(xué)問題.上式左邊可看成質(zhì) 點(diǎn)上的合力，計(jì)算整個質(zhì)系的虛功，有b W = £ (五,+ / - S £ ) b。= 0在理想約束早，約束反力虛功之和為零，因此有6 w = N（匕-也 E） b q =。動力學(xué)普遍方程作用在理想約束質(zhì)系上所有的主動力和慣性力任意瞬時在虛位移上的虛功之 和等于零.第5章分析力學(xué)基礎(chǔ) 5.5 Lagrange方程Lag

15、range 方程拉格朗日方程利用廣義坐標(biāo)來描述非自由質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動，這組方程以系 統(tǒng)的動能、勢能、耗散函數(shù)和廣義力的形式出現(xiàn)，具有以下形式：d （dLy dL dD _. .'、dtdqj dqi dq.,巴式中：，為Laurange函數(shù)，它是系統(tǒng)動能丫和勢能U之羞，L=VU .而 1 %和%（： = 12，）是系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和廣義速度；。=彳2 2。血2 i = | / = 1是耗散函數(shù)，其中c叮為系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)4,方向有單位廣義速度時，在廣義 坐標(biāo)q,方向產(chǎn)生的阻尼力；。，是在廣義坐標(biāo)方向”,的廣義力，Qi=dW/'dqi , 其中w是除阻尼力外的其他非保守力所作的功p/i4

16、和0/4分別是對廣義 坐標(biāo)和對廣義速度求偏導(dǎo)數(shù)，d/dz是對時間求一次導(dǎo)數(shù).Lagrange方程為非自由質(zhì)點(diǎn)系的動力學(xué)問題提供了一個普遍、簡單又 統(tǒng)一的方法.第坤分析力學(xué)基礎(chǔ) 5.5 Lagrange方程例5.5右圖表示由剛性桿/ I和質(zhì)量， I及剛性桿乙和質(zhì)量2 組成的兩個單擺在O'處用較鏈連接成雙擇，并通過較鏈O 與固定點(diǎn)連接，便雙探只能在平面內(nèi)推動.求系統(tǒng)作微振 動時的振動微分方程.解 由于雙探只能在平面內(nèi)把動，可取名和也為廣義坐 標(biāo).并以平衡位JL%。作為勢能零點(diǎn).由例5.4,系統(tǒng)的勢能與動能分別為：U =（ 八 +，2 ） g / （ 1 CQS0 ） +，2 g /?（ 1

17、-COS0?）V = （m, +，、）/： “2 +，）/ /、“ 0、cos（0i 0. ）1I I4.41，、，I/a l .= /n2 /, l2 0t02sin （02 一，）-（ ml +m2 ） g /, sin 0X eq , '= mJ、“ 我 sin （ 4 一8、）一 m, g /, sin 6、 肛-第S章分析力學(xué)基礎(chǔ) 5.5 Lagrange方程例 5.5 U =（嗎 + 飛）g I （1 cos/ ） + % g %（ 1 cos，2）=，（孫 +m2），;A： + 加 2 /。008（。- Q ） + -w-» /; 0;2、1I 1Z 1 X 1

18、 X 、/I z 2 X Z La l2 .r- = （m 1 + h）/。 + mn /1 Lcos （6, -）a 0、3 T.=m Ji L 8、cos（。、一 /） + /*/;»d 3 /c A = （m, + z ） /，+ z/1 I、0、cos （ M 。）dtd dL（6?-） 6?1 ） /n 7 1 I-> 0-）sin （2 。1）=m 2 I 12 仇 cos（ ff2 a）+ % / ；（氏4）叫/24新（出鄉(xiāng)）亙回第S章分析力學(xué)基礎(chǔ) 5.5 Lagrange方程例5.5由于系統(tǒng)無阻尼、無外力，因此只要把前面得到的項(xiàng)代入方程相應(yīng)的位置就可以得到系統(tǒng)的

19、振動微分方程d dLd （dLyeq=0dO2d a 1,r =（? + "2 ） / -。+ ？ 3 L " COS（0、- 0、）dt dOx2,2 221dL-（02- 0）1712l1 1202 sin （02 - 81）/, 1: 020l sin （么一億）-（皿 +"入）g /. sin，（八 +叫）/；, +叫/| /2久8§（3 - 6 ）-川二 L /；sin（%- 4 ）+（叫 + 叫）g/ sin。 =0第5章分析力學(xué)基礎(chǔ) 5.5 Lagrange方程0UC2L大八一，大丁丁 = "4% cos。- 0 ） + &quo

20、t;”一 （&2 -，），2，1，2 億 sin （，2 -）C）/三k=m J3。1 / sin （。- / ）一 % g，2 sin % my I ly 0 cos（仇一。）+W /：。,+，、/ /,。sin （"一。）+，、g/, sin。=0一般情況下，雙狂的振動方程是非線性方程，只有當(dāng)雙握作微振動時， 將sin夕。，cos， 1代入，并只保留廣義位移和廣義速度的線性項(xiàng)時 系統(tǒng)的振動微分方程才是線性的.回回第0分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5 Lagrange方程例5.5（Wj +m2）/j2 01 +m2 /j 12 02 cos（02 _二 0； sin（02 -圻）+（叫+

21、叱）8/| sin4 =0叫 /，. cos（*）+mJ：。十 mJ3 0； sin （02 - 0J+i2 g l2 sin 62=0一般情況下，雙擺的振動方程是非線性方程，只有當(dāng)雙擺作很振動 時，將sin夕、氏cosdl代入，并只保留廣義位移和廣義速度的我性 項(xiàng)時系統(tǒng)的推動微分方程才是線性的.（叫 + 叫）/：+/n2/| /2 & +（嗎 +嗎）？/d=0川、，/吊 +/%，；“ + ?、g/、，、=0寫成矩陣的形式其他非保守力所做的功W = F(t) x亙回第5章分析力學(xué)基礎(chǔ) 5.5 Lagrange方程例5.6圖示系統(tǒng)中質(zhì)量”只能沿水平 方向移動，一擺長為質(zhì)量為，的單擺在 。

22、點(diǎn)與質(zhì)量M校接，其他參數(shù)如圖 試列出系貌作微振動的方程.解建立廣義坐標(biāo)工和，坐標(biāo)X的原點(diǎn)在系統(tǒng)掙平 衡位置，方向向右為正.伊為推桿轉(zhuǎn)角，逆時針 方向?yàn)檎?，推桿處于鉛垂位正時為零.系統(tǒng)靜 平衡時勢能為零.質(zhì)量M的速度：X質(zhì)量，的速度:(3+ / 0 cos2+ (/ Osin0)2系統(tǒng)的動能 V = -M x2 +-m(x2 +11 +2xlOcosO) 2 2 1系統(tǒng)的勢能 U = ni g I ( cos 6?) + A:工一Lagrange函數(shù) L = V -U耗散函數(shù)。='ci，第5章分析力學(xué)基礎(chǔ)5.5 Lagrange方程V = -M x2 +-m(x2 + / 2 )2 + 23/cosO)221 1 0U