微積分教學(xué)資料陳軍杰隱函數(shù)對(duì)數(shù)參數(shù)式求導(dǎo)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1微積分教學(xué)資料陳軍杰隱函數(shù)對(duì)數(shù)微積分教學(xué)資料陳軍杰隱函數(shù)對(duì)數(shù)(du sh)參數(shù)式求導(dǎo)參數(shù)式求導(dǎo)第一頁(yè)，共34頁(yè)。)(0),(xyyyxF 確定了一元隱函數(shù)確定了一元隱函數(shù)設(shè)設(shè)得得代入代入將將0),()( yxFxyy0)(, xyxFu0 dxdu則則兩邊(lingbin)對(duì) x 求導(dǎo)，當(dāng)遇到 y 的函數(shù) f(y)時(shí))(yfdxd要求的是要求的是)(yfz 記記xyzdxdydydzdxdz dxdyyf )(第1頁(yè)/共33頁(yè)第二頁(yè)，共34頁(yè)。將求出的這些(zhxi)導(dǎo)數(shù)代入0 dxdu得到關(guān)于dxdy的代數(shù)方程，即即為為所所求求解解得得),(yxgdxdy 至于隱函數(shù)(hnsh)求二

2、階導(dǎo)數(shù)，與上同理求導(dǎo)求導(dǎo)兩邊再對(duì)兩邊再對(duì)在在xyxgdxdy),( ),(22yyxGdxyd 代入代入再將再將),(yxgdxdy 第2頁(yè)/共33頁(yè)第三頁(yè)，共34頁(yè)。例1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解,求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì)x0 dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 第3頁(yè)/共33頁(yè)第四頁(yè)，共34頁(yè)。例2.,)23,23(,333線通過原點(diǎn)線通過原點(diǎn)在該點(diǎn)的法在該點(diǎn)的法并證明曲線并證明曲線的切線方程的切線方程點(diǎn)點(diǎn)上上求過

3、求過的方程為的方程為設(shè)曲線設(shè)曲線CCxyyxC 解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線(qixin)方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為, xy 即即顯然(xinrn)通過原點(diǎn).第4頁(yè)/共33頁(yè)第五頁(yè)，共34頁(yè)。例3.)1 , 0(, 144處的值處的值在點(diǎn)在點(diǎn)求求設(shè)設(shè)yyxyx 解求導(dǎo)得求導(dǎo)得方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊再對(duì)兩邊再對(duì)將方程將方程x)1(04)(122123222 yyyy

4、yxyx, 1, 0 yx代代入入得得4110 yxy.16110 yxy第5頁(yè)/共33頁(yè)第六頁(yè)，共34頁(yè)。補(bǔ)證反函數(shù)的求導(dǎo)法則(fz)為其反函數(shù)為其反函數(shù)為直接函數(shù)，為直接函數(shù)，設(shè)設(shè))()(xfyyx 隱隱函函數(shù)數(shù)確確定定的的一一個(gè)個(gè)可可視視為為由由方方程程0)()( yxxfy 由隱函數(shù)的微分(wi fn)法則求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊對(duì)兩邊對(duì)方程方程xyx)( dxdyy )(1 )(1ydxdy 第6頁(yè)/共33頁(yè)第七頁(yè)，共34頁(yè)。例42222,lnarctandxyddxdyyxxy求求設(shè)設(shè) 解求導(dǎo)得求導(dǎo)得方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x)(11122222 yxyxxyxy222222222221yxy

5、yxyxxyxyyxx yyxyxy yxyxdxdy 第7頁(yè)/共33頁(yè)第八頁(yè)，共34頁(yè)。 yxyxdxddxyd222)()1)()(1(yxyyxyxy 2)(22yxyyx 3)()()(2yxyxyyxx 322)()(2yxyx 例5 求證拋物線ayx 上任一點(diǎn)的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和等于a第8頁(yè)/共33頁(yè)第九頁(yè)，共34頁(yè)。證求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊對(duì)兩邊對(duì)方程方程xayx 02121 dxdyyxxydxdy 故曲線上任一點(diǎn)),(00yx處切線的斜率為0 xxdxdyk 00 xy 切線(qixin)方程為)(0000 xxxyyy 000000 xyyxxyyx 第9頁(yè)/共33頁(yè)第十

6、頁(yè)，共34頁(yè)。000000 xyyxxyyx )(0000yxyx 00yxa 100 yayxax故在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為)(0000yxayaxa a 二、對(duì)數(shù)(du sh)求導(dǎo)法 有時(shí)會(huì)遇到這樣的情形(qng xing)，即雖然給出的是顯函數(shù)但直接求導(dǎo)有困難或很麻煩第10頁(yè)/共33頁(yè)第十一頁(yè)，共34頁(yè)。觀察(gunch)函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法(fngf):先在方程兩邊(lingbin)取對(duì)數(shù)（或先取絕對(duì)值再取對(duì)數(shù)）, 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).目的是利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)簡(jiǎn)化求導(dǎo)運(yùn)算。-對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍:.)()(的情形的情形開方和冪指函數(shù)開方和冪指

7、函數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘、乘方、多個(gè)函數(shù)相乘、乘方、xvxu例632(1)1,.(4)xxxyyxe求解等式兩邊取對(duì)數(shù)得第11頁(yè)/共33頁(yè)第十二頁(yè)，共34頁(yè)。xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)x142)1(3111 xxxyy32(1)11121(4)13(1)4xxxyxexxx例7 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求)4)(3()2)(1( xxxxy解這函數(shù)(hnsh)的定義域 1, 32, 4 xxx第12頁(yè)/共33頁(yè)第十三頁(yè)，共34頁(yè)。4 x若若兩邊(lingbin)取對(duì)數(shù)得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy兩邊(lingbin)對(duì)

8、x 求導(dǎo)得41312111211 xxxxyy313121112 xxxxyy1 x若若)4)(3()2)(1(xxxxy 兩邊(lingbin)取對(duì)數(shù)得)4ln()3ln()2ln()1ln(21lnxxxxy 第13頁(yè)/共33頁(yè)第十四頁(yè)，共34頁(yè)。兩邊(lingbin)對(duì) x 求導(dǎo)得41312111211xxxxyy 313121112 xxxxyy同理32 x若若313121112 xxxxyy例8dxdyyxxy求求設(shè)設(shè) 解兩邊(lingbin)取對(duì)數(shù)得第14頁(yè)/共33頁(yè)第十五頁(yè)，共34頁(yè)。yxxylnln 兩邊(lingbin)對(duì) x 求導(dǎo)得yyxyxyxy 1ln1ln22lnln

9、xxxyyyxyy 例9dxdyaxaxaxynanaa求求設(shè)設(shè))()()(2121 解兩邊(lingbin)取對(duì)數(shù)得)ln()ln()ln(ln2211nnaxaaxaaxay 兩邊(lingbin)對(duì) x 求導(dǎo)得第15頁(yè)/共33頁(yè)第十六頁(yè)，共34頁(yè)。nnaxaaxaaxayy 221112211nnaxaaxaaxayy 例10.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)解等式(dngsh)兩邊取對(duì)數(shù)得xxylnsinln 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 第16頁(yè)/共33頁(yè)第十七頁(yè)，共3

10、4頁(yè)。一般(ybn)地)0)()()()( xuxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf )()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv 第17頁(yè)/共33頁(yè)第十八頁(yè)，共34頁(yè)。三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)(hnsh)的導(dǎo)數(shù).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如(lr) ,22tytx2xt 消去參數(shù)(cnsh)22)2(xty 42x xy21 問題: 消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)?第1

11、8頁(yè)/共33頁(yè)第十九頁(yè)，共34頁(yè)。,)()(中中在方程在方程 tytx),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy 參量(cnling)函數(shù), 0)(,)(),( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)(hnsh)及反函數(shù)(hnsh)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即第19頁(yè)/共33頁(yè)第二十頁(yè)，共34頁(yè)。,)()(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( 容易(rngy)漏掉)(1)()()()()(2tttttt

12、.)()()()()(322tttttdxyd 即即第20頁(yè)/共33頁(yè)第二十一頁(yè)，共34頁(yè)。例11處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttax.方程方程解dtdxdtdydxdy taatacossin ttcos1sin 2cos12sin2 tdxdy. 1 第21頁(yè)/共33頁(yè)第二十二頁(yè)，共34頁(yè)。.),12(,2ayaxt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 所求切線(qixin)方程為)12( axay)22( axy即即例123222,11ydxydyxdxdytytx 證明證明設(shè)設(shè)證dtdxdtdydxdy tt 121121tt 11yx 第22頁(yè)/共33頁(yè)第二十三頁(yè)，共34

13、頁(yè)。)(22dxdydxddxyd )(yxdxd 2yyxy 2yyxy 322yyx 32y )2(22 yx例13設(shè)曲線由極坐標(biāo)方程r=r()所確定，試求該曲線上任一點(diǎn)的切線斜率，并寫出過對(duì)數(shù)螺線上點(diǎn)處的切線的直角坐標(biāo)方程 er )2,(2 e第23頁(yè)/共33頁(yè)第二十四頁(yè)，共34頁(yè)。解由極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)的變換關(guān)系知 sin)(cos)(ryrx ddxddydxdy sin)(cos)(cos)(sin)(rrrr 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) er sincoscossin)sin(cos)cos(sin eedxdy時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)2 切線(qixin)斜率為12 dxdyk第24

14、頁(yè)/共33頁(yè)第二十五頁(yè)，共34頁(yè)。), 0()2,(22 eeer所對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)為所對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)為上點(diǎn)上點(diǎn)而而 故切線的直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)方程為)0(2 xey 2 eyx 即即例14.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮彈在時(shí)刻炮彈在時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向的運(yùn)動(dòng)方向炮彈在時(shí)刻炮彈在時(shí)刻求求其運(yùn)動(dòng)方程為其運(yùn)動(dòng)方程為發(fā)射炮彈發(fā)射炮彈發(fā)射角發(fā)射角以初速度以初速度不計(jì)空氣的阻力不計(jì)空氣的阻力ttgttvytvxv 第25頁(yè)/共33頁(yè)第二十六頁(yè)，共34頁(yè)。解.,)1(00可由切線的斜率來(lái)反映可由切線的斜率來(lái)反映時(shí)刻的切線方向時(shí)刻的切線方向軌跡在軌跡在時(shí)

15、刻的運(yùn)動(dòng)方向即時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向即在在ttxyo0vvxvyv)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt軸方向的分速度為軸方向的分速度為時(shí)刻沿時(shí)刻沿炮彈在炮彈在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 第26頁(yè)/共33頁(yè)第二十七頁(yè)，共34頁(yè)。00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 時(shí)刻炮彈的速度為時(shí)刻炮彈的速度為在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 四、相關(guān)(xinggun)變化率.,)()(變化率稱為相關(guān)變化率變化率稱為相關(guān)變化率這樣兩

16、個(gè)相互依賴的這樣兩個(gè)相互依賴的之間也存在一定關(guān)系之間也存在一定關(guān)系與與從而它們的變化率從而它們的變化率之間存在某種關(guān)系之間存在某種關(guān)系與與而變量而變量都是可導(dǎo)函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù)及及設(shè)設(shè)dtdydtdxyxtyytxx 第27頁(yè)/共33頁(yè)第二十八頁(yè)，共34頁(yè)。相關(guān)(xinggun)變化率問題:已知其中一個(gè)(y )變化率時(shí)如何求出另一個(gè)(y )變化率?例15?,20,120,4000,/803水面每小時(shí)上升幾米水面每小時(shí)上升幾米米時(shí)米時(shí)問水深問水深的水槽的水槽頂角為頂角為米米形狀是長(zhǎng)為形狀是長(zhǎng)為水庫(kù)水庫(kù)秒的體流量流入水庫(kù)中秒的體流量流入水庫(kù)中米米河水以河水以解0604000m則則水水庫(kù)庫(kù)內(nèi)內(nèi)水水量量

17、為為水水深深為為設(shè)設(shè)時(shí)時(shí)刻刻),(),(tVtht234000)(htV 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì) tdtdhhdtdV 38000第28頁(yè)/共33頁(yè)第二十九頁(yè)，共34頁(yè)。,/288003小時(shí)小時(shí)米米 dtdV,20米時(shí)米時(shí)當(dāng)當(dāng) h小時(shí)小時(shí)米米/104. 0 dtdh水面上升(shngshng)之速率第29頁(yè)/共33頁(yè)第三十頁(yè)，共34頁(yè)。五、小結(jié)(xioji)隱函數(shù)(hnsh)求導(dǎo)法則: 直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo);對(duì)數(shù)求導(dǎo)法: 對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù),按隱函數(shù)(hnsh)的求 導(dǎo)法則求導(dǎo);參數(shù)方程求導(dǎo): 實(shí)質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則;相關(guān)變化率: 通過函數(shù)關(guān)系確定兩個(gè)相互依賴的 變化率; 解法: 通過建立兩者之間的關(guān)系, 用鏈 式求導(dǎo)法求解.第30頁(yè)/共33頁(yè)第三十一頁(yè)，共34頁(yè)。思考題設(shè)設(shè) )()(tytx ，由由)()(ttyx )0)( t 可可知知)()(ttyx ，對(duì)對(duì)嗎嗎？ 第31頁(yè)/共33頁(yè)第三十二頁(yè)，共34頁(yè)。思考題解答(jid)不對(duì) xxydxdy dx