微積分教學資料陳軍杰隱函數(shù)對數(shù)參數(shù)式求導學習教案

1、會計學1微積分教學資料陳軍杰隱函數(shù)對數(shù)微積分教學資料陳軍杰隱函數(shù)對數(shù)(du sh)參數(shù)式求導參數(shù)式求導第一頁，共34頁。)(0),(xyyyxF 確定了一元隱函數(shù)確定了一元隱函數(shù)設(shè)設(shè)得得代入代入將將0),()( yxFxyy0)(, xyxFu0 dxdu則則兩邊(lingbin)對 x 求導，當遇到 y 的函數(shù) f(y)時)(yfdxd要求的是要求的是)(yfz 記記xyzdxdydydzdxdz dxdyyf )(第1頁/共33頁第二頁，共34頁。將求出的這些(zhxi)導數(shù)代入0 dxdu得到關(guān)于dxdy的代數(shù)方程，即即為為所所求求解解得得),(yxgdxdy 至于隱函數(shù)(hnsh)求二

2、階導數(shù)，與上同理求導求導兩邊再對兩邊再對在在xyxgdxdy),( ),(22yyxGdxyd 代入代入再將再將),(yxgdxdy 第2頁/共33頁第三頁，共34頁。例1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導數(shù)的導數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解,求求導導方方程程兩兩邊邊對對x0 dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 第3頁/共33頁第四頁，共34頁。例2.,)23,23(,333線通過原點線通過原點在該點的法在該點的法并證明曲線并證明曲線的切線方程的切線方程點點上上求過

3、求過的方程為的方程為設(shè)曲線設(shè)曲線CCxyyxC 解,求導求導方程兩邊對方程兩邊對 xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線(qixin)方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為, xy 即即顯然(xinrn)通過原點.第4頁/共33頁第五頁，共34頁。例3.)1 , 0(, 144處的值處的值在點在點求求設(shè)設(shè)yyxyx 解求導得求導得方程兩邊對方程兩邊對x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求導得求導得兩邊再對兩邊再對將方程將方程x)1(04)(122123222 yyyy

4、yxyx, 1, 0 yx代代入入得得4110 yxy.16110 yxy第5頁/共33頁第六頁，共34頁。補證反函數(shù)的求導法則(fz)為其反函數(shù)為其反函數(shù)為直接函數(shù)，為直接函數(shù)，設(shè)設(shè))()(xfyyx 隱隱函函數(shù)數(shù)確確定定的的一一個個可可視視為為由由方方程程0)()( yxxfy 由隱函數(shù)的微分(wi fn)法則求導得求導得兩邊對兩邊對方程方程xyx)( dxdyy )(1 )(1ydxdy 第6頁/共33頁第七頁，共34頁。例42222,lnarctandxyddxdyyxxy求求設(shè)設(shè) 解求導得求導得方程兩邊對方程兩邊對x)(11122222 yxyxxyxy222222222221yxy

5、yxyxxyxyyxx yyxyxy yxyxdxdy 第7頁/共33頁第八頁，共34頁。 yxyxdxddxyd222)()1)()(1(yxyyxyxy 2)(22yxyyx 3)()()(2yxyxyyxx 322)()(2yxyx 例5 求證拋物線ayx 上任一點的切線在兩坐標軸上的截距之和等于a第8頁/共33頁第九頁，共34頁。證求導得求導得兩邊對兩邊對方程方程xayx 02121 dxdyyxxydxdy 故曲線上任一點),(00yx處切線的斜率為0 xxdxdyk 00 xy 切線(qixin)方程為)(0000 xxxyyy 000000 xyyxxyyx 第9頁/共33頁第十

6、頁，共34頁。000000 xyyxxyyx )(0000yxyx 00yxa 100 yayxax故在兩坐標軸上的截距之和為)(0000yxayaxa a 二、對數(shù)(du sh)求導法 有時會遇到這樣的情形(qng xing)，即雖然給出的是顯函數(shù)但直接求導有困難或很麻煩第10頁/共33頁第十一頁，共34頁。觀察(gunch)函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法(fngf):先在方程兩邊(lingbin)取對數(shù)（或先取絕對值再取對數(shù)）, 然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù).目的是利用對數(shù)的性質(zhì)簡化求導運算。-對數(shù)求導法適用范圍:.)()(的情形的情形開方和冪指函數(shù)開方和冪指

7、函數(shù)多個函數(shù)相乘、乘方、多個函數(shù)相乘、乘方、xvxu例632(1)1,.(4)xxxyyxe求解等式兩邊取對數(shù)得第11頁/共33頁第十二頁，共34頁。xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對x142)1(3111 xxxyy32(1)11121(4)13(1)4xxxyxexxx例7 的導數(shù)的導數(shù)求求)4)(3()2)(1( xxxxy解這函數(shù)(hnsh)的定義域 1, 32, 4 xxx第12頁/共33頁第十三頁，共34頁。4 x若若兩邊(lingbin)取對數(shù)得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy兩邊(lingbin)對

8、x 求導得41312111211 xxxxyy313121112 xxxxyy1 x若若)4)(3()2)(1(xxxxy 兩邊(lingbin)取對數(shù)得)4ln()3ln()2ln()1ln(21lnxxxxy 第13頁/共33頁第十四頁，共34頁。兩邊(lingbin)對 x 求導得41312111211xxxxyy 313121112 xxxxyy同理32 x若若313121112 xxxxyy例8dxdyyxxy求求設(shè)設(shè) 解兩邊(lingbin)取對數(shù)得第14頁/共33頁第十五頁，共34頁。yxxylnln 兩邊(lingbin)對 x 求導得yyxyxyxy 1ln1ln22lnln

9、xxxyyyxyy 例9dxdyaxaxaxynanaa求求設(shè)設(shè))()()(2121 解兩邊(lingbin)取對數(shù)得)ln()ln()ln(ln2211nnaxaaxaaxay 兩邊(lingbin)對 x 求導得第15頁/共33頁第十六頁，共34頁。nnaxaaxaaxayy 221112211nnaxaaxaaxayy 例10.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)解等式(dngsh)兩邊取對數(shù)得xxylnsinln 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 第16頁/共33頁第十七頁，共3

10、4頁。一般(ybn)地)0)()()()( xuxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf )()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv 第17頁/共33頁第十八頁，共34頁。三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)(hnsh)的導數(shù).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如(lr) ,22tytx2xt 消去參數(shù)(cnsh)22)2(xty 42x xy21 問題: 消參困難或無法消參如何求導?第1

11、8頁/共33頁第十九頁，共34頁。,)()(中中在方程在方程 tytx),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy 參量(cnling)函數(shù), 0)(,)(),( ttytx 且且都可導都可導再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復合函數(shù)(hnsh)及反函數(shù)(hnsh)的求導法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即第19頁/共33頁第二十頁，共34頁。,)()(二階可導二階可導若函數(shù)若函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( 容易(rngy)漏掉)(1)()()()()(2tttttt

12、.)()()()()(322tttttdxyd 即即第20頁/共33頁第二十一頁，共34頁。例11處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttax.方程方程解dtdxdtdydxdy taatacossin ttcos1sin 2cos12sin2 tdxdy. 1 第21頁/共33頁第二十二頁，共34頁。.),12(,2ayaxt 時時當當 所求切線(qixin)方程為)12( axay)22( axy即即例123222,11ydxydyxdxdytytx 證明證明設(shè)設(shè)證dtdxdtdydxdy tt 121121tt 11yx 第22頁/共33頁第二十三頁，共34

13、頁。)(22dxdydxddxyd )(yxdxd 2yyxy 2yyxy 322yyx 32y )2(22 yx例13設(shè)曲線由極坐標方程r=r()所確定，試求該曲線上任一點的切線斜率，并寫出過對數(shù)螺線上點處的切線的直角坐標方程 er )2,(2 e第23頁/共33頁第二十四頁，共34頁。解由極坐標和直角坐標(zh jio zu bio)的變換關(guān)系知 sin)(cos)(ryrx ddxddydxdy sin)(cos)(cos)(sin)(rrrr 時時當當 er sincoscossin)sin(cos)cos(sin eedxdy時時當當2 切線(qixin)斜率為12 dxdyk第24

14、頁/共33頁第二十五頁，共34頁。), 0()2,(22 eeer所對應(yīng)的直角坐標為所對應(yīng)的直角坐標為上點上點而而 故切線的直角坐標(zh jio zu bio)方程為)0(2 xey 2 eyx 即即例14.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮彈在時刻炮彈在時刻的運動方向的運動方向炮彈在時刻炮彈在時刻求求其運動方程為其運動方程為發(fā)射炮彈發(fā)射炮彈發(fā)射角發(fā)射角以初速度以初速度不計空氣的阻力不計空氣的阻力ttgttvytvxv 第25頁/共33頁第二十六頁，共34頁。解.,)1(00可由切線的斜率來反映可由切線的斜率來反映時刻的切線方向時刻的切線方向軌跡在軌跡在時

15、刻的運動方向即時刻的運動方向即在在ttxyo0vvxvyv)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt軸方向的分速度為軸方向的分速度為時刻沿時刻沿炮彈在炮彈在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 第26頁/共33頁第二十七頁，共34頁。00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 時刻炮彈的速度為時刻炮彈的速度為在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 四、相關(guān)(xinggun)變化率.,)()(變化率稱為相關(guān)變化率變化率稱為相關(guān)變化率這樣兩

16、個相互依賴的這樣兩個相互依賴的之間也存在一定關(guān)系之間也存在一定關(guān)系與與從而它們的變化率從而它們的變化率之間存在某種關(guān)系之間存在某種關(guān)系與與而變量而變量都是可導函數(shù)都是可導函數(shù)及及設(shè)設(shè)dtdydtdxyxtyytxx 第27頁/共33頁第二十八頁，共34頁。相關(guān)(xinggun)變化率問題:已知其中一個(y )變化率時如何求出另一個(y )變化率?例15?,20,120,4000,/803水面每小時上升幾米水面每小時上升幾米米時米時問水深問水深的水槽的水槽頂角為頂角為米米形狀是長為形狀是長為水庫水庫秒的體流量流入水庫中秒的體流量流入水庫中米米河水以河水以解0604000m則則水水庫庫內(nèi)內(nèi)水水量量

17、為為水水深深為為設(shè)設(shè)時時刻刻),(),(tVtht234000)(htV 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對 tdtdhhdtdV 38000第28頁/共33頁第二十九頁，共34頁。,/288003小時小時米米 dtdV,20米時米時當當 h小時小時米米/104. 0 dtdh水面上升(shngshng)之速率第29頁/共33頁第三十頁，共34頁。五、小結(jié)(xioji)隱函數(shù)(hnsh)求導法則: 直接對方程兩邊求導;對數(shù)求導法: 對方程兩邊取對數(shù),按隱函數(shù)(hnsh)的求 導法則求導;參數(shù)方程求導: 實質(zhì)上是利用復合函數(shù)求導法則;相關(guān)變化率: 通過函數(shù)關(guān)系確定兩個相互依賴的 變化率; 解法: 通過建立兩者之間的關(guān)系, 用鏈 式求導法求解.第30頁/共33頁第三十一頁，共34頁。思考題設(shè)設(shè) )()(tytx ，由由)()(ttyx )0)( t 可可知知)()(ttyx ，對對嗎嗎？ 第31頁/共33頁第三十二頁，共34頁。思考題解答(jid)不對 xxydxdy dx