§3.2周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)分析

1、3.2周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)分析主要內(nèi)容三角函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)三角函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù) 指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級(jí)數(shù)兩種傅氏級(jí)數(shù)的關(guān)系兩種傅氏級(jí)數(shù)的關(guān)系 頻譜圖頻譜圖函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系周期信號(hào)的功率周期信號(hào)的功率傅里葉有限級(jí)數(shù)與最小方均誤差傅里葉有限級(jí)數(shù)與最小方均誤差一三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) tntn11sin,cos 是一個(gè)完備的正交函數(shù)集是一個(gè)完備的正交函數(shù)集t在一個(gè)周期內(nèi)，在一個(gè)周期內(nèi)，n=0,1,. 2112cossin0TTntmdt2112,coscos20,TTTmnntmt dtmn2112,sinsin20,TTTmnnt

2、mt dtmn由積分可知由積分可知1.三角函數(shù)集 1112 , , TTtf 基波角頻率為基波角頻率為周期為周期為周期信號(hào)周期信號(hào)在滿足在滿足狄氏條件狄氏條件時(shí)，可展成時(shí)，可展成 1 sincos)(1110 nnntnbtnaatf 直流分量直流分量 TttttfTa00d)(10余弦分量的幅度余弦分量的幅度 TttnttntfTa00dcos)(21 正弦分量的幅度正弦分量的幅度 TttnttntfTb00dsin)(21 稱為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù)稱為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，其系數(shù)2級(jí)數(shù)形式狄利克雷（Dirichlet）條件條件條件3:3:在一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積。在一周期內(nèi)，信號(hào)絕

3、對(duì)可積。條件條件2 2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。限個(gè)。條件條件1 1：在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的：在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。例1不滿足條件不滿足條件1 1的例子如下圖所示，這個(gè)信號(hào)的周期為的例子如下圖所示，這個(gè)信號(hào)的周期為8 8，它是這樣組成的：后一個(gè)階梯的高度和寬度是前一個(gè)階它是這樣組成的：后一個(gè)階梯的高度和寬度是前一個(gè)階梯的一半?？梢娫谝粋€(gè)周期內(nèi)它的面積不會(huì)超過(guò)梯的一半?？梢娫谝粋€(gè)周期內(nèi)它的面積不會(huì)超過(guò)8 8，但，但不連續(xù)點(diǎn)的數(shù)目是無(wú)窮多個(gè)。不連續(xù)點(diǎn)的數(shù)目是無(wú)窮多個(gè)。 tf

4、O18 t821例2不滿足條件不滿足條件2 2的一個(gè)函數(shù)是的一個(gè)函數(shù)是 10,2sin tttf tfO11 t1對(duì)此函數(shù)，其周期為對(duì)此函數(shù)，其周期為1 1，有，有 1d10 ttf在一周期內(nèi)，信號(hào)是絕對(duì)可積的在一周期內(nèi)，信號(hào)是絕對(duì)可積的(T1為周期為周期) TttfTd1 100d)(Tttttf TTtnnttfTttfTFd1de11j 說(shuō)明與平方可積條件相同，這一條件保證了每一系數(shù)與平方可積條件相同，這一條件保證了每一系數(shù)Fn都都是有限值，因?yàn)槭怯邢拗担驗(yàn)?nF例3周期信號(hào)周期信號(hào) ，周期為，周期為1 1，不滿足此條件。，不滿足此條件。 10,1 tttf tfO121 2 t1例3

5、-2-1求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。 22110110d1TTttTATa 22111110dcos2TTnttntTATa 2211111dsin2TTnttntTATb 3 , 2 , 1 )1(1 nnAn周期鋸齒波的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為周期鋸齒波的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為 tAtAtf112sin2sin0 22 )(111TtTtTAtf直流直流基波基波諧波諧波t tfA/2/221T21T 112T 其他形式00ac 22nnnbac nnnabarctan nnnca cos nnncb sin 余弦形式余弦形式正弦形式正弦

6、形式00ad nnnabarctan nnnda sin nnndb cos 110sin)(nnntnddtf 22nnnbad 2 cos)(110 nnntncctf 關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖；關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖；關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖。關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖?？僧嫵隹僧嫵鲱l譜圖。頻譜圖。周期信號(hào)頻譜具有周期信號(hào)頻譜具有離散性、諧波性、收斂性離散性、諧波性、收斂性 。 nc n幅度頻率特性和相位頻率特性的的線線性性組組合合?；úń墙穷l頻率率的的整整數(shù)數(shù)倍倍）（）和和各各次次諧諧波波，基基波波（周周期期信信號(hào)號(hào)可可分分解解為為直直流流:11 n二指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)1 1復(fù)指數(shù)正

7、交函數(shù)集復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集 2, 1, 0 e1j ntn 2 2級(jí)數(shù)形式級(jí)數(shù)形式3 3系數(shù)系數(shù) 111110jj0j1deede)()(TtntnTtntttfnF 4 e)()(1j1tnnnFtf 5 de )(1110j TtnttfT 利用利用復(fù)變函數(shù)的正交特性復(fù)變函數(shù)的正交特性nF 也可寫為也可寫為說(shuō)明 變換對(duì)。變換對(duì)。式是一對(duì)式是一對(duì)、惟一確定，惟一確定，則，則如給出如給出)5()4()(1tfnF 的線性組合。的線性組合。區(qū)間上的指數(shù)信號(hào)區(qū)間上的指數(shù)信號(hào)周期信號(hào)可分解為周期信號(hào)可分解為tn1je, 4 e)()(1j1tnnnFtf 5 de)(1110j1 TtnttfTnF

8、三兩種系數(shù)之間的關(guān)系及頻譜圖 TtnttfTnF0j1de )(1)(1 TTttntfTttntfT0101dsin)(1jdcos)(1 nnbaj21 TTttntfTttntfTnF01011dsin)(1jdcos)(1)( nnbaj21 nnFnF j11e)( 是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù))(),(11 nFnF nnncbanF2121)(221 相頻特性相頻特性 nnnabarctan 幅頻特性和相頻特性幅頻特性幅頻特性 的的奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于的的偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于取取正正值值）的的奇奇函函數(shù)數(shù)（實(shí)實(shí)際際關(guān)關(guān)于于取取正正值值）的的偶偶函函數(shù)數(shù)（實(shí)實(shí)際際關(guān)關(guān)于于 )( 11nnFnbna

9、nn1 13 nc0c1c3cO1 13 n O 頻譜圖幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜離散譜，譜線離散譜，譜線曲線曲線或或 nnFc曲線曲線 n請(qǐng)畫出其幅度譜和相位譜。請(qǐng)畫出其幅度譜和相位譜。例3-2-210 c00 236. 251 c 15. 01 12 c 25. 02 化為余弦形式化為余弦形式三角函數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的頻譜圖，已知已知 42coscos2sin1)(111ttttf 42cos)15. 0cos(51)(11tttf 三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的譜系數(shù)三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的譜系數(shù) 1 1c0c2c12 O24. 211nc12 25. 015. 0 O1 n

10、 化為指數(shù)形式 4j24j2jjjj111111ee21ee22eej211)(tnttttttf tttttf11112j4j2j4jjjee21ee21ej211ej2111)( tnnnF1j221e)( 1)0( F 15. 0j1e12. 1j211 F 15. 0j112. 1j211eF 4j1e212 F 4j1e212 F整理整理指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)譜線1)0(0 FF12. 1)(11 FF12. 1)(11 FF5 . 0)2(12 FF5 . 0)2(12 FF00 15. 01 15. 01 25. 02 25. 02 指數(shù)形式的頻譜圖

11、指數(shù)形式的頻譜圖12 5 . 0O1 1 12. 112 12. 15 . 01 1 nF12 25. 0 15. 0 O1 1 15. 012 25. 0 n 三角形式與指數(shù)形式的頻譜圖對(duì)比1 1c0c2c12 O24. 211nc12 5 . 0O1 1 12. 112 12. 15 . 01 1 nF12 25. 0 15. 0 O1 1 15. 012 25. 0 n 三角函數(shù)形式的頻譜圖三角函數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖指數(shù)形式的頻譜圖12 25. 0 15. 0 O1 n 四總結(jié)（1）周期信號(hào)）周期信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式的傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式（3）周期信號(hào)的頻譜是離散

12、譜，三個(gè)性質(zhì)）周期信號(hào)的頻譜是離散譜，三個(gè)性質(zhì)（2）兩種頻譜圖的關(guān)系）兩種頻譜圖的關(guān)系（4）引入負(fù)頻率）引入負(fù)頻率(1)周期信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)有兩種形式三角形式三角形式指數(shù)形式指數(shù)形式 1110sincos)(nnntnbtnaatf tnnnFtf1j1e)()( 0001021)(acFncnFn (2)兩種頻譜圖的關(guān)系)()( 11 nn 相相位位頻頻譜譜為為奇奇函函數(shù)數(shù) nnc，三角函數(shù)形式：三角函數(shù)形式：?jiǎn)芜咁l譜單邊頻譜 nnF，指數(shù)函數(shù)形式：指數(shù)函數(shù)形式：雙邊頻譜雙邊頻譜關(guān)系關(guān)系)()( 11 nFnF 偶偶函函數(shù)數(shù)指指數(shù)數(shù)形形式式的的幅幅度度頻頻譜譜為為(3)三個(gè)性質(zhì) 的譜

13、線唯一的譜線唯一惟一性：惟一性：處處現(xiàn)在現(xiàn)在（離散性），頻率只出（離散性），頻率只出諧波性：諧波性：收斂性：收斂性：)(,11tfnnFn 注意：注意：沖激函數(shù)序列的頻譜不滿足收斂性沖激函數(shù)序列的頻譜不滿足收斂性周期單位沖激序列的頻譜 1 nFOT11 12 12 1 TttTnFTTtn1de122j11 tnnTTttf1je1)()( 分析：分析：狄氏條件狄氏條件是傅里葉級(jí)數(shù)存是傅里葉級(jí)數(shù)存在的充分條件。根據(jù)沖激信號(hào)的在的充分條件。根據(jù)沖激信號(hào)的定義和特性，其積分有確定值，定義和特性，其積分有確定值，傅里葉級(jí)數(shù)存在。即傅里葉級(jí)數(shù)存在。即為為整整數(shù)數(shù)nnTttnT )()( 滿足離散性，諧

14、波性，不滿足收斂性，頻帶無(wú)限寬。滿足離散性，諧波性，不滿足收斂性，頻帶無(wú)限寬。tO tT TT 1 (4)引入負(fù)頻率對(duì)對(duì)于于雙雙邊邊頻頻譜譜，負(fù)負(fù)頻頻率率)(1 n，只只有有數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)意意義義，而而無(wú)無(wú)物物理理意意義義。為為什什么么引引入入負(fù)負(fù)頻頻率率? ? 的的實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)不不變變。，才才能能保保證證和和數(shù)數(shù)，必必須須有有共共軛軛對(duì)對(duì)是是實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)，分分解解成成虛虛指指)(ee11jjtftfnn 五函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇諧函數(shù)奇諧函數(shù)偶諧函數(shù)偶諧函數(shù)注：指交流分量注：指交流分量1偶函數(shù)為實(shí)函數(shù)。為實(shí)函數(shù)。項(xiàng)。項(xiàng)。項(xiàng)，只含直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)，只含直流

15、項(xiàng)和余弦傅里葉級(jí)數(shù)中不含正弦傅里葉級(jí)數(shù)中不含正弦)(1 nF信號(hào)波形相對(duì)于縱軸是對(duì)稱的信號(hào)波形相對(duì)于縱軸是對(duì)稱的)()(tftf )(tfOtTET 0 nb 2010dcos)(4TnttntfTa nnnnabanFF21j21)(1 0 n 2奇函數(shù))()(tftf 對(duì)對(duì)稱稱的的：波波形形相相對(duì)對(duì)于于縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)是是反反)(tfOtTT 11 為虛函數(shù)。為虛函數(shù)。量，量，傅里葉級(jí)數(shù)中無(wú)余弦分傅里葉級(jí)數(shù)中無(wú)余弦分)(1 nF 0= d)(1 220 TTttfTa 0dcos)(2221 TTnttntfTa TnttntfTb01dsin)(2 nnnnbbanFFj21j21)(1 2

16、010dsin)(4TttntfT 0 6 , 4 , 2 nnban時(shí)時(shí)3奇諧函數(shù) 201dcos)(4 5 , 3 , 1TnttntfTan 時(shí)時(shí) 201dsin)(4TnttntfTb f(t)的傅氏級(jí)數(shù)偶次諧波為零，即的傅氏級(jí)數(shù)偶次諧波為零，即)(tfOtTT 2T 2)(Ttftf若波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周若波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期并相對(duì)于該軸上下反轉(zhuǎn)，期并相對(duì)于該軸上下反轉(zhuǎn)，此時(shí)波形并不發(fā)生變化：此時(shí)波形并不發(fā)生變化：00 a 21Ttftf112T 4偶諧函數(shù) 20111dsin)(4TnttntfTb 0 5 , 3 , 1 nnban時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 20111dcos)(4 6 ,

17、 4 , 2TnttntfTan 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)f(t)的傅氏級(jí)數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量的傅氏級(jí)數(shù)奇次諧波為零，只有偶次諧波分量)(tfOt1T1T 21T 21T稱為偶諧函數(shù)。稱為偶諧函數(shù)。與原波形重合，與原波形重合，波形移動(dòng)波形移動(dòng)21T 六周期信號(hào)的功率這是帕塞瓦爾定理在傅里葉級(jí)數(shù)情況下的具體體現(xiàn)這是帕塞瓦爾定理在傅里葉級(jí)數(shù)情況下的具體體現(xiàn); ;表明：表明： 周期信號(hào)平均功率周期信號(hào)平均功率= =直流、基波及各次諧波分直流、基波及各次諧波分量有效值的平方和；量有效值的平方和； 也就是說(shuō)，時(shí)域和頻域的能量是守恒的。也就是說(shuō)，時(shí)域和頻域的能量是守恒的。 繪成的線狀圖形，表示繪成的線狀圖形，表示 各次諧波的平均功各次諧波的平均功率隨頻率分布的情況，稱為功率譜系數(shù)。率隨頻率分布的情況，稱為功率譜系數(shù)。 2nF nnnnnnnFcabaa21220122202121 TttfTP02d)(1證明對(duì)于三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)于三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) 1110sincos)(nnntnbtnaatf 平均功率平均功率 ttnbtnaaTttfTPTnnnTdsincos1d)(120111002 122