數(shù)二常微分與無窮級數(shù)學(xué)習(xí)計劃

1、資料版權(quán)屬文亮所有，任何學(xué)員只有使用權(quán)，不得以任何方式轉(zhuǎn)借給他人，否則將追究法律責(zé)任高等數(shù)學(xué)11月1日-11月15日學(xué)習(xí)計劃【注】1.本次學(xué)習(xí)計劃同學(xué)們結(jié)合暑期回家發(fā)的練習(xí)題，做完第一章相應(yīng)的B、C類題目，A類可以等到12月份再做，基礎(chǔ)好的同學(xué)也可先往后做。2.做習(xí)題時，請脫離書本認(rèn)認(rèn)真真做，就當(dāng)做考試一樣對待。答案做在A4紙上裝訂到一起。每月一次的答疑時，我們要對每個同學(xué)的復(fù)習(xí)情況和習(xí)題完成質(zhì)量做檢查。請各位同學(xué)務(wù)必重視這一階段的復(fù)習(xí)，此階段沒有跟上的話，后期很難跟上。第四部分 常微分方程1、 基本要求1. 理解微分方程的定義、階、解、通解、初始條件，特解等概念。2. 掌握一階可分離變量微分

2、方程的解法和一階線性微分方程的解法。3. 了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。4. 掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。5. 掌握二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法。（或）2、 重難點一階微分方程的分離變量法，一階線性微分方程的常數(shù)變易法，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的待定系數(shù)法三、內(nèi)容提要1、 微分方程的基本概念（1） 微分方程的定義：凡是含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程。（2） 微分方程的階，解，通解：階：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。解：把或代入微分方程能使方程成為恒等式，則稱該函數(shù)為微分方程的解。通解：若微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階相同，則稱這樣的解為微

3、分方程的通解。（3） 初始條件和特解：初始條件：用未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在某特定點的值作為確定通解中任意常數(shù)的條件。特解：滿足初始條件的微分方程的解稱為該微分方程的特解.2.可分離變量的微分方程定義：可化為的形式的一階微分方程稱為可分離變量方程.求解方法 第一步:分離變量 ，第二步:兩邊積分 .3. 一階線性微分方程定義 形如（或）的微分方程，稱為一階線性微分方程，“線性”是指未知函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)都是一次的.求解方法 第一步：先用分離變量法求一階線性微分方程（或）所對應(yīng)的齊次線性微分方程（或）的通解（或）第二步：設(shè)（或）為一階線性微分方程（或）的解,代入該方程后,求出待定函數(shù)（或）.(常數(shù)易變法)

4、第三步: 將（或）代入（或）中,得所求一階線性微分方程（或）的通解.4.二階常系數(shù)齊次線性微分方程定義：形如 的微分方程（其中均為已知常數(shù)） 求解方法 第一步：寫出方程的特征方程 ，第二步：求出特征方程的兩個特征根 ,，第三步： 根據(jù)下表給出的三種特征根的不同情形，寫出的通解.有兩個不同特征實根有兩個相同特征實根有一對共軛復(fù)根 i5.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程定義：形如 的微分方程（其中均為已知常數(shù)，） 解得結(jié)構(gòu)：齊次通解+非齊次特解 求解方法 ：第一步：先求出所對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解。第二步：根據(jù)下表設(shè)出非齊次線性微分方程的含待定常數(shù)的特解,并將代入非齊次線性微分方程解出待定常數(shù),進(jìn)

5、而確定非齊次方程的一個特解; 1. ，則特解形式為， 其中是與同次的多項式，.2（A,B是實數(shù)并且允許其中一個為零），則特解第三步：+即為微分方程的通解。6. 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（新增內(nèi)容）1 二階齊次線性微分方程解的疊加原理如果函數(shù)和是齊次線性微分方程的兩個解，則函數(shù)也是方程的解；且當(dāng)與線性無關(guān)時， 就是方程的通解（其中是任意常數(shù)）. 非齊次線性微分方程解的疊加原理如果函數(shù)為非齊次線性微分方程的一個特解，為齊次線性微分方程的通解，則為該非齊次線性微分方程的通解. 非齊次線性微分方程解的分離定理如果是方程的解，是方程的解，則是方程的解.4、 題型本章內(nèi)容可以出現(xiàn)在選擇，填空，計算等多種題

6、型中，但做題核心沒有差異，都是求特解形式，微分方程的通解，微分方程的特解。一階微分方程，首當(dāng)其沖考慮分離變量使其變成，兩邊積分即得，而確定的隱函數(shù)就是微分方程的解，由分離變量解得微分方程最后的解得形式不一定非要是的形式。關(guān)于的恒等式即可。若分離變量行不通， 則用一階線性微分方程的常數(shù)變易法，必有或的形式。我們要注意的是在用分離變量求對應(yīng)齊次微分方程解得時候一定要化成（或）的形式，其實就是（或），然后令（或）代入原方程求出（或）即可。二階常系數(shù)微分方程：對于齊次的，求解特征方程記住三種形式即可。對于非齊次有兩種情況，最重要的是熟記特解的形式。例1 （一階) 求微分方程 滿足條件的特解.解： 這是

7、可以分離變量的微分方程，將方程分離變量，有 ，兩邊積分，得 ，求積分得 ，記 ，得方程的解 .所以原方程的通解為 （為任意常數(shù)）.代入初始條件 得 ，所以特解為 .例2 （一階） 求微分方程（1），（2） 的通解.（1）分析:一階，無法分離變量。與的形式不匹配，所以只有是。解：原方程可化為 為一階線性微分方程，用常數(shù)變易法.解原方程所對應(yīng)的齊次方程 ，得其通解為 .設(shè)為原方程的解，代入原方程，化簡得 ，所以原方程的通解為 ，即 （為任意常數(shù)）.（2）分析：很顯然與一階線性微分方程的形式匹配。解：原方程對應(yīng)的齊次方程 分離變量，得，兩邊積分，得，化簡得，用常數(shù)變易法.設(shè)代入原方程，得 ，故原方程

8、的通解為 （為任意常數(shù)）.例3 （二階）求微分方程的通解.分析：原方程顯然二階常系數(shù)其次線性微分方程，只需考察特征方程的根，對應(yīng)到三種解的形式即可。解：原方程對應(yīng)的特征方程為 ，=，（1）當(dāng)，即 或時，特征方程有兩個不相等的實根 ， 故原方程的通解為.（2）當(dāng)，即或時，特征方程有兩個相等的實根 ， 故原方程的通解為 . （3）當(dāng)，即 時，特征方程有兩個共軛復(fù)根 ， 故原方程的通解為.例4 求微分方程 滿足初始條件，的特解.解： 對應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，特征根 故對應(yīng)齊次微分方程的通解為 因為是特征方程的單根，所以設(shè)特解為 代入原方程得 ，比較同類項系數(shù)得 ，從而原方程的特解為 故原方程的通

9、解為 ，由初始條件 時，得 從而，.因此滿足初始條件的特解為 .例5 求微分方程 的通解.解： 對應(yīng)的齊次微分方程的特征方程 ，特征根 .于是所對應(yīng)的齊次微分方程通解為由于，是特征方程的單根，且是零次多項式。所以設(shè)特解為 ，代入原方程，化簡得,比較同類項系數(shù)，得 ，.所以，方程（）的特解為=,其虛部即為所求原方程的特解 因此原方程通解為.小結(jié)：在設(shè)微分方程 的特解時，必須注意把特解設(shè)全.如：，那么 ，而不能設(shè).另外，微分方程的特解都是滿足一定初始條件的解，上面所求的特解一般不會滿足題設(shè)初始條件，因此需要從通解中找出一個滿足該初始條件的特解.五、學(xué)法建議1本章重點為微分方程的通解與特解等概念，一

10、階微分方程的分離變量法，一階線性微分方程的常數(shù)變易法，二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的待定系數(shù)法.2 本章中所講的一些微分方程，它們的求解方法和步驟都已規(guī)范化，要掌握這些求解法，學(xué)員首先要善于正確地識別方程的類型，所以必須熟悉本課程中講了哪些標(biāo)準(zhǔn)型，每種標(biāo)準(zhǔn)型有什么特征，以便“對號入座”，還應(yīng)熟記每一標(biāo)準(zhǔn)型的解法，即“對癥下藥”.同時，建議讀者再做足夠的習(xí)題加以鞏固.常微分方程習(xí)題書本：P335習(xí)題1，習(xí)題4 P341習(xí)題1，習(xí)題2，習(xí)題3 P358習(xí)題1（1）（6），習(xí)題2 P365習(xí)題1，習(xí)題2 P366概念復(fù)習(xí) P367綜合練習(xí)13，除帶*外 1. 2. .求方

11、程的通解 3. =2xy,并滿足初始條件：x=0,y=1的特解。 4. ydx+(x+1)dy=0 并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解。 5. = 6. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 7. tanydx-cotxdy=0 8.+=0 9. =e 10 11. 124、 證明題1、 證明曲線上的切線的斜率與切點的橫坐標(biāo)成正比的曲線是拋物線。 無窮級數(shù)1.1常數(shù)項級數(shù)一、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1.基本要求理解無窮級數(shù)及其收斂與發(fā)散的概念。掌握無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。熟悉幾何級數(shù)、調(diào)和級數(shù)與級數(shù)的斂散性。掌握正項級數(shù)收斂性的比較判斂法、極限判斂法，熟練掌握比值判斂法。掌握交錯級數(shù)的萊布尼

12、茨判斂法。掌握任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念和判斂法。2.重點與難點重點： 級數(shù)的收斂性概念，正項級數(shù)及交錯級數(shù)的判別法，級數(shù)收斂的必要條件。難點： 正項級數(shù)的比較判別法和比值判別法，級數(shù)的絕對收斂與條件收斂的判別。3.學(xué)習(xí)方法（1）利用定義判別級數(shù)的斂散性，需討論部分和數(shù)列的極限是否存在，關(guān)鍵是求出部分和數(shù)列的簡化形式，一般化簡的方法有兩種：方法1：利用等比數(shù)列的求和公式 。方法2：拆項相加，如， 等。若不易化簡，則考慮用其他方法。（2）利用極數(shù)收斂的必要條件判別級數(shù)發(fā)散是一種常用的方法。一般地，若容易求，且，則可由此判定級數(shù)發(fā)散；但若，則級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散，需用其他方法判別。（3

13、）正項級數(shù)斂散性的一般方法是：若所給級數(shù)從某項以后的項可經(jīng)縮小與放大處理后化成級數(shù)或幾何級數(shù)形式，則用級數(shù)或幾何級數(shù)作為比較標(biāo)準(zhǔn)，利用比較判斂法；若所給級數(shù)的一般項含有階乘形式或次冪形式，判別其斂散性時利用比值法；注意：對正項級數(shù)判斂，通常是先用比值法，當(dāng)用比值法失效時，再利用比較判斂法，使用比較判斂法時，關(guān)鍵是對級數(shù)的一般項進(jìn)行放縮，幾何級數(shù)與級數(shù)通常被用作比較標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)利用極限判斂法時，可選用一般項的等價無窮小或同階無窮小作為比較級數(shù)的一般項。（4）交錯級數(shù)判別收斂性時應(yīng)先判別其是否絕對收斂，若否再判別是否條件收斂，為此需驗證萊布尼茨判斂法的兩個條件，驗證時，可用比值；差值；或?qū)⒖闯?，討論?/p>

14、上單調(diào)不增，驗證時，若極限不容易求，則先求，再由得證。（5）任意項級數(shù)判斂散，先將各項取絕對值，考察其絕對值級數(shù)的斂散性，即正項級數(shù)的斂散性，若絕對值級數(shù)發(fā)散，不能斷言原級數(shù)也發(fā)散，但如果利用比值法知絕對值級數(shù)發(fā)散，則可斷定原級數(shù)發(fā)散，這是因為此時必有，從而.二、解題指導(dǎo)1.利用部分和及級數(shù)的性質(zhì)例1 判別下列級數(shù)的斂散性：； .解： 因為級數(shù)的一般項，而級數(shù)與都是公比絕對值小于1的幾何級數(shù)，故它們都收斂，由性質(zhì)知其和也收斂，從而，所以原級數(shù)收斂。由于，而與 都是收斂的級數(shù)，所以由級數(shù)的性質(zhì)可知，它們的和收斂，即原級數(shù)收斂。級數(shù)的一般項，注意到 由于極限不存在，由級數(shù)收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散

15、。2.正項級數(shù)的收斂性例2 判別下列級數(shù)的斂散性：； ； .解題思路： 判斷正項級數(shù)斂散性的一般順序是：觀察級數(shù)是否為級數(shù)或幾何級數(shù)或是兩者的線性組合，若是，可利用性質(zhì)。若不是，則進(jìn)行下一步?？疾焓欠駷榱悖舨皇?，知級數(shù)發(fā)散；若是，則進(jìn)行下一步。用比值法進(jìn)行判別，若失效，則進(jìn)行下一步。用比較判斂法或其極限形式進(jìn)行判別，難點在于選取比較級數(shù).若用極限形式的比較判斂法，應(yīng) 注意利用通項的特點選其等價無窮小作為，此時與同斂散。解： 一般項可經(jīng)過放縮處理，化成級數(shù)，故選用比較法，也可利用拆項法求解。方法1： 因為，而收斂，由比較判別法知，原級數(shù)收斂。方法2： 因為 ， ，則，故原級數(shù)收斂且其和為. 方

16、法3：比較判別法的極限形式分析：分母是n的多項式，分子是常數(shù)，可看成是零次多項式，最高次次數(shù)的差是3，除以對應(yīng)的P級數(shù)因為，所以和同時收斂或發(fā)散。易知收斂，所以收斂。方法：比較判別法的極限形式注意到，取，用極限判斂法。因為，所以原級數(shù)與調(diào)和級數(shù)具有相同的斂散性，由于調(diào)和級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散。一般項出現(xiàn)了階乘形式，選用比值判別法。因為 ，所以原級數(shù)發(fā)散。比較判別法的極限形式常用于一般項中分子分母都是關(guān)于n的多項式或是開方，比較分子分母中最高次次數(shù)的差，若分子的最高次不小于分母的最高次，由必要性知必發(fā)散，否則，若除以對應(yīng)的P級數(shù)即可。，因為發(fā)散，所以原級數(shù)發(fā)散，因為收斂，所以原級數(shù)收斂.,因為發(fā)

17、散，所以原級數(shù)發(fā)散. 利用等價判定斂散性：因為對于兩個正項級數(shù)，若，則他們的斂散性相同。, 當(dāng)時，所以當(dāng)，所以 與斂散性相同，易知收斂，所以收斂。， ，當(dāng)時，易知發(fā)散，所以發(fā) 散，原級數(shù)非絕對收斂。由萊布尼茨定理易知原級數(shù)收斂，故為條件收斂。3.交錯級數(shù)例3 判別下列級數(shù)是否收斂，如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂？ ； ； .解題思路： 對交錯級數(shù)先考察其絕對值級數(shù)是否收斂，若收斂，原級數(shù)為絕對收斂；若發(fā)散，再驗證萊布尼茨定理條件是否滿足，若滿足，則原級數(shù)條件收斂。解： 級數(shù)，其部分和 ，故，從而絕對值級數(shù)發(fā)散。（可用等價做，留給同學(xué)練習(xí)）對級數(shù)，設(shè)，因為 ，所以是單調(diào)遞減數(shù)列，又，由萊布尼茨

18、判別法，原級數(shù)收斂且為條件收斂。設(shè)，因為 ，由比值判別法，絕對值級數(shù)收斂，所以原級數(shù)絕對收斂。注意到，原級數(shù)化為，故原級數(shù)為交錯級數(shù)。對正項級數(shù)，因為，而級數(shù)發(fā)散，由極限判斂法，絕對值級數(shù)發(fā)散。（與等價原理一樣）對級數(shù)，設(shè)，因為，由萊布尼茨判別法，原級數(shù)收斂且為條件收斂。4.任意項級數(shù)例4 判別下列級數(shù)的斂散性： ； ； .解： 這是任意項級數(shù)，其絕對值級數(shù)發(fā)散。根據(jù)級數(shù)的規(guī)律，每三項加一括號，考察加括號后級數(shù)的斂散性，因為 ，（利用比較判別法的極限形式）令，則 ，所以級數(shù)發(fā)散，從而級數(shù)發(fā)散。相對于原級數(shù)，加括號后的級數(shù)發(fā)散，由級數(shù)的性質(zhì)可知，原級數(shù)必發(fā)散。原級數(shù)可化為交錯級數(shù)，先考察其絕對值

19、級數(shù)的斂散性，因為 ，（等價原理）對級數(shù)，因為，而發(fā)散，由比較判別法知發(fā)散，從而發(fā)散。對級數(shù)，令，因為，由萊布尼茨判別法知原級數(shù)收斂，故為條件收斂。將一般項放大處理，考察以放大后的項作為一般項的級數(shù)的斂散性，因為，對級數(shù)，令，則 ，由比值法知級數(shù)收斂，所以由比較法知絕對值級數(shù)收斂，從而原級數(shù)絕對收斂。5.含參數(shù)的級數(shù)例5 判別下列級數(shù)的斂散性： ； 解題思路： 一般項中含有參數(shù)，需注意對參數(shù)進(jìn)行討論。解： 注意到，故就分別討論。當(dāng)時，由級數(shù)收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，由級數(shù)收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，而級數(shù)為公比絕對值小于1的幾何級數(shù)，是收斂的，由比較判別法原級數(shù)收斂。綜上所述，當(dāng)

20、時原級數(shù)收斂；當(dāng)時，原級數(shù)發(fā)散。6.綜合題例6 證明； 解題思路： 證明數(shù)列極限為0可利用級數(shù)收斂的必要條件，證明一般項為此的級數(shù)收斂即可。證明： 考察正項級數(shù)，若該級數(shù)收斂，則.為此設(shè)是正項級數(shù)的一般項，用比值法判別級數(shù)的斂散性。因為 ，所以級數(shù)收斂，故.例7 設(shè)正項級數(shù)和都收斂，證明級數(shù)也收斂。分析： 因為，所以，且。又已知級數(shù)和收斂，如果級數(shù)和收斂，由不等式與比較判別法即可推得收斂，從而欲證結(jié)論成立。證明： 因為收斂，所以，由極限定義，對正數(shù)，存在，使當(dāng)時，有，從而，由比較判別法，級數(shù)收斂，同理可證級數(shù)收斂。又因為，而收斂，由比較法知級數(shù)收斂，所以收斂。7.錯解分析例8 已知級數(shù)與均收斂

21、（或均發(fā)散），且，問級數(shù)是否收斂？錯解： 因為，由比較法知級數(shù)，同時斂散。分析： 比較法僅對正項級數(shù)成立，此處的三個級數(shù)為任意項級數(shù)，故上述結(jié)論在時成立。正解： 若級數(shù)與均收斂，則收斂，因為，所以由比較判別法知收斂。又，所以由性質(zhì)知收斂。若級數(shù)與均發(fā)散，則的斂散性不確定。如對，雖然與發(fā)散，但收斂。對，有，且與發(fā)散，而也發(fā)散。1.2 冪級數(shù)一、學(xué)習(xí)指導(dǎo)1.基本要求（1）理解冪級數(shù)的概念和密集式在其收斂區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)（和，差，逐項求導(dǎo)，逐項求積）（2）熟練掌握確定冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的方法。（3）熟練掌握，的麥克勞林展開式，并會將一些簡單函數(shù)展開成冪級數(shù)。2.重點與難點重點： 冪級數(shù)的收斂性、

22、收斂半徑、收斂區(qū)間，一些特殊函數(shù)的麥克勞林展開式難點： 冪級數(shù)收斂域的端點收斂性的判定，用間接法求函數(shù)的冪級數(shù)展開式3.學(xué)習(xí)方法（1）求冪級數(shù)收斂域的一般方法。對冪級數(shù)，如果，則該冪級數(shù)的收斂半徑為 絕對收斂區(qū)間為，對區(qū)間端點，則利用數(shù)項級數(shù)判別法另行討論級數(shù)的收斂性后確定收斂域。冪級數(shù)的收斂域是以為中心的對稱區(qū)間，其收斂半徑為 ，絕對收斂區(qū)間為，在收斂區(qū)間端點，冪級數(shù)是否收斂，需用數(shù)項級數(shù)判別法判斷。對形如 （設(shè)有反函數(shù)）的函數(shù)項級數(shù)求收斂區(qū)間，直接利用正項級數(shù)的比值法，由確定的取值范圍。（這個方法一般用于函數(shù)的冪是不連續(xù)的，比如冪是等等，而不是這樣連續(xù)的）求冪級數(shù)展開式的方法和步驟把已知函

23、數(shù)展為冪級數(shù)的方法有直接法與間接法兩種。直接展開法：（不常用，證明常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式時用此方法）展開步驟如下：求出的各階導(dǎo)數(shù)，。計算。寫出冪級數(shù)，并求收斂區(qū)間。寫出 ，并討論。若，則，并寫出收斂區(qū)間。間接展開法（重點）：利用幾個常用函數(shù)(，)的麥克勞林展式，根據(jù)函數(shù)冪級數(shù)展開式的惟一性，通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q、四則運算、復(fù)合運算、微分及積分運算，將函數(shù)展成冪級數(shù)。二、解題指導(dǎo)1.求冪級數(shù)的收斂區(qū)間例1 求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間： (1)；(2)； 解題思路： 求形如冪級數(shù)的收斂區(qū)間，一般是利用公式，先求得收斂半徑，再用數(shù)項級數(shù)判別法判斷級數(shù)的斂散性后確定收斂域；求其他形式冪級數(shù)的收斂域可用兩種方法之一求：一種是通過變量代換將所求冪級數(shù)化為形式；另一種是直接用正項級數(shù)的比值法，然后討論區(qū)間端點處的收斂性。（常用后者）解： (1)因為，原級數(shù)缺少的奇次冪項，故直接用比值法。因為 ，所以時原級數(shù)收斂，時原級數(shù)