二元函數(shù)極限學習教案

1、會計學1二元函數(shù)二元函數(shù)(hnsh)極限極限第一頁，共28頁。定義定義(dngy)1設設f為定義為定義(dngy)在在2DR 上的二元函數(shù)上的二元函數(shù)(hnsh),000(,)P xy為為D的聚點的聚點,A為一實數(shù)為一實數(shù).若若00,使當使當00( , )(; )P x yUPD 時時,恒有恒有|( )| |( , )|,f PAf x yA 則稱則稱f在在D上當上當0PP時時,以以A為極限為極限,記作記作0lim( ),PPp Df PA0lim( ),PPf PA或00( , )(,)lim( , ).x yxyf x yA或1) 要求要求P0為為D的聚點的聚點,保證能讓保證能讓0;PP2

2、) P屬于屬于P0的鄰域與的鄰域與D的交的交,保證保證P始終在始終在f的定義域中的定義域中;3) 二重極限是相對一定的二重極限是相對一定的D而言的而言的(意即相對不同的意即相對不同的D其可能不同其可能不同);4) 極限定義的方鄰域形式和圓鄰域形式極限定義的方鄰域形式和圓鄰域形式(在具體證題時常用這兩種形式在具體證題時常用這兩種形式).定義定義1-100,使當使當0000|,|,( , ),( , )(,)xxyyx yDx yxy時時,恒有恒有|( , )|.f x yA 第1頁/共27頁第二頁，共28頁。4) 極限定義的方鄰域極限定義的方鄰域(ln y)形式和圓鄰域形式和圓鄰域(ln y)形

3、式形式(在具體證題時常用這兩種形式在具體證題時常用這兩種形式).定義定義(dngy)1-200,使當使當0000|,|,( , ),( , )(,)xxyyx yDx yxy時時,恒有恒有|( , )|.f x yA 定義定義(dngy)1-300,使當使當222000()()xxyy 或或22000()()xxyy 時時,恒有恒有|( , )|.f x yA 第2頁/共27頁第三頁，共28頁。2. 用定義用定義(dngy)證明極限證明極限基本思路基本思路:根據(jù)根據(jù)(gnj) 找找, 使當使當0000|-|,|-|,( , ),( , )(,),x xyyx yDx yxy或或222000()

4、()xxyy 時時,有有|( , )|.f x yA 找找 的方法的方法(fngf):|( , )|f x yA 逐次放大出逐次放大出0|xx 與與0|yy 的線性組合的線性組合或含因子或含因子2200()()xxyy的式子的式子例例1依定義證明：依定義證明：22( , )(2,1)lim()7.x yxxyy分析：分析：22|7|xxyy逐次放大出逐次放大出|x-2|與|y-1 的線性組合22|7|xxyy=22|(4)3|xxyy=22|(4)(1)2|xyxy=22|(4)(1)(2 )(22)|xyxyyy=|(2)(2)(1)(1)(2)2(1)|xxyyy xy第3頁/共27頁第四

5、頁，共28頁。例例1依定義依定義(dngy)證明：證明：22( , )(2,1)lim()7.x yxxyy22|7|xxyy=22|(4)3|xxyy=22|(4)(1)2|xyxy=22|(4)(1)(2 )(22)|xyxyyy=|(2)(2)(1)(1)(2)2(1)|xxyyy xy|2|2|1|1|2| 2|1|xxyyyxy問題問題(wnt)轉化為：如何將轉化為：如何將|2|,|1|,|xyy放大放大(fngd)為常數(shù)？為常數(shù)？可以對可以對|x-2|與|y-1進行常數(shù)限制，從而可以把進行常數(shù)限制，從而可以把|2|,|1|,|xyy放大為常數(shù)放大為常數(shù)令|x-2| 113x35x+

6、2|2| 5x| 1令|y-120y|1| 3,| 2yy所以，當所以，當|x-2| 1,| 1|y-1時，時，22|7|xxyy5|2| 3|1| 2|2| 2|1|xyxy7(|2|1|)xy只要只要,14|x-2|14|y-122|7|xxyymin1,|,( , )(2,14x y0,取,使當|x-2|0,取,使當0 x +y 時0,( ),f PM,0則稱f在D上當PP時 存在非正常極限,記作0lim( ),PPp Df P 0lim( ),PPf P 或00( , )(,)lim( , ).x yxyf x y 或0(, ),P0U0(, ),PD0使當P(x,y) U時 恒有其它

7、極限其它極限(jxin)形式形式:00( , )(,)(1) lim( , )x yxyf x y 00( , )(,)lim( , )x yxyf x y 00( , )(,)lim( , ).x yxyf x y 0( , )(,)(2) lim( , )x yxf x yA( , )(,)lim( , )x yf x yA 0( , )(,)lim( , )x yxf x yA0( , )(,)(3) lim( , )x yxf x y ( , )(,)lim( , )x yf x y 0( , )(,)lim( , )x yxf x y 第8頁/共27頁第九頁，共28頁。例例5設設22

8、1( , ),23f x yxy證明證明(zhngmng)( , )(0,0)lim( , )x yf x y 證證:要證要證:M若0,( , )f x yM0(, ),P0U0(, ),PD0使當P(x,y) U時 恒有把把0(, ),P0U0(, )PD0使當P(x,y) U時具體化具體化:0|,( , )(,x yx0000,使當|x-x |0,使當0(x-x ) +(y-y )0,則0,0(, ),PD0使當P(x,y) U時 恒有( , )0f x y （3） 極限存在的局部有界性。極限存在的局部有界性。00( , )(,)lim( , ).x yxyf x yA若,M則0,0(,

9、),PD0使當P(x,y) U時 恒有|( , )|f x yM（4） 極限的運算性質。極限的運算性質。0000( , )(,)( , )(,)lim( , ),lim( , ),x yxyx yxyf x yg x y若都存在 則00( , )(,)lim ( , )( , )x yxyf x yg x y0000( , )(,)( , )(,)lim( , )lim( , )x yxyx yxyf x yg x y00( , )(,)lim ( , )( , )x yxyf x yg x y0000( , )(,)( , )(,)lim( , )lim( , )x yxyx yxyf x

10、yg x y00( , )(,)lim( , )0,x yxyg x y當時00( , )(,)( , )lim( , )x yxyf x yg x y0000( , )(,)( , )(,)lim( , )lim( , )x yxyx yxyf x yg x y第10頁/共27頁第十一頁，共28頁。（5） 兩邊兩邊(lingbin)夾法則夾法則若0,0(, ),PD0使當P(x,y) U時 恒有( , )( , )( , )g x yf x yh x y0000( , )(,)( , )(,)lim( , )lim( , )x yxyx yxyg x yh x yA00( , )(,)lim

11、( , ).x yxyf x yA則第11頁/共27頁第十二頁，共28頁。6. 二重二重(r zhn)極限的計算極限的計算(1) 利用極限利用極限(jxin)定義證明極限定義證明極限(jxin)例例1證明證明(zhngmng):22( , )(0,0)lim0|x yxyxy證明證明:因為因為222|),xyxy(所以所以22|xyxy故故對0,要使要使22220,|xyxyxy只要取只要取 = ,于是當于是當2220(0)(0)xy即即220(0)(0)xy 時便有便有220,|xyxy故故22( , )(0,0)lim0|x yxyxy第12頁/共27頁第十三頁，共28頁。(2) 利用利用

12、(lyng)極限運算的運算法則極限運算的運算法則例例22( , )(1,0)ln()limyx yxexy計算解解:因為因為(yn wi)( , )(1,0)lim1,x yx( , )(1,0)lim0,x yy( , )(1,0)lim1,yx ye所以所以(suy)2( , )(1,0)lim()10,x yxy ( , )(1,0)lim()2,yx yxe故故2( , )(1,0)ln()limyx yxexy( , )(1,0)2( , )(1,0)limln()lim()yx yx yxexyln2ln21(3) 利用極坐標變換求極限利用極坐標變換求極限例例33322( , )(

13、0,0)limx yxyxy計算解解:令令cos ,xsin ,y則則3322( , )(0,0)limx yxyxy33320(cossin)lim330lim(cossin)=0第13頁/共27頁第十四頁，共28頁。(4) 利用二個重要利用二個重要(zhngyo)極限極限0sinlim1,xxx1lim 1xxex求極限求極限(jxin).10(lim 1)xxxe例例4求極限求極限(jxin)3322( , )(0,0)sin()(1) lim;x yxyxy2( , )(0,0)1(2) lim1xx yx yx解解:(1)因為因為3322( , )(0,0)sin()limx yxy

14、xy33333322( , )(0,0)sin()limx yxyxyxyxy而而3333( , )(0,0)sin()lim1x yxyxy3322( , )(,0)lim0 x yxyxy 所以所以3322( , )(0,0)sin()limx yxyxy33333322( , )(0,0)sin()limx yxyxyxyxy33333322( , )(0,0)( , )(0,0)sin()limlimx yx yxyxyxyxy=0第14頁/共27頁第十五頁，共28頁。(4) 利用利用(lyng)二個重要極限二個重要極限0sinlim1,xxx1lim 1xxex求極限求極限(jxin

15、).10(lim 1)xxxe例例4求極限求極限(jxin)3322( , )(0,0)sin()(1) lim;x yxyxy2( , )(0,0)1(2) lim1xx yx yx2( , )(,0)1(2) lim1xx yx yx ( , )(,0)1lim1xxx yx yx 1ee(5) 利用兩邊夾法則利用兩邊夾法則例例5求極限求極限22( , )(0,0)limln()x yxyxy解解:220 |ln()|xyxy2222|ln()|2xyxy2222 ln()2xyxy(不妨設不妨設221)xy令令22xyr故故2222( , )(0,0)lim ln()2x yxyxy0l

16、im( ln )2rrr=0由兩邊夾法則由兩邊夾法則, 得得22( , )(0,0)limln()x yxyxy=0第15頁/共27頁第十六頁，共28頁。二、累次二、累次(lic)極限極限問題問題(wnt):1. 00lim lim( , )yyxxf x yL 的定義的定義(dngy)中中,xyEE是實數(shù)集還是平面點集是實數(shù)集還是平面點集?xyEE 為何意為何意?2. 00lim lim( , )yyxxf x yL 對對0 x與與0y有何要求有何要求?是否要求是否要求( , )f x y在在00(,)xy有定義有定義?3. 00lim lim( , )yyxxf x y的定義中的定義中,0

17、lim( , )xxf x y中的中的y是否可取是否可取0?y4. 能否用累次極限求二重極限能否用累次極限求二重極限?5. 兩個累次極限存在且相等兩個累次極限存在且相等,是否二重極限就一定存在是否二重極限就一定存在?6. 二重極限存在二重極限存在,是否累次極限就一定存在是否累次極限就一定存在?7. 兩個累次極限存在且不等兩個累次極限存在且不等,是否二重極限不存在是否二重極限不存在?8. 一個累次極限存在另一個累次極限不存在一個累次極限存在另一個累次極限不存在,是否二重極限不存在是否二重極限不存在?第16頁/共27頁第十七頁，共28頁。二、累次二、累次(lic)極限極限稱稱00( , )(,)l

18、im( , )x yxyf x y為函數(shù)為函數(shù)(hnsh)( , )f x y在在00(,)xy的二重的二重(r zhn)極限極限.1. 累次極限累次極限定義定義3設設0,xyEER x 是是xE的聚點的聚點,0y是是yE的聚點的聚點,( , )f x y在在xyDEE上有定義上有定義.若對每個若對每個0,yyEyy極限極限0lim( , )xxxx Ef x y 存在存在,設設0( )lim( , )xxxx Eyf x y 若極限若極限0lim ( ),yyyy EyL 則稱則稱L為為( , )f x y先對先對x后對后對y的累次極限的累次極限,記作記作00lim lim( , )yxyy

19、xxy Ex Ef x yL 或或00lim lim( , )yyxxf x yL 類似可定義類似可定義00lim lim( , ).xxyyf x y第17頁/共27頁第十八頁，共28頁。例例 求下次函數(shù)在求下次函數(shù)在(0,0)的累次的累次(lic)極限極限:221 ( )( , );xyf x yxy 222( )( , ).xyxyf x yxy 解解(1)22200000000limlimlimlim,xyxxxyxxyx 22200000000limlimlimlim.yxyyxyyxyy (兩個累次兩個累次(lic)極限存在且相等）極限存在且相等）二重二重(r zhn)極限極限22

20、0 0( , )( , )limx yxyxy 存在嗎存在嗎?(2)220000011limlim( , )limlimlim()yxyxyxyxyf x yyxy 220000011limlim( , )limlimlim()xyxyxxyxyf x yxxy 兩個累次極限存在但不相等兩個累次極限存在但不相等二重極限二重極限220 0( , )( , )limx yxyxyxy 存在嗎存在嗎?第18頁/共27頁第十九頁，共28頁。2. 累次極限累次極限(jxin)與重極限與重極限(jxin)沒有必然的聯(lián)系沒有必然的聯(lián)系例例622200000000limlimlimlim,xyxxxyxxyx

21、 22200000000limlimlimlim.yxyyxyyxyy (兩個累次兩個累次(lic)極限存在且相等）極限存在且相等）但二重但二重(r zhn)極限極限220 0( , )( , )limx yxyxy 不存在不存在!例例7220000011limlim( , )limlimlim()yxyxyxyxyf x yyxy 220000011limlim( , )limlimlim()xyxyxxyxyf x yxxy 兩個累次極限存在但不相等兩個累次極限存在但不相等同時二重極限同時二重極限220 0( , )( , )limx yxyxyxy 不存在不存在!第19頁/共27頁第二十

22、頁，共28頁。例例7220000011limlim( , )limlimlim()yxyxyxyxyf x yyxy 220000011limlim( , )limlimlim()xyxyxxyxyf x yxxy 兩個累次極限兩個累次極限(jxin)存在但不存在但不相等相等同時同時(tngsh)二重極限二重極限220 0( , )( , )limx yxyxyxy 不存在不存在(cnzi)!事實上事實上,沿著直線沿著直線 y=kx的極限的極限220 00 0( , )( , )( , )( , )lim( , )limx yx yy kxy kxxyxyf x yxy 201111limxk

23、xk xkkk 所以所以220 0( , )( , )limx yxyxyxy 不存在不存在.第20頁/共27頁第二十一頁，共28頁。例例8設設11( , )sinsin.f x yxyyx(1)000011limlim( , )limlim( sinsin)yxyxf x yxyyx是否是否(sh fu)存在存在?(2)000011limlim( , )limlim( sinsin)xyxyf x yxyyx是否是否(sh fu)存在存在?(3)0 00 011( , )( , )( , )( , )lim( , )lim( sinsin)x yx yf x yxyyx是否是否(sh fu)

24、存在存在?解解(1) 不存在不存在.(2) 不存在不存在.(3)0 00 0110( , )( , )( , )( , )lim( , )lim( sinsin).x yx yf x yxyyx第21頁/共27頁第二十二頁，共28頁。3. 當二重極限當二重極限(jxin)與累次極限與累次極限(jxin)都存在時都存在時定理定理(dngl)16.6若若( , )f x y在點在點00(,)xy二重二重(r zhn)極限與累次極限極限與累次極限00( , )(,)lim( , ),x yxyf x y00lim lim( , )xxyyf x y都存在都存在, 則則00( , )(,)lim( ,

25、 )x yxyf x y00lim lim( , )xxyyf x y 若二重極限和累次極限都存在若二重極限和累次極限都存在, , 則它們必相等則它們必相等. .證證:設設00( , )(,)lim( , ),x yxyf x yA 則則0, 0, 0( , )(; ),P x yP 0U有有|( , )|f x yA (2)由題設由題設, 可假設對任一滿足不等式可假設對任一滿足不等式00 |xx(3)的的x, 有有0lim( , )( )yyf x yx(4)對對(2)式式, 令令0,yy得得| ( )|xA結合結合(3)式式, 得得0lim ( ),xxxA即即00( , )(,)lim(

26、 , )x yxyf x y00lim lim( , )xxyyf x y=A第22頁/共27頁第二十三頁，共28頁。推論推論(tuln)1若若( , )f x y在點在點00(,)xy二重極限二重極限(jxin)與累次極限與累次極限(jxin)00( , )(,)lim( , ),x yxyf x y00lim lim( , ),xxyyf x y都存在都存在(cnzi), 則三者相等則三者相等.00lim lim( , ),yyxxf x y推論推論2若累次極限若累次極限00lim lim( , ),xxyyf x y00lim lim( , )yyxxf x y存在但不相等存在但不相等,

27、則二重極限則二重極限00( , )(,)lim( , )x yxyf x y不存在不存在.(常用來證明極限不存在常用來證明極限不存在)第23頁/共27頁第二十四頁，共28頁。例例9討論討論(toln)下列函數(shù)在點下列函數(shù)在點(0,0)的二重極限與累次極限的二重極限與累次極限.2sin()(1) ( , );xyf x yxy0, 0(2) ( , );1, 0 xf x yx當時當時2222, (3) ( , );(), xyxf x yxyx當 為有理數(shù)時當 為無理數(shù)時2222, , )(4) ( , );(), , )xyx yf x yxyx y當(為有理點時當(為無理點時解解:(1)20000sin()limlim ( , )limlimyxyxxyf x yxy0sinlim1,yyy20000sin()limlim ( , )limlimxyxyxyf x yxy20sinlimxxx220sinlim1 00 xxxx 0000limlim ( , )limlim ( , )yxxyf x yf x y所以所以(suy)( , )(0,0)lim( , )x yf x y不存在不存在(cnzi).第24頁/共27頁第二十五頁，共28頁。(2)00limli