[中學(xué)教育]橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)主講教師：主講教師：楊厭聊楊厭聊1把一個(gè)定點(diǎn)改為兩個(gè)定點(diǎn)把一個(gè)定點(diǎn)改為兩個(gè)定點(diǎn)F F1 1和和F F2 2, ,把距離把距離為定長改為到為定長改為到兩個(gè)定點(diǎn)兩個(gè)定點(diǎn)F F1 1和和F F2 2距離距離的和的和為常數(shù)為常數(shù)2 2a a（大于（大于 F F1 1F F2 2 2 2c c）PF1F2圓的定義是什么圓的定義是什么?1. 1.一個(gè)定點(diǎn)一個(gè)定點(diǎn)2.2.距離為定長距離為定長Po那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓. . 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F1，F(xiàn)2，它們之間的距離為，它們之間的距離為2c，橢，橢圓上任意一點(diǎn)圓上任意一點(diǎn) P到到F1，F(xiàn)2 的距離的和

2、為的距離的和為2a(2a2c)PF1F2 把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F F1 1和和F F2 2距離的和為常數(shù)距離的和為常數(shù)2 2a a（大于（大于 F F1 1F F2 2 2 2c c）的）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓. . 兩個(gè)定點(diǎn)兩個(gè)定點(diǎn)F F1 1，F(xiàn) F2 2橢圓的橢圓的焦點(diǎn)焦點(diǎn), ,兩焦點(diǎn)間兩焦點(diǎn)間的距離的距離 F F 1 1F F2 2 橢圓的橢圓的焦距焦距 以以F1，F(xiàn)2所在直線為所在直線為x軸，線段軸，線段F1F2的垂直平分線為的垂直平分線為y軸，建立軸，建立直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系xOy，則，則F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為(c，0)，(c，0)xyO

3、設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x，y) ，根據(jù)橢圓定義知：根據(jù)橢圓定義知：PF1PF22a，根據(jù)橢圓定義知：根據(jù)橢圓定義知：PF1PF22a，aycxycx2)()(2222 即：即： xyOPF1F整理得：整理得：(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)2222)(2)(ycxaycx 移項(xiàng)得：移項(xiàng)得： 2222222)()(44)(ycxycxaaycx 兩邊平方得：兩邊平方得： 222)(ycxacxa 整理得：整理得： 又因?yàn)橛忠驗(yàn)閍2c20，所以可設(shè)，所以可設(shè)a2c2b2(b0)，于是得：，于是得： )0(12222 babyax為焦點(diǎn)在軸的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為焦點(diǎn)

4、在軸的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程xyOPF1F2)0(12222 babyaxxyOPF1F2)0( 12222 babxay橢橢 圓圓 的的 標(biāo)標(biāo) 準(zhǔn)準(zhǔn) 方方 程程 （1）與方程有關(guān)的三個(gè)數(shù)）與方程有關(guān)的三個(gè)數(shù)a，b，c中中, a為最大，且滿足為最大，且滿足b2a2c2（2）橢圓的焦點(diǎn)位置可由方程中）橢圓的焦點(diǎn)位置可由方程中x2與與 y2的分母的大小的分母的大小來確定，焦點(diǎn)在大分母的項(xiàng)的分子所對應(yīng)的坐標(biāo)軸上來確定，焦點(diǎn)在大分母的項(xiàng)的分子所對應(yīng)的坐標(biāo)軸上說說 明：明：)0(12222 babyax)0( 12222 babxay（）在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，必須注意兩點(diǎn)：（）在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，必須注意兩點(diǎn)

5、：一定位：判定焦點(diǎn)位置；一定位：判定焦點(diǎn)位置；二定量：用帶定系數(shù)法求二定量：用帶定系數(shù)法求a a2 2 ，b b2 21已知橢圓的方程為已知橢圓的方程為 ，則，則a=_，b=_，c=_，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為_，焦距等于焦距等于_練練 習(xí)習(xí)192522 yx543(4，0)，(4，0)82 2如果橢圓如果橢圓 上一點(diǎn)上一點(diǎn)P P到焦點(diǎn)到焦點(diǎn)F F1 1的距離等于的距離等于6 6，則點(diǎn)則點(diǎn)P P到另一個(gè)焦點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)F F2 2的距離是的距離是 . .13610022yx已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-4,0),(4,0),(-4,0),(4,0),橢圓橢圓上一點(diǎn)上

6、一點(diǎn)P P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和等于到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和等于10,10,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. . 例例1 已知已知B、C是兩個(gè)定點(diǎn)，是兩個(gè)定點(diǎn)，BC=6，且，且ABC的周長等于的周長等于16，求頂點(diǎn)，求頂點(diǎn)A的軌跡方程。的軌跡方程。BACOXy例例2.已知已知x軸上的一定點(diǎn)軸上的一定點(diǎn)A（1,0），），Q為橢圓為橢圓 上的動(dòng)點(diǎn)，求上的動(dòng)點(diǎn)，求AQ中點(diǎn)中點(diǎn)M的軌跡方程的軌跡方程.MAQ2-2xOy1422 yx解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x,y)，則則Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2x-1,2y) 因?yàn)橐驗(yàn)镼點(diǎn)為橢圓點(diǎn)為橢圓 上的點(diǎn)上的點(diǎn) 1422 yx所以有所以有 1)2(4)

7、12(22yx即即 14)21(22yx所以點(diǎn)所以點(diǎn)M的軌跡方程是的軌跡方程是 14)21(22yx例例3.已知定圓已知定圓Q: ，動(dòng)圓，動(dòng)圓M和已知圓和已知圓內(nèi)切且過點(diǎn)內(nèi)切且過點(diǎn)P(-3，0)，求圓心，求圓心M的軌跡及其方程的軌跡及其方程 r 8MP PQ QxOy055622xyx 解解: 已知圓可化為已知圓可化為64) 3(22yx圓心圓心Q(3，0)，所以，所以P在定圓內(nèi)在定圓內(nèi) 設(shè)動(dòng)圓圓心為設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y) , 則則 為半徑為半徑 MP又圓又圓M和圓和圓Q內(nèi)切，所以內(nèi)切，所以8MQMP 即即|MP|+|MQ|=8，故，故M的軌跡是以的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓，且為焦點(diǎn)的橢圓

8、，且PQ中點(diǎn)為原點(diǎn)中點(diǎn)為原點(diǎn).171622yx故動(dòng)圓圓心故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是：的軌跡方程是： 例例4 4 過點(diǎn)過點(diǎn)(2,1)(2,1)引直線引直線PQPQ與橢圓與橢圓 相交相交P,QP,Q兩點(diǎn)兩點(diǎn), ,若點(diǎn)若點(diǎn)A A恰好是線段恰好是線段PQPQ的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,求直線求直線PQPQ的方程的方程. .191622yxxyO解法一解法一: :例例4 4 過點(diǎn)過點(diǎn)(2,1)(2,1)引直線引直線PQPQ與橢圓與橢圓 相交相交P,QP,Q兩點(diǎn)兩點(diǎn), ,若點(diǎn)若點(diǎn)A A恰好是線段恰好是線段PQPQ的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,求直線求直線PQPQ的方程的方程. .191622yxxyO解法二解法二: :例5解：解

9、：.AxyOMB，則，設(shè))()(2211yxByxA12222byax1 yx02)(2222222baaxaxba2222222112babxybaaxxxMMM)(222222babbaaM，中點(diǎn)22OMk2222ab)1(222代入ba0)1(222)12(22bxx得：)1(，兩點(diǎn)，、交于與直線已知橢圓22|1)0(12222ABBAyxbabyax，求橢圓方程。的斜率為，的中點(diǎn)為22OMMAB0)1)(12(24812) 1(1|22bAB由弦長公式得：22|AB又232b解得8)1)(12(248 ) 12(222b32 aAxyOMB，滿足01223322yx故所求橢圓方程為0)

10、1 (222) 12(22bxx得：解法二：解法二：.AxyOMB，則，設(shè))()(2211yxByxA12222byax1 yx02)(2222222baaxaxba) 1 (222代入ba 0)1 (222) 12(22bxx得：1 yxxy22) 1222(，M221xx222baa22，兩點(diǎn)，、交于與直線已知橢圓22|1)0( 12222ABBAyxbabyax，求橢圓方程。的斜率為且的中點(diǎn)22,OMMAB例例5) 1 (0)1)(12(24812) 1(1|22bAB由弦長公式得：22|AB又232b解得8)1)(12(248 ) 12(222b32 aAxyOMB，滿足0122332

11、2yx故所求橢圓方程為0)1 (222) 12(22bxx得：例例6nxy41方程為：，于交對稱，且直線關(guān)于直線、設(shè)MlABlBAAB則由已知可設(shè)直線 1 0481681322nnxxy消nxymxy414解方程組)(174mnxm1344122yxnxy解方程組解：解：AxyOB.lM。直線對稱上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該，橢圓：直線的取值范圍，使得對于，試確定方程為：已知橢圓CmxylmyxC4134220134221nxxxmnmn134)(174在橢圓上、又BA0)4816(13464 1 22nn式的13)16169( 42m1313213132m1342n即mn413AxyOB.lM 1

12、0481681322nnxxmn413一，得出同解法解法解法2)3(3)413(134mmMmymmxmm，在橢圓內(nèi)在橢圓上、MBA13)3(4)(22mm.1313213132m解得例例6。直線對稱上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該，橢圓：直線的取值范圍，使得對于，試確定方程為：已知橢圓CmxylmyxC413422134221nxxxm又AxyOB.lM)()()(002211yxMlAByxByxA，的交點(diǎn)與，設(shè)解法解法3AxyOB.lM2134113422222121yxyx則212121214321yyxxxxyy得：由3300 xy4400mxylM又)3(43mmM，解得聯(lián)立.以下同解法二41

13、4300yx4242341213411342121212122222121mxxyyxxyyyxyx說明：) 0( 12222 babyax) 0( 12222 babxay 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 根據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：根據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：( (1) )確定焦點(diǎn)所在的位置，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；確定焦點(diǎn)所在的位置，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；( (2) )求解求解a，b的值，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的值，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(3)在涉及到中點(diǎn)和斜率問題時(shí)在涉及到中點(diǎn)和斜率問題時(shí),盡量用點(diǎn)差法簡化計(jì)算過程盡量用點(diǎn)差法簡化計(jì)算過程.課后練習(xí)：課后練習(xí)：（1）已知橢圓）已知橢圓 上一點(diǎn)上

14、一點(diǎn)P到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) 的距離為的距離為3，則，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是 （ ） A.2 B.3 C.5 D.7 1162522yx1112022yx3131（2）已知橢圓方程為）已知橢圓方程為 ,那么它的焦距是那么它的焦距是 （ ） A.6 B.3 C.3 D. （3）如果方程）如果方程 表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在y軸上的橢軸上的橢 圓，那么實(shí)數(shù)圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是的取值范圍是( ) A.（0，+） B.(0,2)C.(1,+) D.(0,1)222kyx33(5)過點(diǎn)過點(diǎn)P（ ，-2），），Q（-2 ，1）兩點(diǎn)的橢圓標(biāo)）兩點(diǎn)的橢圓標(biāo) 準(zhǔn)方程是準(zhǔn)方程是_1

15、9622yx (4) 過點(diǎn)過點(diǎn)A（-1，-2）且與橢圓）且與橢圓 的兩個(gè)焦的兩個(gè)焦點(diǎn)相同的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是點(diǎn)相同的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是_ (0,/2)，方程，方程x2siny2cos1，表示焦點(diǎn)在，表示焦點(diǎn)在y軸軸上的橢圓，則上的橢圓，則_. (參考答案參考答案:/4,/2) 已知橢圓已知橢圓mx2y28與與9x225y2100的焦距相同，則的焦距相同，則m_. (參考答案參考答案: 9或或9/17) 求與橢圓求與橢圓x2/5y2/41有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3,0)的橢圓的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。的標(biāo)準(zhǔn)方程。 (參考答案參考答案: x2/9y2/81) 已知橢圓已知橢圓x22y2a2(a0)的左焦點(diǎn)到直線的左焦點(diǎn)到直線l：xy20的距離為的距離為 ，求橢圓方程