（整理版）高中數(shù)學(xué)探究性試題匯編（三）

1、高中數(shù)學(xué)探究性試題匯編三探究性試題有助于數(shù)學(xué)思維的提高。21假設(shè)函數(shù)對(duì)定義域中任一均滿(mǎn)足，那么函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。1函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)的值；2函數(shù)在上的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且當(dāng) 時(shí)，求函數(shù)在上的解析式；3在1、2的條件下，假設(shè)對(duì)實(shí)數(shù)及，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：1由題設(shè)可得，解得；2當(dāng)時(shí)，；3由1得， 其最小值為， ，當(dāng)，即時(shí)，得， 當(dāng)，即時(shí)，得，由、得。22. 函數(shù)，當(dāng)點(diǎn)在的圖像上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上移動(dòng)1 假設(shè)點(diǎn)p坐標(biāo)為，點(diǎn)q也在的圖像上，求的值；2 求函數(shù)的解析式；3 當(dāng)時(shí)，試探求一個(gè)函數(shù)使得在限定定義域?yàn)闀r(shí)有最小值而沒(méi)有最大值解：1當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，2分點(diǎn)也在的圖像

2、上，即5分根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得，請(qǐng)相應(yīng)給分2設(shè)在的圖像上那么，即 8分而在的圖像上，代入得，為所求11分3；或 等 15分如：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減， 故 ，即有最小值，但沒(méi)有最大值18分其他答案請(qǐng)相應(yīng)給分參考思路在探求時(shí)，要考慮以下因素：在上必須有意義否那么不能參加與的和運(yùn)算；由于和都是以為底的對(duì)數(shù)，所以構(gòu)造的函數(shù)可以是以為底的對(duì)數(shù)，這樣與和進(jìn)行的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為真數(shù)的乘積運(yùn)算；以為底的對(duì)數(shù)是減函數(shù)，只有當(dāng)真數(shù)取到最大值時(shí)，對(duì)數(shù)值才能取到最小值；為方便起見(jiàn)，可以考慮通過(guò)乘積消去；乘積的結(jié)果可以是的二次函數(shù)，該二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)軸應(yīng)在直線(xiàn)的左側(cè)否那么真數(shù)會(huì)有最小值，對(duì)數(shù)就有最大值了，考慮到該二次函數(shù)的圖

3、像與軸已有了一個(gè)公共點(diǎn)，故對(duì)稱(chēng)軸又應(yīng)該是軸或在軸的右側(cè)否那么該二次函數(shù)的值在上的值不能恒為正數(shù)，即假設(shè)拋物線(xiàn)與軸的另一個(gè)公共點(diǎn)是，那么，且拋物線(xiàn)開(kāi)口向下23函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為常數(shù)。 1求函數(shù)的解析式； 2當(dāng)時(shí)，求在上的最小值，及取得最小值時(shí)的，并猜測(cè)在上的單調(diào)遞增區(qū)間不必證明； 3當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)的圖象上至少有一個(gè)點(diǎn)落在直線(xiàn)上。 解：1時(shí)， 那么 函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，即 ，即 ，又可知 函數(shù)的解析式為 ， 2， ，即 時(shí)， 。 猜測(cè)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為。 3時(shí)，任取， 在上單調(diào)遞增，即，即 ， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象上至少有一個(gè)點(diǎn)落在直線(xiàn)上。24 對(duì)數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，

4、其中。 對(duì)自然數(shù)，規(guī)定為的階差分?jǐn)?shù)列，其中。 1數(shù)列的通項(xiàng)公式，試判斷，是否為等差或等比數(shù)列，為什么？ 2假設(shè)數(shù)列首項(xiàng)，且滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 3對(duì)2中數(shù)列，是否存在等差數(shù)列，使得對(duì)一切自然都成立？假設(shè)存在，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；假設(shè)不存在，那么請(qǐng)說(shuō)明理由。 解：1，是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列。 是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列；也是首項(xiàng)為2，公比為1的等比數(shù)列。 2，即，即， ，猜測(cè)： 證明：當(dāng)時(shí)，； 假設(shè)時(shí)， 時(shí)， 結(jié)論也成立 由、可知， 3，即 存在等差數(shù)列，使得對(duì)一切自然都成立。abmfoyx25如圖，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)f任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦ab，假設(shè)點(diǎn)m在x軸上，且使得mf為

5、amb的一條內(nèi)角平分線(xiàn)，那么稱(chēng)點(diǎn)m為該橢圓的“左特征點(diǎn)(1)求橢圓的“左特征點(diǎn)m的坐標(biāo)； (2)試根據(jù)(1)中的結(jié)論猜測(cè)：橢圓 的“左特征點(diǎn)m是一個(gè)怎樣的點(diǎn)？并證明你的結(jié)論解：設(shè)m(m，0)為橢圓的左特征點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)為，設(shè)直線(xiàn)ab的方程為將它代入得：，即設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么，amb被x軸平分， 即，Þ Þ ，于是，即m(，0)(2)解：對(duì)于橢圓，b = 1，c = 2，于是猜測(cè)：橢圓的“左特征點(diǎn)是橢圓的左準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)證明：設(shè)橢圓的左準(zhǔn)線(xiàn)l與x軸相交于m點(diǎn)，過(guò)a、b分別作l的垂線(xiàn)，垂足分別為c、d據(jù)橢圓第二定義：，即，于是，即，又均為銳角，mf為

6、amb的平分線(xiàn)，故m為橢圓的“左特征點(diǎn)26數(shù)列an中，a7=,當(dāng)n2時(shí)，an=.(1) 求a8,a9,a10的值；(2) 是否存在自然數(shù)m,當(dāng)n>m時(shí)，an<2;當(dāng)nm時(shí)，an>2?假設(shè)存在，求出m的值；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由。(3) 當(dāng)n10時(shí)，證明an.解1a8=, a9=, a10=.(2)an-2=,當(dāng)an-22時(shí)，an2, 又a9=-82,故當(dāng)n8時(shí)an2。由an=得an-1=, an-1-2=.當(dāng)an2時(shí)，an-12。又a8=122，當(dāng)n8時(shí)，an2。綜上所述，滿(mǎn)足條件的m存在，且m=8.(3)an-1+an+1-2an = ( -an)+()=.a10=-3，2。

7、下面證明，當(dāng)n10時(shí)，-3an2，其中當(dāng)n10時(shí)，an2已證，只需證當(dāng)n10時(shí)， an-3。an+3=+3= 當(dāng)an-1-3，2時(shí)，0，即an-3.當(dāng)n10時(shí)，-3an2。因此，當(dāng)n10時(shí)，an-1+an+1-2an 0，即an.27設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為sn，且對(duì)任意大于或等于2的自然數(shù)n，等式3tsn(2t+3)sn-1=3t成立。(1假設(shè)t為正常數(shù)，證明數(shù)列an成等比數(shù)列，并求數(shù)列的公比q及前n項(xiàng)和；2對(duì)1中求得的q，假設(shè)t為變量，令f(t)=q,設(shè)函數(shù)g(t)=3t3f(t),且設(shè)tr，求g(t)的單調(diào)區(qū)間和極值；3研究g(t)k=0的解的個(gè)數(shù).解：(1)由題可知，當(dāng)n2時(shí)，

8、3ts2-(2t+3)s1=3ta2= ,又a1=1,所以 = ,當(dāng)n2時(shí)。由3tsn-(2t+3)sn-1=3t與3tsn-1-(2t+3)sn-2=3t兩式相減可得3tan-(2t+3)an-1=0=,由上可知，對(duì)于自然數(shù)n都有 =式子成立，故an成等比數(shù)列，且公比q = 假設(shè)t=3時(shí)，q=1,此時(shí)sn=n假設(shè)t>0,t3時(shí)，那么sn=.(2)由題可知：q=f(t)=,g(t)=3t3g(t)=2t3+3t2,g'(t)=6t2+6t=6t(t+1)；所以t-，111,000，g(t)+-+g(t)增1減0增當(dāng)t=-1時(shí)，g(t)有極大值1當(dāng)t=0時(shí)，g(t)有極小值0(3)

9、畫(huà)出y=g(t)及y=k的圖象可得：當(dāng)k>1或k<0時(shí)，有一解 當(dāng)k=1或k=0時(shí)，有二解 當(dāng)0<k<1時(shí)，有三解.28、各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且1求數(shù)列的通項(xiàng)；2是否存在正整數(shù)，使不等式對(duì)所有正整數(shù)均成立，并證明你的結(jié)論。解：12 22分4分又 6分8分下面用數(shù)學(xué)歸納證明不等式 該不等式顯然成立當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立綜上1、2對(duì)任意29平面上一定點(diǎn)c4，0和一定直線(xiàn)為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作，垂足為q，且 1問(wèn)點(diǎn)p在什么曲線(xiàn)上？并求出該曲線(xiàn)的方程； 2設(shè)直線(xiàn)與1中的曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)a、b，是否存在實(shí)數(shù)k，使 得以線(xiàn)段ab為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)d0，2？假設(shè)存在，求出k的值，假設(shè)不存在， 說(shuō)明理由.解：1設(shè)p的坐標(biāo)為，由得2分 化簡(jiǎn)得 p點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，其方程為2設(shè)a、b點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，由 得，ab與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，>0，即解得9分假設(shè)以ab為直徑的圓過(guò)d0，2，那么adbd，即，解得，故存在k值，所求k值為.