《數(shù)學(xué)物理方法》第十二章--11級(jí)-2012解析

1、 耐心+堅(jiān)持+努力 成功第十二章 積分變換法 積分變換法是物理學(xué)與其他應(yīng)用科學(xué)中求解數(shù)學(xué)物理方程的一種重要方法， 它適用于求解無界區(qū)域及半無界區(qū)域的定解問題。3積分變換法是積分變換法是 l通過對數(shù)理方程的積分變換，減少自變量的個(gè)數(shù)，通過對數(shù)理方程的積分變換，減少自變量的個(gè)數(shù)，直至化為常微分方程，使求解問題大為簡化。直至化為常微分方程，使求解問題大為簡化。l此外，此外，積分變換法積分變換法還可以用來計(jì)算定積分，求解常還可以用來計(jì)算定積分，求解常微分方程和積分方程微分方程和積分方程l本章介紹應(yīng)用最廣的本章介紹應(yīng)用最廣的傅里葉變換法傅里葉變換法及及拉普拉斯變換拉普拉斯變換法法。12. 1 傅里葉變換

2、本節(jié)介紹傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉積分、傅里葉變換和傅里葉變換的性質(zhì)。512.1.1 傅里葉級(jí)數(shù)和復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)和復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)1.傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)l一個(gè)以一個(gè)以 2l 為周期的函數(shù)為周期的函數(shù)f (x)，若在區(qū)間，若在區(qū)間- -l, l上滿足上滿足狄利克雷條件（即連續(xù)或有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，狄利克雷條件（即連續(xù)或有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，并只有有限個(gè)極大值和極小值），則在并只有有限個(gè)極大值和極小值），則在- -l, l 上可上可展開為傅里葉級(jí)數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)62.復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)l它可由式它可由式(12.1.1)導(dǎo)出，為此令導(dǎo)出，為此令kn=np p/

3、l,則則7l用用e-iknx乘上式兩邊，再對乘上式兩邊，再對x從從- -l到到l積分積分, 利用利用l進(jìn)行求和之后，將所得公式的啞指標(biāo)進(jìn)行求和之后，將所得公式的啞指標(biāo)m全部改用全部改用n表表示，即得展開系數(shù)示，即得展開系數(shù)812.1.2 傅里葉積分傅里葉積分1. 傅里葉積分和傅里葉積分定理傅里葉積分和傅里葉積分定理l周期函數(shù)的性質(zhì)是周期函數(shù)的性質(zhì)是f(x+2l)=f(x), x每增大每增大2l，函數(shù)值就有一次重復(fù)函數(shù)值就有一次重復(fù); l非周期函數(shù)沒有這個(gè)性質(zhì)，但可認(rèn)為它是周非周期函數(shù)沒有這個(gè)性質(zhì)，但可認(rèn)為它是周期期2l 的的“周期函數(shù)周期函數(shù)”，從而可以由式，從而可以由式 (12.1.4)和式

4、和式(12.1.6)出發(fā)，利用出發(fā)，利用l , 把符合把符合一定條件的非周期函數(shù)展開為傅里葉積分一定條件的非周期函數(shù)展開為傅里葉積分9l可以證明，如果定義在可以證明，如果定義在(-,)的函數(shù)的函數(shù)f(x) ,在任一在任一有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件，且絕有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件，且絕 對可積對可積 = 有界有界 ，則在，則在 f(x) 的連的連續(xù)點(diǎn)處，傅里葉積分存在續(xù)點(diǎn)處，傅里葉積分存在l在在f(x)的第一類間斷點(diǎn)處，積分等于的第一類間斷點(diǎn)處，積分等于 l這稱為傅里葉積分定理這稱為傅里葉積分定理10現(xiàn)在將傅里葉級(jí)數(shù)過渡到傅里葉積分現(xiàn)在將傅里葉級(jí)數(shù)過渡到傅里葉積分l由于由于l , 相鄰兩相鄰兩k

5、n，值之差為，值之差為l將式將式(12.1.6)與式與式(12.1.8)代入式代入式(12.1.4)，得，得l后式利用了定積分的定義，上式就是傅里葉積分后式利用了定積分的定義，上式就是傅里葉積分式式(12.1.7).Cn1/l112. 三維形式的傅里葉積分三維形式的傅里葉積分l現(xiàn)在，將傅里葉積分由一維推廣到三維現(xiàn)在，將傅里葉積分由一維推廣到三維l則式則式(12.1.9)可寫成可寫成 采用矢量記號(hào)采用矢量記號(hào)123. 傅里葉積分的三角形式傅里葉積分的三角形式l由式由式(12.1.7)出發(fā)，交換積分次序，并利用歐出發(fā)，交換積分次序，并利用歐拉公式可得拉公式可得 l被積函數(shù)的正弦項(xiàng)是被積函數(shù)的正弦項(xiàng)

6、是k的奇函數(shù)，對的奇函數(shù)，對k的積分的積分為零；余弦項(xiàng)是為零；余弦項(xiàng)是k的偶函數(shù)，為的偶函數(shù)，為(0,)積分值積分值的的2倍。故倍。故131412.1.3 傅里葉變換傅里葉變換1.傅里葉變換的定義傅里葉變換的定義l在傅里葉積分公式在傅里葉積分公式(12.1.7)中，令中，令l這表明這表明 f(x)與與 是互相對應(yīng)的：是互相對應(yīng)的： f(x) 描述的物描述的物理問題，也可以等效地用理問題，也可以等效地用 來描述來描述)(kf)(kf15l從數(shù)學(xué)上講，函數(shù)從數(shù)學(xué)上講，函數(shù)f(x)與與 的關(guān)系就是一個(gè)積的關(guān)系就是一個(gè)積分變換的關(guān)系我們稱分變換的關(guān)系我們稱 為為f(x)的傅里葉變換，的傅里葉變換，記作

7、記作 = Ff(x)，即，即)(kf)(kf)(kfl稱稱f(x)是是 的傅里葉逆變換，這個(gè)運(yùn)算稱為反的傅里葉逆變換，這個(gè)運(yùn)算稱為反演，記作演，記作 ，即，即)(kfl通常還把通常還把 稱為稱為f(x)的像函數(shù)，把的像函數(shù)，把 f(x) 稱為稱為 的像原函數(shù)的像原函數(shù) )(kf)(kf16由式由式(12.1.16)和式和式(12.1.17)可得，可得， f(x)的傅里的傅里葉變換的逆變換等于葉變換的逆變換等于f(x)的自身，即的自身，即 l在量子力學(xué)中，粒子的狀態(tài)是用波函數(shù)來描在量子力學(xué)中，粒子的狀態(tài)是用波函數(shù)來描述的以粒子動(dòng)量為自變量的波函數(shù)述的以粒子動(dòng)量為自變量的波函數(shù)c(p, t)就就是

8、以粒子坐標(biāo)為自變量的波函數(shù)是以粒子坐標(biāo)為自變量的波函數(shù)c(x, t)的傅里的傅里葉變換。葉變換。172.傅里葉的正弦變換和余弦變換傅里葉的正弦變換和余弦變換l若若f(x)為奇函數(shù)，記作為奇函數(shù)，記作fs(x) ，代入式，代入式(12.1.12)和式和式(12.1.13)，由被積函數(shù)的奇偶性易見，由被積函數(shù)的奇偶性易見A(k)=0，將，將B(k)記作記作 。 將結(jié)果代入式將結(jié)果代入式(12.1.11)，并采用記號(hào)，并采用記號(hào)l上兩式稱為傅里葉正弦變換及其逆變換上兩式稱為傅里葉正弦變換及其逆變換182.傅里葉的正弦變換和余弦變換傅里葉的正弦變換和余弦變換l若若f(x)為偶函數(shù)，記作為偶函數(shù)，記作f

9、C(x) ，代入式，代入式(12.1.12)和式和式(12.1.13)，由被積函數(shù)的奇偶性易見，由被積函數(shù)的奇偶性易見B(k)=0，將，將A(k)記作記作 。 將結(jié)果代入式將結(jié)果代入式(12.1.11)，并采用記號(hào)，并采用記號(hào)l上兩式稱為傅里葉余弦變換及其逆變換上兩式稱為傅里葉余弦變換及其逆變換193. 三維傅里葉變換三維傅里葉變換l正如由式正如由式(12.1.7)可以得到式可以得到式(12.1.14)，式，式(12.1.15)一樣，由式一樣，由式(12.1.10)可得可得20【例例12.1.1】求求 的傅里葉變換的傅里葉變換l解解 21【例例12.1.2】求求f(x)=exp2ax2 的傅里

10、葉變換，的傅里葉變換，其中其中a為正數(shù)為正數(shù)l解解 由傅里葉變換的定義出發(fā)，并利用由傅里葉變換的定義出發(fā)，并利用4.2節(jié)節(jié)例例4.2.7 的結(jié)果，便有的結(jié)果，便有22【例例12.1.3】求單位階躍函數(shù)求單位階躍函數(shù)H(x-a) = 的傅里葉變換的傅里葉變換(a0)解解 由定義由定義l由于積分不收斂由于積分不收斂, 故單位階躍函數(shù)的傅里葉變換不存故單位階躍函數(shù)的傅里葉變換不存在在. 為改善其收斂性質(zhì)為改善其收斂性質(zhì), 考慮函數(shù)考慮函數(shù)(b0)23【例例12.1.4 】試證明試證明l解解 題設(shè)的積分不易直接計(jì)算。考慮到題設(shè)的積分不易直接計(jì)算?？紤]到 是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，l 由傅里葉正弦變換的定義由

11、傅里葉正弦變換的定義l可見，只要證明可見，只要證明 , 也即證明也即證明e- -k滿足傅滿足傅里葉正弦逆變換里葉正弦逆變換(見式見式(12.1.20)則本題得證則本題得證24l實(shí)際上，通過兩次分部積分可證，留給讀者作為練實(shí)際上，通過兩次分部積分可證，留給讀者作為練習(xí)習(xí)254. d函數(shù)的傅里葉展開函數(shù)的傅里葉展開ld函數(shù)可以表示為指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的傅里葉積分函數(shù)可以表示為指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的傅里葉積分l證明證明 令令f(x)=d (x-x)代入式代入式(12.1.14), 得得l將上式代入式將上式代入式(12.1.15) 即有即有(12.1.25b)26利用歐拉公式及奇函數(shù)的積分性質(zhì)，可得利用

12、歐拉公式及奇函數(shù)的積分性質(zhì)，可得l式式(12.1.25a)的三維形式為的三維形式為 l這幾個(gè)這幾個(gè)d公式公式(12.1.25)和和 (12.1.26)在量子力在量子力學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用2712.1.4 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)l假定下面需要取傅里葉變換的函數(shù)，均假定下面需要取傅里葉變換的函數(shù)，均滿足傅里葉變換的條件滿足傅里葉變換的條件281.1.線性定理線性定理l若若a1 、a2為任意常數(shù)，則對任意函數(shù)為任意常數(shù)，則對任意函數(shù)f1(x)及及f2(x) ，有，有29證明證明 由定義出發(fā)由定義出發(fā) 30 2.2.延遲定理延遲定理l設(shè)設(shè)x0為任意常數(shù)，則為任意常數(shù)，則 l證

13、明由定義出發(fā)，令證明由定義出發(fā)，令u=x- -x0可得可得 l由式由式(12.1.16)可見可見,Ff(x)僅為僅為k的函數(shù)，與的函數(shù)，與x無關(guān)無關(guān)(x是定積分的積分變量是定積分的積分變量)故故 Ff(u)=Ff(x) (12.1.30)31 3. 3.位移定理位移定理l設(shè)設(shè)ko為任意常數(shù)，則為任意常數(shù)，則(見習(xí)題見習(xí)題12.1.9)32 4. 4.相似定理相似定理l設(shè)設(shè)a為不等于零的常數(shù)，則為不等于零的常數(shù)，則l證明證明 令令u=ax，分別討論，分別討論a0與與a0兩種情形兩種情形l注意當(dāng)注意當(dāng)a 0)l若若s足夠大，函數(shù)足夠大，函數(shù) f1(t) 的傅里葉變換就有可能存在的傅里葉變換就有可能

14、存在(見拉氏變換存在定理見拉氏變換存在定理)，于是，于是l它的傅里葉逆變換為它的傅里葉逆變換為 74作變量變換作變量變換 p = s+iw (12.3.4) l定義函數(shù)定義函數(shù) 為為f1(t) 的傅里葉變換的傅里葉變換l將式將式(12.3.5)，式，式(12.3.4)代入式代入式(12.3.2)l在在0,內(nèi)，內(nèi)，fl(t)e-s s t f(t) ，將式，將式(12.3.1)、式、式(12.3.4)、式式(12.3.5)代入式代入式75兩邊乘兩邊乘 e-s s t l這樣，式這樣，式(12.3.6 )與式與式(12.3.7)構(gòu)成一對新的積分變構(gòu)成一對新的積分變換，并稱換，并稱 為為 f(t)

15、的拉氏變換，記作的拉氏變換，記作l式式(12.3.7) 稱為梅林稱為梅林(Mellin)反演公式，亦即反演公式，亦即 的拉氏逆變換，記作的拉氏逆變換，記作 l稱稱 為為f(t)的像函數(shù)的像函數(shù), f(t)為為 的像原函數(shù)的像原函數(shù)7612.3.2 拉氏變換的存在定理拉氏變換的存在定理l若函數(shù)若函數(shù)f(t)滿足下述條件滿足下述條件l(1) 當(dāng)當(dāng)ts0上存在且解析上存在且解析圖圖12.377證明證明 (1) 證明證明 存在。由存在。由l所以積分式所以積分式(12.3.6)絕對收斂，且絕對收斂，且 在右半平在右半平面面Re p = ss0存在存在.(2) 證明證明 解析。在式解析。在式(12.3.1

16、2)的積分號(hào)內(nèi)對的積分號(hào)內(nèi)對p求求偏導(dǎo)，并取偏導(dǎo)，并取 (s1為任意實(shí)常數(shù)為任意實(shí)常數(shù))，則有，則有(12.3.12)78這表明這表明 在半平面在半平面Re p = ss0上一致收斂，交換積分與微商上一致收斂，交換積分與微商的次序，得的次序，得l既然既然 的導(dǎo)數(shù)在的導(dǎo)數(shù)在Re p = ss0上存在且有限，故上存在且有限，故 在在Re p = ss0內(nèi)解析內(nèi)解析.7912.3.3 常用函數(shù)的拉氏變換常用函數(shù)的拉氏變換(1) 若若f(t)Ceat (a為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù))，則，則(12.3.13) (2) 若若f(t)sinbt 或或 cosbt (b為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù))，則，則(12.3.14) (12.3

17、.15) 80(3) 若若 f(t) = = tb b (Reb b -1-1)，則，則l分別令分別令b =-1/2 及及b =n (式中式中n=0,1,2,), 則則Rep 0 (12.3.16)81其他函數(shù)的拉氏變換其他函數(shù)的拉氏變換l可以通過上述函數(shù)的拉氏變換及拉氏變換的性質(zhì)求可以通過上述函數(shù)的拉氏變換及拉氏變換的性質(zhì)求得，也可直接由定義出發(fā)計(jì)算，得，也可直接由定義出發(fā)計(jì)算，還可直接查閱拉還可直接查閱拉氏變換表氏變換表( (表表12-1).12-1).表表 12-182表表 12-1 續(xù)續(xù)8312.3.4 拉氏變換的性質(zhì)拉氏變換的性質(zhì)l假定取拉氏變換的函數(shù)，均滿足拉氏變換的條件假定取拉氏

18、變換的函數(shù)，均滿足拉氏變換的條件(見見拉氏變換的存在定理拉氏變換的存在定理) 1. 1. 線性定理線性定理l若若al、 a2為任意常數(shù)，則為任意常數(shù)，則(12.3.20) (12.3.19) 84證明證明 只證明式只證明式(12.3.19)(12.3.19)，第二式的證明留作練，第二式的證明留作練習(xí)習(xí). . 由定義出發(fā)由定義出發(fā) 85【例例12.3.1】求求Lshat和和Lchat的值的值.l 解解 862.2.延遲定理延遲定理l設(shè)設(shè) t t 為非負(fù)實(shí)數(shù)，則為非負(fù)實(shí)數(shù)，則Lf(t-t t) = e- -pt t Lf(t) (12.3.21)l證明證明 由定義出發(fā)由定義出發(fā)u = t-t-t

19、, 可得可得l利用利用us s0是一致收斂的，上面交換積分次序是是一致收斂的，上面交換積分次序是“合合法的法的 ”95 9. 9.卷積定理卷積定理L f1(t)f2(t) = L f1(t)L f2(t) (12.3.31)l證明證明 由卷積及拉氏變換的定義出發(fā)，交換積分次由卷積及拉氏變換的定義出發(fā)，交換積分次序，作變量代換序，作變量代換 u = t-t-t ，可得，可得96下限可寫成零，將下限可寫成零，將exp(- -pt t)提出積分號(hào)外，有提出積分號(hào)外，有l(wèi)計(jì)算計(jì)算 l對上式作逆變換，即有對上式作逆變換，即有由于當(dāng)由于當(dāng)u0時(shí)時(shí)f(u)=0 的積分的積分97l根據(jù)梅林定理導(dǎo)出拉普拉斯變換

20、普遍的反演根據(jù)梅林定理導(dǎo)出拉普拉斯變換普遍的反演公式公式-展開定理展開定理l10.10.展開定理展開定理展開定理展開定理l若當(dāng)若當(dāng) 一致地趨于零，一致地趨于零， 且且 只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)bk( k =1,2,)，則，則98證明證明 梅林公式為梅林公式為l梅林公式的積分路線是梅林公式的積分路線是p平面平面上與虛軸平行的直線上與虛軸平行的直線 l (圖圖12.4)l為了運(yùn)用留數(shù)定理進(jìn)行計(jì)算，為了運(yùn)用留數(shù)定理進(jìn)行計(jì)算，選擇一條閉合回路選擇一條閉合回路L：以坐標(biāo)：以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心原點(diǎn)為圓心, R為半徑作一圓弧為半徑作一圓弧CR，使，使CR與與L構(gòu)成一閉合回路構(gòu)成一閉合回路L = CR

21、 + l99仿照若當(dāng)引理，可以證明仿照若當(dāng)引理，可以證明l回路回路L由由 l +CR構(gòu)成，由上式及留數(shù)定理可得構(gòu)成，由上式及留數(shù)定理可得l式中式中bk為為 在在p平面上有限遠(yuǎn)處的全部平面上有限遠(yuǎn)處的全部奇點(diǎn)。拉普拉斯變換的存在定理指出，奇點(diǎn)。拉普拉斯變換的存在定理指出， 在在直線直線L的右側(cè)解析的右側(cè)解析100【例例12.3.4】已知已知 l解解 首先將首先將 之積，其中之積，其中 l 由式由式(12.3.13)得得 l 其拉氏逆變換為其拉氏逆變換為101由例由例12.3.3得得l其拉氏逆變換為其拉氏逆變換為l 差一個(gè)因子差一個(gè)因子p，利用微分定理于，利用微分定理于g(t) =te-b-b t

22、 ,便有便有l(wèi)其拉氏逆變換為其拉氏逆變換為102將式將式(12.3.33)及式及式(12.3.35)代入卷積定理代入卷積定理l對上式作拉氏逆變換，因?yàn)橐鸭僭O(shè)作拉氏變換的函對上式作拉氏逆變換，因?yàn)橐鸭僭O(shè)作拉氏變換的函數(shù)滿足存在數(shù)滿足存在定理的條件定理的條件(1)，即函數(shù)的宗量小于零時(shí)，即函數(shù)的宗量小于零時(shí), 該函數(shù)為零該函數(shù)為零.l由由t- -t t0 0及及t t0 0得得t t 的積分區(qū)域?yàn)榈姆e分區(qū)域?yàn)?到到 t103據(jù)此得據(jù)此得l最后的等式是利用分部積分法求得的最后的等式是利用分部積分法求得的.104【例例12.3.512.3.5】求解常微分方程的初值問題求解常微分方程的初值問題l(1)對

23、初值問題作拉氏變換對初值問題作拉氏變換.利用微分定理及初始條利用微分定理及初始條件可得件可得 l(2)求解像函數(shù)求解像函數(shù) 解上述代數(shù)方程，得解上述代數(shù)方程，得 105(3) 對像函數(shù)作拉氏逆變換對像函數(shù)作拉氏逆變換.l利用卷積定理可得利用卷積定理可得l由由例例12.3.1得得 C0ch(at) 及及 C0/ach(at) 106將以上三式代入式將以上三式代入式(12.3.36)，得，得107【例例12.3.6】已知已知l解解 f(p)為多值函數(shù)，支點(diǎn)為為多值函數(shù)，支點(diǎn)為-1-1到到。從從-1-1到到- -沿負(fù)實(shí)軸沿負(fù)實(shí)軸作割線，規(guī)定割線上岸作割線，規(guī)定割線上岸l (p+1)的輻角值為的輻角值

24、為p p，割線下，割線下岸輻角為岸輻角為-p-p：l選擇積分回路選擇積分回路L如圖如圖12.5所所示示.試?yán)谜归_定理，求試?yán)谜归_定理，求 f(t).108對于圓弧對于圓弧Ce e上的上的p，有，有|p+1|=e el由小圓弧引理得由小圓弧引理得l由由 在回路在回路L內(nèi)部解析內(nèi)部解析, 故回路積分為零故回路積分為零109根據(jù)梅林公式及留數(shù)定理得根據(jù)梅林公式及留數(shù)定理得110作變量代換作變量代換u=x x2，利用歐拉積分利用歐拉積分 111作業(yè)作業(yè)- 12.3 第第271頁頁1組組2組組3組組1.1

25、2.3.712.4 拉普拉斯變換法本節(jié)應(yīng)用拉氏變換求解波動(dòng)方程與熱傳導(dǎo)方程的定解問題.無論方程與邊界條件是否為齊次，其求解步驟均為：(1)對方程及邊界條件作拉氏變換；(2)求解象函數(shù)，(3)對象函數(shù)作拉氏逆變換得解.113l采用拉氏變換法求解定解問題時(shí)采用拉氏變換法求解定解問題時(shí), 往往是針往往是針對對時(shí)間變量時(shí)間變量t t進(jìn)行的進(jìn)行的, 特別是對帶有邊界條件特別是對帶有邊界條件的定解問題的定解問題.l在解題時(shí)，采用簡寫記號(hào)在解題時(shí)，采用簡寫記號(hào) 11412.4.1 波動(dòng)方程的定解問題波動(dòng)方程的定解問題【例例 12.4.1】求解半無界波動(dòng)方程的混合問題求解半無界波動(dòng)方程的混合問題解解 1. 對方程和邊界條件作關(guān)于對方程和邊界條件作關(guān)于t 的拉氏變換的拉氏變換.由拉氏由拉氏變換的定義、微分定理及初始條件可得帶參數(shù)變換的定義、微分定理及初始條件可得帶參數(shù) p 的的常微分方程的邊值問題常微分方程的邊值問題115l2. 2. 求解象函數(shù)求解象函數(shù)u(x,p)方程方程 (12.4.4)的通解是相應(yīng)的齊次方程的通解與的通解是相應(yīng)的齊次方程的通解與(12.4.4)式式的特解之和的特解之和, 即即 l將式將式(12.4.6)代入式代入式(12.4.5), 得得C10, C2 l代入上式，便有代入上