二次根式的有關概念及性質

1、二次根式的有關概念及性質一、二次根式的有關概念：1.二次根式：式子也(a 0)1做二次根式。2.最簡二次根式：滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式;(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。如 花 不是最簡二次根式，因被開方數(shù)中faV3含有4是可開得盡方的因數(shù)，又如v3，屈J,.都不是最簡二次根式，而T ,-Ju屈，5揶，旨都是最簡二次根式。3.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式。如L,就是同類二次根式，因為 =2 0，無=3它們與也的被開方數(shù)均為2。4.有理化因式：兩個含有二次根

2、式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，則說這兩有與有，a+4與a-,，&-I1板與& +出，互為有理化因 式。二、二次根式的性質:1. J(a 姓一個非負數(shù)，即也 0;個代數(shù)式互為有理化因式。如2.非負數(shù)的算術平方根再平方仍得這個數(shù)，即:(也)2=a(a 0)3.某數(shù)的平方的算術平方根等于某數(shù)的絕對值，即=|a|=4.非負數(shù)的積的算術平方根等于積中各因式的算術平方根的積,5.非負數(shù)的商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根，即(a 0,b0)三、例題:例1.x為何值時，下列各式在實數(shù)范圍內才有意義:J3-X(1)(2)掘掘+3(3)3-|x|分析：這是一組

3、考察二次根式基本概念的問題，要弄清每一個數(shù)學表達式的含義，根據(jù)分式和根式成立的條件去解，即要考慮到分式的分母不能為0并且偶次根號下被開方數(shù)要大于或等于零。解：(1)6-x0,x 0, x2+30,x取任意實數(shù)原式都有意義。(3)p-x0 fx3k-i卻。卻。.當x053對對.踞踞35當-項0.0.即勺如=很訓(aA 0,b A)Ct(4)+ 3 + J-2x + 5t-1當XAO且X四時，原式有意義。(6)x=1.x-20 x22-x0 -X V x=2-當x=2時，原式有意義。例2.寫出下列各等式成立的條件:(D(2) Jm%? =_mn(5)+ 10 x+ 25. j4-4x+ x3=7分

4、析：本題考察算術平方根的概念及二次根式的性質。. -3x0,3x0, - x0,rr0且n 0 x + l0l-x0X-1x2.例3.化簡下列各式：_ jm_ _(1) JOT(2) a2k (m0)(3)1-二二 一一 +|2-x|+ -作-（4）（3此（5） （x-y盧盧 + 底底-誠誠+ k（6）依勺。依勺。12（y0）（7）J168x +妒妒+舊十十+1分析：在二次根式化簡的題目中，若有已知條件或隱含條件，則根據(jù)已知或隱含條件化簡，已知條件或隱含條件時，則必須加以討論，特別是對于開方后式中有兩個絕對值以上的題目, 采取零點分段的方法逐一加以考慮。g（2）m0,要使V a有意義，貝u a

5、0,(3). 2x0或3x-10兩種情況進行了討論。(2x3,(4)=|3x-1|=1一3礎C）原式 =：-+|2-x|+(5)(x-yj 汗汗 + 材材-2xy + y，-Qy-X有意義，y-x0y-_-原式=(x-y) kT-+-：*“yx-y+y-x=-+y-x.(6) . y0,.原式=同宙3獨)=2|xy| L ：二=-2|x|y當xAO時，原式=-2xy J16-8x +妒妒+Jx?+2x+l-若|4-x|=0，則x=4;若|x+1|=0則x=-1 ,則本題需要將x的取值分成三段，即分xV1,x A 4三段來進行討論。當xV1時，原式=4-x+(-x-1)=4-x-x-1=3-2x

6、.當-1x4時，原式=x-4+x+1=2x-3.例4.把根號外的因式移至根號內:(4)x 相相(x 0)(5) a=：一+：，=|4-x|+|x+1|-1x4,(2) -5 右右(3) m，(mA 0)當xO,bj能將根號外的正因式移至根號內分析：（1）觀察已知條件，等式右邊有兩個根式，要使兩個根式有意義，則 x=2 ,y=1,從而可求出x+2y的值。x-20 0 x=2,y=1當x=2, y=1時x+2y=2+2X 1=4.(2)解：/ +|x-2y|=0兩個非負數(shù)的和為零，則只有每個非負數(shù)都為零,解:(1)2%E =圭=20。(2)-5 =- J5=_ J25a。(3)rr0,3，求：x+2y的值。