2011《非線性振動》試題解答

1、華中科技大學(xué)研究生課程考試試卷公共課課程名稱：非線性振動與控制課程類別 專業(yè)課考核形式_開卷口閉 卷學(xué)生類別考試日期2011. 12. 21學(xué)生所在院系 學(xué)號 姓名任課教師題1：（ 20分）Con sider the moti on of a particle of mass by parabola z px which rotates about the that the wire is weightless and that an gularvelocityischa ngingwithpositi on of the mass along the wire. There is no ou

2、tside in flue nee acting on the wire.(a) Show that the equations of motion2& &x 0and (1 4p2x2)X& 4p2xX(2 pg 2)xm sliding freely on a wire described z-axis as show n in Figure 1. We assumeFigure 1 Particle on a rotati ng parabola(b) Show that where H is2xcon sta ntJhofin tegrati on(esse n

3、tially this is a stateme nt of con servati on of an gular mome ntum) and that thegover ning equati on forx can be writte n in the form(1 4p2x2)&& 4p2x& (2 pgH-)x 0x(c) Discuss the motion of the mass along parabola.Show thatthe motion is alwaysboun ded in this system.(d) For p 1, g 32.2,

4、h 1000and H12, plot the trajectories in the phaseplane.【注：這里g為重力加速度，g 32.2這一值的單位為ft /s2。題2：（20分）Determ ine the sin gular points and their types for the system& x2 y2 5& xy 2Sketch the trajectories and the separatrices in the state pla ne.題3: (20分)Con sider the moti on of a system gover ned b

5、y(2 11&2l&| l&|3&)0u& 2uwhere1.(a) Show thatwhereu acos( 0t) O()a (42323、1a20a3132 08 3oa )(Note that 3 must be positive for a realistic system.)(b) Determine the stationary motions and their stability as a function of the1 and 2.magnitudes and the sig ns of題4: (20分)Con sider the

6、 system gover ned by&& sin 22 & K cos t(a) Whenresponseis near unity, show that for small but finite amplitudes of the3a(T2)cosT。(T2) O()13whereaa ksi n412 kacos16aT2,21and 2 3k KHere is a measure of the amplitude of the response. Obtain the frequency-response.1/3equati on. Show that ama

7、x (4 k /). How does this value of amax compare with thatthe case of linear viscous damping? Plota versus and k . Is there a jumpphe nomenon?(b) Whe nis n ear one third (superharm onic resp on se), show thata(T2 )cosT°(T2) 8 k cos( T0) 0( 3)8wherea2 ( 2a2尹3(|cos1 -si n6)23,1 2a 、21-()(sincos)28a

8、 361,k andObta in the freque ncy-resp onse equati on. Plotphe nomenon?(c) When is n ear 3 (subharm onic resp on se), show that1(T2) - K cos(82/1 a (sin83 a(- cos8a(T2)cosTowhere3(2versus1 2、a )a 81 2、/IandTo)T2 3 ,3,k and16.Is there a jump0(3)cossinObta in the freque ncy-resp onse equati on. Plot ph

9、e nomenon?a versusandk16.Is there a jump題5: (20分)Con sider the system show n in Figure 5 whe n the tension(a) Show that the gover ning equati on isT To(1 sin t).mX& 2To(12 2 1/2sin t)x(l x )0(b) Lin earize the gover ning equati on to obta in2X& 0 (1 sin t)x 0,2Tml(c) Determ ine sec on d-orde

10、r expa nsions for the tran siti on curves separati ng stability from in stability whe n0, 2 0(d) If x 0(), determ ine the in flue neeof the non li near terms to first orderwhen 2 0.Figure 5 Particle attached to stretched string注意：所有的題目并沒有給出完整的解答，以此作為提供一個(gè)解題思路，希望自己推導(dǎo)一遍 (使用自己習(xí)慣的一套符號)，修改和完善其中的不妥之處，然后補(bǔ)全沒

11、有給出解答的部分 即可。切勿雷同！ ! ！ 題一解：這題關(guān)鍵算Jacobi積分，可以參考Nayfeh的非線性振動第二章，或用Mathematica軟件計(jì)算。本題 有的地方推導(dǎo)過于簡單，有些地方?jīng)]有必要，希望稍作修改。第三問的分析 可能不太恰當(dāng)！ !！(a)系統(tǒng)動能為T m& 1 m( x)2222(1.1)1 m(2px&2 m& 1 m( x)22 2 21 m(4 p2x21)&- m 2x22 2系統(tǒng)的勢能為代入Lagrange方程V mgz mgpx2(1.2)(1.3)這里取廣義坐標(biāo)為 運(yùn)動微分方程和x，其中 是金屬絲旋轉(zhuǎn)過的角度，有關(guān)系 &，

12、由此得到系統(tǒng)的(1.4)(1.5)(1.6)(1.7)2 & &x 0(1 4p2x2) && 4 p2x& (2 pg 2)x 0(b)積分式(1.4)得到其中.H是積分常數(shù)。把式(1.6)代入式(1.5)并整理得到(1 4p2x2)x& 4p2xj8? (2 pg 2)x 0 x(c )下面來求出描述相平面上的運(yùn)動方程。設(shè)dvdx(2gp H x4)x 4p2xv2(1.9)(14p2x2)v此式可以改寫為2(14p2x2)d(v2) (2gpH. x4)xdx 4p2xv2dx 0(1.10)方程(1.10)積分有(14p2x2)v2o2

13、H .2gpx h(1.11)從方程(1.8)中消去t，我們得到x表明，此系統(tǒng)的 T V不是一個(gè)常數(shù)。積分(1.11)稱為 Jacobi& v, V(2gp H x4)x 4p2xv21 4p2x2(1.8)式中h是常數(shù)。方程(1.11)積分。改寫(1.11)可以得到v2h 2gpx2 H x21 4p2x2(1.12)并由此可以得出注意到H 0, pdvdx(2gpH x4)x 4hp2x 8Hp2 x(h 2gpx2 H x2)12(1 4p2x2)32(1.13)0，所以h式(1.12)右邊分子必須半正定,2gpx2 Hx2即h 2、2gpH，當(dāng) x2,H 2gp時(shí)取等號。解得h

14、oho 2pgx2H°x20(1.14).h0 8pg H 0x2ho.h2 8pg H04 pg4pg(1.15)因此運(yùn)動是有界的，它用圍繞原點(diǎn)的一些閉軌線來表示，而原點(diǎn)是一個(gè)中心。(d)編程的方法課上老師已經(jīng)交給大家了，自己編寫一小段程序即可。下面的程序僅為示例，不是最終結(jié)果。勿用此程序畫的圖。%題一：畫軌線圖%畫一條曲線，先確定參數(shù)x范圍% clear all;clc;p=1.0;g=32.2;h=1000.0;H=12.0; dt=0.0001; x0=0.5; v0=0.5;II=6740;X(1:II)=0.0;V(1:II)=0.0;X(1)=x0;V(1)=v0;fo

15、r i=2:IIx1=x0+v0*dt;v仁 v0-(2*g*p-H/(x1A4)*x1+4*pA2*x1*v0A2)/(1+4*pA2*x1A2)*dt;x0=x1;v0=v1;X(i)=x0;V(i)=v0;endfigure;plot(X,V,'r');hold on;on;題二解：因?yàn)?amp;&2 xxy2y25(2.1)所以系統(tǒng)的奇點(diǎn)滿足2 x2y50(2.2)xy20由此解得奇點(diǎn)為 si(1,2),s2( 1, 2),S3(2,1),S4( 2, 1)(1 )對原方程在奇點(diǎn) $(1,2)附近線性化，得系統(tǒng)矩陣的特征方程為特征值為& 2x14%&am

16、p; 2x1%2 3603 7333V3322 2(2.3)(2.4)(2.5)由于1和2異號，所以奇點(diǎn) 3(1,2)為鞍點(diǎn)，它是一個(gè)不穩(wěn)定奇點(diǎn)。 (2 )對原方程在奇點(diǎn) 勺(1, 2)附近線性化，(3) 對原方程在奇點(diǎn) Ss(2,1)附近線性化，(4) 對原方程在奇點(diǎn) s4( 2, 1)附近線性化，(2)、(3)和(4)方法同(1)，此處略。這里只提供一個(gè)例子，修改初值會得到不同的曲線，需畫3040條線可以反映出題目的要求。下面仍然是舉例說明，例子中只畫出了其中兩條相軌線。% %題二畫相軌跡圖% clear all;x0=1.0001;y0=2.00;dt=0.001;11=2350;X(1

17、:ll)=0;Y(1:II)=0;X(1)=x0;Y(1)=y0;for i=2:II;x1=x0+(x0A2+y0A2-5.0)*dt;y1=y0+(x0*y0-2.0)*dt;x0=x1;y0=y1;X(i)=x0;Y(i)=y0;end figure; plot(X,Y,'r') hold on;% clear all;x0=0.9999;y0=2.00;dt=0.001;II=10000;X(1:II)=0;Y(1:II)=0;X(1)=x0;Y(1)=y0;for i=2:II;x1=x0+(x0A2+y0A2-5.0)*dt;y1=y0+(x0*y0-2.0)*dt

18、;x0=x1;y0=y1;X(i)=x0;Y(i)=y0;end plot(X,Y,'r') hold on;題三解：說明：(b)小題中線性化可能存在問題，因?yàn)榘凑毡窘獯鸬慕Y(jié)果在后面做穩(wěn)定性分 析時(shí)，十分復(fù)雜。在奇點(diǎn) as2附近和奇點(diǎn)as3附近線性化時(shí) 可能沒有中括號中的第三項(xiàng)？！2u& oU f(U,U)(2.6)其中 f(u,U) (2 iU& 2&|&|3U3)(a)使用多尺度方法求解。設(shè)方程的解為2U U0(T0, T1 ,T2)U1 (T0, T1 ,T2)U2(T0 ,T1 ,T2) L(2.7)將此代入方程(2.6)，令 的同次幕系

19、數(shù)相等，得22D0U00U00(2.8)22Do UioUi2DoDiUof(Uo,DoUo)(2.9)方程(2.8)的解為Uo A(Ti,T2)eioTo A(Ti,T2)eioTo(2.1O)其中A現(xiàn)在還是任意的。將(2.1O)代入方程(2.9)，得D花花 2i OD1Aei oTo 2i OD1Ae i oTof(Aei oToAe ioTo,i0AeoToi0AeioTo)可知f(Uo,DoUo)為To的周期函數(shù)，將其展開為Fourier級數(shù)，有f(Uo,DoUo)fn(A,A)ein oTo(2.12)_ . . _ . (2.11)i(a ia )2if (a cos , a 0

20、sin )e " d(2.16)其中nfn(A,A) 2 0 0fgein oTodTo(2.13)為了從方程(2.11)中消去永久項(xiàng)，必須有12oi t2iD1Af e 0 odTo(2.14)2 0上式是A關(guān)于T1的自洽微分方程，因此，A可以按T解出。求方程的一階近似解，那么A只是T1的函數(shù)。于是，可令1A(TJ -a(T1)ei2(2.15)將(2.15)代入式(2.14)，得分離實(shí)部和虛部，得(2.21)注意到a和 是對T1，因此它們對t的導(dǎo)數(shù)為a (42323、1a2 °a38 30a )(2.22)& 0(2.23)那么，方程(2.6)的一階近似解為ua

21、 cos( 0t)0()(2.24)，由于&0，所以為常值，關(guān)于a的oao sin2cos0f (acosa 0sin )df (a cos , a 0 sin )d因?yàn)?f(u,i&)(22&| &|3U&)，所以f(acos , a 0sin )2 1a 0sin由此得到12asin21a 0sin2004232 3(1a20a30a )3812cos21a 1°sin2°a00(2.17)(2.18)3332a 0 sin | a 0 sin |3a0 (sin )(2.19)2a2 o sin | sin |3a3 0(sin

22、 )3d(2.20)2a2 0sin |sin |3a3 3(sin )3das10, as2方程的奇點(diǎn)為(注意到3 0 )16 2.'256 2216 2 1 316 2.'256 1 216 2 1 3小,as3930930(b)方程(2.6)的一階近似解為u acos( ot令a asi v ,可得到三個(gè)奇點(diǎn)附近的線性化方程分別為奇點(diǎn)as1附近8&1 c ；(16 2 J25622162 13)奇點(diǎn)as2附近273(512 I216 21 3 322 .256:216213).7223】v& 1( 16 2V256；216213)奇點(diǎn)as3附近273(51

23、2 2216 21 3 322 256f216213 7223v(2.26)(2.27)(2.28)(1) 奇點(diǎn)as1的穩(wěn)定條件為 1 0 ,但此時(shí)穩(wěn)態(tài)常值振幅為 0,存在振幅為0的穩(wěn)定極限環(huán)。(2) 奇點(diǎn)as2的穩(wěn)定條件為，參考課件穩(wěn)定性分析參考可見上的相關(guān)內(nèi)容(略)。題四解：說明：本題給出了( a) ( b)兩問的推導(dǎo)過程，(c)問的推導(dǎo)類似于(b),實(shí)際上 還要用到(b)的部分結(jié)果，因此相對簡單得多，希望自己推導(dǎo)一遍。所有的圖都沒有給出，需要自己畫。(a)首先將sin作幕級數(shù)展開，并保留到三階項(xiàng)，則原方程變?yōu)?amp;； 322 & Kcos t(2.29)01， 接近1,為主共

24、振。為了得到主共振響應(yīng)，必須使阻尼項(xiàng)、非線性項(xiàng)和激勵項(xiàng)同時(shí)出現(xiàn)在同一階方程中。令K 2 3k,2， 為解諧參數(shù)。設(shè)方程(2.29)的解為(t,)1(T0 ,T1, T2 )2 (T0, T1 ,T2 )3(T0,T1, T2 )(2.30)將(2.30)代入(2.29)，保留到3嘰得令上式中2、(D0 11)3Do 32 2(D0 22D0D22D0 D12D0D1 21)2 (D0 1)1 2k cos(T。)(2.31)的同次幕的系數(shù)為零,D2D02 22D 0D1(2.33)3 keiT°ke i2D1 12 D0 D2 1 2D0D1 22 (D0 1)31 (2.34)方程

25、(2.32)的解為iTiT(2.35)A(T1,T2)e 0 A(T,T2)e 0將(2.35)代入(2.33)，得Do2ieiT°D1A2ie iT0 D1A(2.36)為了從上式中消去永久項(xiàng)，必須有D1A0 A A 仃 2)(2.37)那么，方程(2.33)的解為把(2.35)和(2.38)代入(2.34)，得2D。334 A2AeIT04 A3e3IT02i2iA2AeiT0A3e3iT02iA eiT0cckei T0為了從上式中消去永久項(xiàng)，必須有2iA；a2A2ia2Ai T2ke 20令A(yù) 4 ae，得a a1k cos()花 a3.ii a ；3 aksin()0其中式

26、(2.41)成立的條件是實(shí)部和虛部都為零，即有13.aaksi n412 ka cos16 a方程(2.29)的一階近似解為3a(T2)cosT。(T2) 0()方程(2.42)和(2.43)有定常解必須滿足0。由此得到13a4消去，得到頻率-響應(yīng)方程為ksin0,1 2 a 16-cos 0 a從式(2.46)中解出，得k2(256丄162、42)a a蛍 1 ,16k2 a6 216 4a '2 6 2由16k a 0,可得到A g Oa max (4 k,)從式(2.46)中解出k，得21 a2( 112)a4825616(2.39)(2.40)(2.41)(2.42)(2.43

27、)(2.44)(2.45)(2.46)(2.47)(2.48)(2.49)分析及結(jié)論略，圖片根據(jù)課件及課堂上老師介紹的方法畫。(b)為求超諧共振，需要指定激勵項(xiàng)為非共振硬激勵，為此令K k(2.50)將(2.30)代入原方程，保留到 3嘰并令的同次幕系數(shù)相等，得DoT)；ke i To(2.51)Do22DoD1 1(2.52)2Do 3D122 D0D2 1 2D0D1 22 (Do i)16(2.53)方程(2.51)的解為AEDe%eiToCC(2.54)其中 k；2(12)。把(2.54)代入(2.52)，得Do2ieiToD1A2ieiToD1A(2.55)為了從上式中消去永久項(xiàng)，必

28、須有A A仃 2)(2.56)那么，方程(2.52)的解為(2.57)把(2.54)和(2.57)Do2i4i代入(2.53)，i A3e3iTo4i A2iTo(1 2 )把 3(14i3A3e3iToA 2 e2AeiTo( 1 2)2A eiTo( 1 e iTo 4i2i2 )號A2eiTo(22i 3 e oA2AeiTo 2i4iA2eiTo( 2eiTo 2iJo(2)2i3 iTo今 A 2eiTo(1A 2eiTo(1 2)舟 A2AeiTo2AeiTo(2i eiTo2iaA)16A23iToeiTo(22_iTo令 A iae2 、)代入式(2.58)T2消去永久項(xiàng),A

29、4i，得4ieiTo(2iA eiToA2aA2 )CC一 A 舟 A2A2ia2Ae iToA_eiT。2iA o(2.58)(2.59)3ei( t2) 2i 3 ei( t2ia 0(2.60)a 1 3(12cossin ) 4 a32_a176 a236a(cos12 sin )1 _2注意到，即有a 43 a22a3 / 2(3 cOs；sin )1 221 J 花aT (i cos3sin )令，分離實(shí)部和虛部，得所以一階近似解為a(T2)cosTo(T2)8KCOS(To)O(3)其中1,and鼬。頻率-響應(yīng)方程為(a22a6136ia4)6(c)為求亞諧共振，把(32 )代入

30、式(2.58)，消去永久項(xiàng)，有參考超諧共振(2.61)(2.62)(2.63)(2.64)(2.65)(2.66)題五解：說明：(a) (b)過程簡略，希望寫詳細(xì)點(diǎn)。(a)細(xì)繩本身不能伸長，但兩端可以運(yùn)動，在不計(jì)重力的條件下，細(xì)繩中的張力大小沿繩 長不變，處處為T，因此，對質(zhì)點(diǎn) m應(yīng)用Newton第二定律，得m&& 2T sin(5.1)其中 arctanf。又T T0(1 sin t)，代入式(5.1)并整理，得(b)mX& 2To(1sin t)x(l2x2) 12 0(5.2)當(dāng)x l小而有限時(shí)，在 x l 0附近將(5.2)方程中的函數(shù)展開，保留到(c)方程(5

31、.3)為Hill&& 証1 sint)x0,2 2T00 m(5.3)2方程，p(t) 0(1sint)的周期T 2。使用約束參數(shù)法。設(shè)方程的解為x(t;)X°(t)X1(t)2X2(t) L(5.4)(5.5)代入方程(5.3)，可得X020X0(&&0X20XI1X0% sin1X12x0sin tt)0x1 sint)(5.6)0X0 0(5.7)0x2x&0x11x01X1 2X00X0 sin1x0s int0x1 sin(5.8)(5.9)方程(5.7)的解為X。a cos： 0tbsin、0t(5.10)因此，為了使X。是T或2T

32、的周期函數(shù)，應(yīng)有0 i ,，亦即1 1X acos t bsit(5.11)方程(5.8)變?yōu)閄&(1aoX11 (a cos?0b)cos；bs in 舟12(1bt) 0 °a)sin !(a costt bs in 舟0asin； tt)s in t0bcos| t12(5.12)為了從上式中消去永久項(xiàng)，必須有1a 4 0b 0 and 1b 4 0a 0注意到a,b 0,所以有0b0a1 2a2b即有a/b1。由(5.12)解得(5.13)(5.14)(5.15)x11, b cos| t 舟 a sin 3 t將Xo和X1代入(5.9)，得x&0X21X12X0 1x0 sin1(|bcos|t號 asin 1t)11(a cos 2tbsin* t)sin t12 1bcos32t1 -2 1asi n1 t1211a sin 2t1231asin 2t i140bs in 1t140bsin 號t iG 0b i1a2b)sin