《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

1、河南理工大學(xué)研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)分析考試大綱本考試大綱適用于河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試。一、本考試科目簡介： 數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)重要的基礎(chǔ)課之一，是數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)后繼課程的基礎(chǔ)，它的理論方法和內(nèi)容既涉及到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，又與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域有著密切的聯(lián)系。 是從事數(shù)學(xué)理論及其應(yīng)用工作的必備知識。我們根據(jù)教育部頒發(fā)的數(shù)學(xué)分析教學(xué)大綱的基本要求和國內(nèi)公認(rèn)的一些優(yōu)秀教材所講到的基本內(nèi)容和知識點(diǎn)制訂本大綱。要求考生比較系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)分析的基本概念和基本理論，熟練掌握研究分析的基本方法，基本掌握數(shù)學(xué)分析的論證方法，具備較熟練的演算技能和初步的應(yīng)用能力。二、考試內(nèi)容及具體要求

2、： 第1章 實(shí)數(shù)集與函數(shù)（1）了解實(shí)數(shù)域及性質(zhì)（2）掌握幾種主要不等式及應(yīng)用。（3）熟練掌握領(lǐng)域，上確界，下確界，確界原理。（4）牢固掌握函數(shù)復(fù)合、基本初等涵數(shù)、初等函數(shù)及某些特性（單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等）。第2章 數(shù)列極限（1）熟練掌握數(shù)列極限的定義。（2）掌握收斂數(shù)列的若干性質(zhì)（惟一性、保序性等）。（3）掌握數(shù)列收斂的條件（單調(diào)有界原理、迫斂法則、柯西準(zhǔn)則等）。第3章 函數(shù)極限（1）熟練掌握使用“-”語言，敘述各類型函數(shù)極限。（2）掌握函數(shù)極限的若干性質(zhì)。（3）掌握函數(shù)極限存在的條件（歸結(jié)原則，柯西準(zhǔn)則，左、右極限、單調(diào)有界）。（4）熟練應(yīng)用兩個(gè)特殊極限求函數(shù)的極限。（5）牢固掌

3、握無窮?。ù螅┑亩x、性質(zhì)、階的比較。第4章 函數(shù)連續(xù)性（1）熟練掌握在x0點(diǎn)連續(xù)的定義及其等價(jià)定義。（2）掌握間斷點(diǎn)定以及分類。（3）了解在區(qū)間上連續(xù)的定義，能使用左右極限的方法求極限。（4）掌握在一點(diǎn)連續(xù)性質(zhì)及在區(qū)間上連續(xù)性質(zhì)。（5）了解初等函數(shù)的連續(xù)性。第5章 導(dǎo)數(shù)與微分（1）熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義，幾何、物理意義。（2）牢記求導(dǎo)法則、求導(dǎo)公式。（3）會求各類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)。（4）掌握微分的概念，并會用微分進(jìn)行近似計(jì)算。（5）理解連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系。第6章 微分中值定理及其應(yīng)用（1）牢固掌握微分中值定理及應(yīng)用。（2）會用洛比達(dá)法則求未定式極限。（3）掌握單調(diào)與符號的關(guān)系，并用它證明

4、f(x)單調(diào)，不等式、求單調(diào)區(qū)間、極值等。（4）利用判定凹凸性及拐點(diǎn)。（5）了解凸函數(shù)及性質(zhì)（6）會求曲線各種類型的漸近線性。（7）了解方程近似解的牛頓切線法。第7章 實(shí)數(shù)的完備性（1）掌握區(qū)間套、柯西列、聚點(diǎn)、予列等概念。（2）了解刻劃實(shí)數(shù)完備性的幾個(gè)定理的等價(jià)性，并掌握各定理證明。（3）會用上述定理證明其他問題。 第8章 不定積分（1）掌握原函數(shù)與不定積分的概念。（2）記住基本積分公式。（3）熟練掌握換元法、分部積分法。（4）了解有理函數(shù)積分步驟，并會求可化為有理函數(shù)的積分。第9章 定積分（1）掌握定積分定義、性質(zhì)。（2）了解可積條件，可積類。（3）深刻理解微積分基本定理，并會熟

5、練應(yīng)用。（4）熟練計(jì)算定積分。（5）掌握廣義積分收斂定義及判別法，會計(jì)算廣義積分。 第10章 定積分應(yīng)用（1）熟練計(jì)算各種平面圖形面積。（2）會求旋轉(zhuǎn)體或已知截面面積的體積。（3）會利用定積分求孤長、曲率、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。（4）會用微元法求解某些物理問題。 第11章 反常積分  掌握反常積分收斂定義及判別法，會計(jì)算反常積分。 第12章 數(shù)項(xiàng)級數(shù)（1）掌握數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散的定義、性質(zhì)。（2）熟練掌握正項(xiàng)級數(shù)的斂、散判別法。（3）掌握條件、絕對收斂及萊布尼茲定理。第13章 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（1）了解函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級之間的關(guān)系，掌握函數(shù)列及函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂定義。（2）掌握函數(shù)列

6、、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的判別法。（3）函數(shù)列的極限函數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)性質(zhì)。 第14章 冪級數(shù)（1）熟練冪級數(shù)收斂域，收斂半徑，及和函數(shù)的求法。（2）了解冪級數(shù)的若干性質(zhì)。（3）了解求一般任意階可微函數(shù)的冪級數(shù)展式的方法。特別牢固記住六種基本初等函數(shù)的馬克勞林展式。（4）會利用間接法求一些初等函數(shù)的冪級數(shù)展式。 第15章 付里葉級數(shù)（1）熟記付里葉系數(shù)公式，并會求之。（2）掌握以2為周期函數(shù)的付里葉展式。（3）理解掌握定義在（0,1）上的函數(shù)可以展成余弦級數(shù)，正弦級數(shù)，一般付里葉級數(shù)。（4）了解收斂性定理，并掌握，貝塞爾不等式，勒貝格引理等。第16章 多元函數(shù)極限與選擇（

7、1）了解平面點(diǎn)集的若干概念。（2）掌握二元函數(shù)二重極限定義、性質(zhì)。（3）掌握二次極限，并掌握二重極限與二次極限的關(guān)系。（4）掌握二元連續(xù)函數(shù)的定義、性質(zhì)。（5）了解二元函數(shù)關(guān)于兩個(gè)變量全體連續(xù)與分別連續(xù)的關(guān)系。 第17章 多元函數(shù)微分學(xué)（1）熟練掌握，可微，偏導(dǎo)的意義。（2）掌握二元函數(shù)可微，偏導(dǎo)，連續(xù)以及偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，概念之間關(guān)系。（3）會計(jì)算各種類型的偏導(dǎo)，全微分。（4）會求空間曲面的切平面，法線?？臻g曲線的法平面與切線。（5）會求函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度。（6）會求二元函數(shù)的泰勒展式及無條件極值。 第18章 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用（1）掌握由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的條件，隱函數(shù)

8、性質(zhì)，隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)）公式。（2）掌握由m個(gè)方程n個(gè)變元組成方程組，確定n-m個(gè)隱函數(shù)組的條件，并會求這n-m個(gè)隱函數(shù)對各個(gè)變元的偏導(dǎo)數(shù)。（3）會求空間曲線的切線與法平面。（4）會求空間曲面的切平面與法線。（5）掌握條件極值的拉格朗日數(shù)乘法。 第19章 含參量積分（1）含參變量的正常積分定義、性質(zhì)。（2）掌握含參量非正常積分一致收斂定義、性質(zhì)。（3）掌握含參量非正常積分一致收斂判別。（4）會用積分號下求導(dǎo)、積分號下做積分方法計(jì)算一些定積分或廣義積分。（5）了解歐拉積分，遞推公式及性質(zhì)。 第20章 曲線積分（1）熟練掌握第一、二型曲線積分的計(jì)算方法。（2）了解兩種曲線積分，兩種曲面積分關(guān)系。第21章 重積分（1）理解二重積分，三重積分定義與性質(zhì)。（2）掌握二重積分的換序，變量代換的方法。（3）理解三重積分的換序，會用球、柱、廣義球坐標(biāo)進(jìn)行代換計(jì)算三重積分。（4）重積分應(yīng)用：求曲面面積，轉(zhuǎn)動慣量，重心坐標(biāo)等。 第22章 曲面積分（1）熟