2018人教A版數(shù)學必修二4.1.1節(jié)《圓的標準方程》教學過程設計

1、第四章圓與方程第4.1.1節(jié) 圓的標準方程(一)自主學習1 .圓心為A(a,b),半徑長為r的圓的標準方程為(x a)2 + (y b)2 = r2 ；特別地，圓心在原點，半徑為r的圓的標準方程為 x2 y2 =r2.2 .已知點 Mo(xo, yo),圓 A： (xa)2 十(yb)2 = r2,點 M 0在圓 A 內 y (x0 -a)2 +(y0 -b)2 < r2 ；點 M0在圓 A上u (x0a)2+(y0b)2 = r2;點 M0在圓 A外=(x0a)2+(y0b)2 ar2.(二)典型例題 【例11(1)求以點 A(1,2)為圓心，并且和 x軸相切的圓的方程；(2)已知兩點

2、 P(4,9) , Q(6,3),求以線段PQ為直徑的圓的方程.【分析】(1)已知與圓心坐標和該圓與x軸相切即可求出半徑.(2)根據(jù)PQ為直徑可以得到相應的圓心與半徑.【解析】(1 )因為圓與 x軸相切，所以該圓的半徑即為圓心A(1,2)到x軸的距離2；所以圓的標準方程為：(x1)2 +(y-2)2 =4.(2)因為PQ為直徑，所以PQ的中點M ,為該圓的圓心即 M (5,6),又因為 | PQ | = J(6 4)2 +(39)2 = J4+36 = 2710 ,| PQ |所以 r = 1 = -10,2所以圓的標準方程為：(x5)2+(y6)2 =10.動動手：填表，填出圓的圓心和半徑：

3、方程圓心半徑(x-2)2 +(y-3)2=7(2,3)用(x+5)2 +(y + 4)2 =18(-5, -4)3&22x2 +(y+1)2 =3(0,-1)也2 .2.x +y =144(0,0)12(x -4)2 + y2 = 4(4,0)2【例2】AABC的三個頂點的坐 標為A(5,1)、B(7, 3)、C(2, 8),求它的外接圓的標準 方程.【分析】可設圓的標準方程為(x - a)2 + (y-b)2 =r2,求出圓心和半徑；也可以根據(jù)三角 形外接圓的圓心是三邊的垂直平分線的交點求出圓心.【解析】方法一：設圓的方程為(x a)2+(y b)2 =r2因為A(5,1)、B(7,

4、 _3)、C(2, _8)在圓上，所以有<222(5 -a) +(1b) =r(7 -a)2 +(-3-b)2 =r2 ,(2 -a)2 +(-8 -b)2 =r2解得 a=2, b=-3, r=5,所以，所求圓的方程為.(x2)2+(y+3)2 =25.方法二：線段AB的中點為(6,1),直線AB的斜率為k =二3二！ = _2,7 -5所以線段AB的垂直平分線的方程為 y+1 = _2(X_6),即2x + y11=0線段BC的中點為(9,-11),直線BC的斜率為k2=或三3=1, '2222 -7所以線段BC的垂直平分線的方程為y+111 = x 2 ,即xy10 = 0

5、解得 x=2, y = 與，即圓心的坐標為(2,3), r = J(2 -5)2 +(_3-1)2 =5,所以，所求圓的方程為(x2)2+(y+3)2 =25.【例4】已知隧道的截面是半徑為 4 m的圓的半圓，車輛只 能在道路中心線的一側行駛， 車輛寬度為3m ,高為3.5m的 貨車能不能駛入這個隧道？【分析】建立直角坐標系，由圖象可以分析，關鍵在于寫出半圓的方程，對應求出當x = 3時的值，比較得出結論.【解析】以某一截面半圓的圓心為原點，半圓的直徑AB所在的直線為x軸，建立直角坐標系，如圖所示，那么半圓的方程為：x2 y2 =16(y -0)將x =3代入得y=J1632 =77<7

6、9 = 3<3.5,即離中心線3m處，隧道的高度低于貨車的高度，因此，該貨車不能駛入這個隧道.動動手：假設貨車的最大的寬度為 am,那么貨車要駛入高隧道，限高為多少？【解析】將x = a代入得y = J16-a2 ,即限高為J16-a2 m.(三)、總結提升：1 .圓的標準方程：方程(xa)2+(y b)2 = r2 (r >0)表示圓心為 A(a,b),半徑長為r的圓.2 .求圓的標準方程的常用方法：(1)幾何法：根據(jù)題意，求出圓心坐標與半徑，然后寫出標準方程；(2)待定系數(shù)法：先根據(jù)條件列出關于a、仄r的方程組，然后解出 a、仄r,再代入標準方程.(四)、反饋練習：1 .圓(x

7、2)2+(y+3)2 =2的圓心和半徑分別是(D )A (-2,3) , 1 B . (2, 3), 3C. (-2,3) , 22D . (2, -3),近2 .過點 A(1,1)、B(1,1)且圓心在直線 x + y 2 = 0上的圓的方程是(C )一一 22一 22A. (x-3) (y 1) =4 B. (x 3) (y-1) =4C. (x1)2 (y 一1)2 =4 D.(x1)2 (y 1)2=43 .寫出下列圓的標準方程(1)圓心在C(_3,4),半徑長為 J5的圓的標準方程(x + 3)2+(y_4)2 =5.(2)圓心在C(8, -3),且過點M (5,1)的圓的標準方程(x8)2+(y + 3)2 =25.2224 .點M (a,a)與圓(x + a) +(y+a) =2a的位置關系是點 M在圓 夕卜.*5.圓C： (x+5)2+(y4)2 =6關于直線x + y=0對稱的圓的方程是(x 4)2 (y -5)2 = 6.6.求過兩點 A(0,4), B(4,6),且圓心在直線 x2y2 = 0上的圓的標準方程. 【解析】設圓心坐標為(a, b),圓半徑為r,則圓方程為(x a)2十(yb)2 = r2 , 因