07偏導(dǎo)數(shù)全微分ppt課件

1、高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法第二節(jié)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)0000000(,)(,)lim,xxxyyf xx yzfyxxx 多元函數(shù)關(guān)于其中一個(gè)自變量的變化率，稱為多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。多元函數(shù)關(guān)于其中一個(gè)自變量的變化率，稱為多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。定義定義0000,(,)xxxyyffxyx 0000000(,)(,)lim,xxyyyf xyyf xzyyy 0000,(,)yxxyyffxyy 引例引例: : 研究弦在點(diǎn)研究弦在點(diǎn) x0 處的振動(dòng)速度與加速度處的振動(dòng)速度與加速度, 就是將振幅就是將振幅求求u(x0, t)關(guān)于關(guān)

2、于 t 的一階與二階導(dǎo)數(shù)。的一階與二階導(dǎo)數(shù)。u(x, t)中的中的 x 固定于固定于x0 處處,高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上上一一點(diǎn)點(diǎn)為為曲曲面面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxM 如圖如圖00(,)xyx0y0yxz0 xyToxT0y0M(x0, y0, 0)高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民幾何意義幾何意義 f x(x0, y0)是曲線是曲線 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0, z0)處的切線處的切線沿沿x軸的斜率。軸的斜率。0( , )f x yzyy f y(x0, y0)是曲線是曲線 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0

3、, z0)處的切線處的切線沿沿y軸的斜率。軸的斜率。0( , )f x yzxx 偏導(dǎo)函數(shù)偏導(dǎo)函數(shù)0(, )( , )lim,xf xx yf x yxxz 0( ,)( , )lim,yf xzyyf x yyy ,( , )xffx yx ,( , )yffx yy 高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx0(, , )( , , )( , , )limxxf xx y zf x y zfx y zx 0( , )( , , )( , , )limyyf x yy z

4、f x y zfx y zy 0( , ,)( , , )( , , )limzzf x y zzf x y zfx y zz 高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民例設(shè)例設(shè)22( , )(0,0)( , )0( , )(0,0)xyx yxyf x yx y 求求f (x, y)的偏導(dǎo)數(shù)。的偏導(dǎo)數(shù)。00dd(0,0)( , 0)0;(0,0)(0,)0ddxyxxff xffyxy解解高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)、極限存在的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)、極限存在的關(guān)系f (x, y)在在(x0, y0)偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在f (x, y)在在(x0, y

5、0)連續(xù)連續(xù)f (x, y)在在(x0, y0)極限存在極限存在 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)極限不存在，極限不存在，例如例如在在(0,0) 不連續(xù)，不連續(xù)，(0,0)(0,0)0 xyff 但。但。高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民問題：問題： 混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？例例

6、322( , )(0,0)( , )0( , )(0,0)x yx yf x yxyx y 設(shè)設(shè)求二階混合偏導(dǎo)數(shù)。求二階混合偏導(dǎo)數(shù)。解解,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx242222232( , )()xx yx yfx yxyxy332222222( , )()yxx yfx yxyxy高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx按定義可知：按定義可知：xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0, 00lim0 xxyfyffyy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0, 00lim0 yyyfyffxxyxy )0 ,

7、0(), 0(lim)0 , 0(0, 0 xfxffyyxyx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0. 1 ).0 , 0()0 , 0(yxxyff 顯顯然然高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民22220zzxy2222220uuuxyz2221,urxyzr 例例9 證明函數(shù)證明函數(shù) 滿足拉普拉斯方程滿足拉普拉斯方程22lnzxy 例例8 證明函數(shù)證明函數(shù) 滿足拉普拉斯方程滿足拉普拉斯方程高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論 定義定義; 記號記號; 幾何意義幾何意義 函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函

8、數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù) 混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)與求導(dǎo)順序無關(guān)2. 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法 求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定義利用定義 求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無關(guān)時(shí)與求導(dǎo)順序無關(guān)時(shí), 應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民思考與練習(xí)：思考與練習(xí)：設(shè)設(shè)z = f (u) ，方程，方程( )( )xyuup t dt 確定確定 u 是是 x , y 的函數(shù)的函數(shù) ,( ), ( ), ( ),( )f u

9、up tu 其其中中可可微微連續(xù)連續(xù), 且且( )1,( )( )zzup yp xxy 。求求：( )ufux ，解：解：zx ( )zufuyy ( )( )uuup xxx ( )( )uuup yyy ( )1( )up xxu ( )1( )up yyu ( )( )( )0uufup yp xxy ( )( )zzp yp xxy 高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民作業(yè)作業(yè)P63 51）（）（3）（）（5）；）；6 （1）（）（3）（）（5）；）； 7,（1）；）； 8； P69 3；4；5； 62）（）（3）；）；7；8； 92）高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下

10、）主講楊益民),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),(第三節(jié)第三節(jié) 、全微分的定義、全微分的定義一、全微分的概念一、全微分的概念1. 回憶：一元函數(shù)的微分回憶：一元函數(shù)的微分2. 二元函數(shù)的偏增量與偏微分二元函數(shù)的偏增量與偏微分應(yīng)用應(yīng)用 ()yA xox d( )yfxx 近似計(jì)算近似計(jì)算估計(jì)誤差估計(jì)誤差中值定理：中值定理：(, )( , )(, ), (01)xf xx yf x yfxx yx ( ,)( , )( ,), (01)yf x yyf x yfx yyy 高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民3.二元函數(shù)的全增量與全

11、微分二元函數(shù)的全增量與全微分(,)( , )zf xx yyf x y 全增量全增量例例1 1求求 在在(x,y)和和(1,1)的全微分的全微分22zxy)( oyBxAz 22)()(yx 其中其中全微分定義略）全微分定義略）那么那么 稱為二元函數(shù)在稱為二元函數(shù)在(x,y)的全微分。的全微分。dzA xB y 其中其中 A , B 不依賴于不依賴于 x , y , 僅與僅與 x , y 有關(guān)。有關(guān)。若若z=f(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)處處可微分，則稱內(nèi)處處可微分，則稱z=f(x,y)在在D內(nèi)可微分。內(nèi)可微分。高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民注：注： 類似與一元函數(shù)的微分，二元

12、函數(shù)的微分也有兩個(gè)特點(diǎn)：類似與一元函數(shù)的微分，二元函數(shù)的微分也有兩個(gè)特點(diǎn)： （1dz是是z的線性主部；（的線性主部；（2誤差為誤差為o()2. 函數(shù)函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn) (x, y) 可微可微 函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。3. 幾何意義：函數(shù)幾何意義：函數(shù) z = f (x, y) 在在 (x, y)點(diǎn)可微點(diǎn)可微 曲面曲面z = f (x, y)在在 (x, y)點(diǎn)切平面存在。點(diǎn)切平面存在。00lim(,)( , )xyf xx yyf x y 由微分定義由微分定義 : 000limlim ()()0 xyzAxByo 高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民二

13、、可微分的條件二、可微分的條件證明：證明：(,)( , )()zf xx yyf x yA xB yo (, )( , )()xzf xx yf x yA xox 0lim,xxzzAxx ,zBy dzzzxyxy定理定理1 1必要條件如果函數(shù)必要條件如果函數(shù)z=f (x, y)z=f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x, y)(x, y)可微，則可微，則該函數(shù)在點(diǎn)該函數(shù)在點(diǎn)(x, y)(x, y)的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 存在，且存在，且z=f (x, z=f (x, y)y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x, y)(x, y)的全微分的全微分為為: : 。yzxz 、ddzzzzdzxyxyxyxy 高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民

14、高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民注意：定理注意：定理1 1的逆定理不成立，即的逆定理不成立，即: : 偏導(dǎo)數(shù)存在不一定可微偏導(dǎo)數(shù)存在不一定可微! !反例：反例：2222220( , )00 xyxyxyf x yxy )0 , 0()0 , 0(yfxfzyx 22()()xyxy 那那么么 22)()(yxyx 22()()xyxy 12xy ),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民證明：證明：),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ( ,)( , )f x yyf x y 12(0,1)( ,)( ,)xyfx

15、yxfx yy12(,)( ,)xyfxx yyxfx yyy 0000lim0,lim0 xxyy 其其中中高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民( , )( , )xyzfx yxfx yyxy xy 00 ( ,)( ,)()xyzfx yxfx yyo 例例2 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)的全微分。的全微分。sin2yzyuxe高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民(0,0,0)d(0,0,0)d(0,0,0)d(0,0,0)dyyzffxfyfz 例例3 設(shè)設(shè)(0,0,0)coscoscos( , , ),d1coscoscosxyyzzxf x y zfxyz 。求求解解:

16、 : ( ,0,0)3cosxf xx 1(0,0,0)3cos04xxfxx 利用輪換對稱性利用輪換對稱性 , 可得：可得：1(0,0,0)(0,0,0)4yzff1(ddd )4xyz高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民證明：證明：（1） 令：令：,cos x,sin y那那么么22)0 ,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 (0,0)f ?高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民2222232211sincos,( , )(0,0)( , )()0,( , )(0,0)xx yyx yfx yxyxyxyx y 33( , )(0

17、,0)011lim( , )limsincos2 |2 2 |2 |xx yxxyxfx yxxxx 令令（2）不存在。不存在。高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民(,)(0,0)ffxyf221sin()()x yxy 220( ()() )foxy (0,0)d0f 。且且22220022221sin()()()()0()()()()xyx yxyxyxyxy 注注: : 此題表明此題表明, , 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件。偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件。高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分定義微分定義:22( , )( , ) ( )()

18、()xyzfx yxfx yyoxy 其其中中：d( , )d( , )dxyzfx yxfx yy 2. 重要關(guān)系重要關(guān)系:偏導(dǎo)存在偏導(dǎo)存在函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民課外作業(yè)：課外作業(yè)：高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用都較小時(shí)，有近似等式都較小時(shí)，有近似等式連續(xù)，且連續(xù)，且個(gè)偏導(dǎo)數(shù)個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的兩的兩在點(diǎn)在點(diǎn)當(dāng)二元函數(shù)當(dāng)二元函數(shù)yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可寫成也可寫成.),(),(

19、),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民例例 5 5 計(jì)計(jì)算算02. 2)04. 1(的的近近似似值值.解解.),(yxyxf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民一一、 填填空空題題: :1 1、 設(shè)設(shè)yxztanln , ,則則 xz_ _ _ _ _

20、 _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 設(shè)設(shè) xzyxezxy則則),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 設(shè)設(shè),zyxu 則則 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; zu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 設(shè)設(shè),arctanxyz 則則 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 22yz_ _ _ _ _ _ _ _; ; yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .

21、練練 習(xí)習(xí) 題題高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民 5 5、設(shè)、設(shè)zyxu)( , ,則則 yzu2_. .二、二、 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù): : 1 1、yxyz)1( ； 2 2、zyxu)arctan( . .三、三、 曲線曲線 4422yyxz, ,在點(diǎn)在點(diǎn)(2,4,5)(2,4,5)處的切線與正向處的切線與正向x軸所成的傾角是多少軸所成的傾角是多少? ?四、四、 設(shè)設(shè)xyz , ,求求.,22222yxzyzxz 和和五、設(shè)五、設(shè))ln(xyxz , ,求求yxz 23和和23yxz . .高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民六、六、 驗(yàn)證驗(yàn)證

22、: : 1 1、)11(yxez , ,滿足滿足zyzyxzx222 ； 2 2、222zyxr 滿足滿足 rzzryrxr 222222. .七、設(shè)七、設(shè) 0, 00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff ,. .高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2csc22 ；2 2、)1(2 yxyexy, ,)1(2 xxyexy；3 3、xxzxzyzyzyln1,1 , , xxzyzyln2 ；4 4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy ；5 5、)ln1()(yxyz

23、yyxz . .二、二、1 1、 xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12; ;練習(xí)題答案練習(xí)題答案高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民 2 2、zzyxyxzxu21)(1)( , , ,)(1)(21zzyxyxzyu zyxyxyxzu2)(1)ln()( . .三、三、4 . .四、四、,)1(,ln222222 xxyxxyzyyxz )1ln(12 yxyyxzx. .五、五、223231, 0yyxzyxz . .高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民七七、 0, 0; 0, 00, 0,0,arctan2yxyxyxyxyyxyxfx, , 0, 0, 10,0, 12222yxxyyxyxxfxy. .高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民高等數(shù)學(xué)（下）主講楊益民不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形y