平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理課件

1、平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ) 第第4 4章章 平差數(shù)學(xué)模型平差數(shù)學(xué)模型 與最小二乘原理與最小二乘原理 平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理測(cè)量平差測(cè)量平差求平差值求平差值精度評(píng)定精度評(píng)定評(píng)定指標(biāo)？評(píng)定指標(biāo)？建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型如何求這些指標(biāo)？如何求這些指標(biāo)？定義求定義求廣義傳播律廣義傳播律單位權(quán)方差、單位權(quán)方差、對(duì)應(yīng)權(quán)倒數(shù)對(duì)應(yīng)權(quán)倒數(shù)方差（陣）、方差（陣）、權(quán)（協(xié)因數(shù)陣）權(quán)（協(xié)因數(shù)陣）數(shù)學(xué)模型解算數(shù)學(xué)模型解算平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理第四章第四章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理本章教學(xué)內(nèi)容本章教學(xué)內(nèi)容4-1 4-1 測(cè)量平差概述測(cè)量平差概述

2、 4-2 4-2 函數(shù)模型函數(shù)模型 4-3 4-3 函數(shù)模型的線(xiàn)性化函數(shù)模型的線(xiàn)性化 4-4 4-4 測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型 4-5 4-5 參數(shù)估計(jì)與最小二乘原理參數(shù)估計(jì)與最小二乘原理 4-64-6 綜合練習(xí)題綜合練習(xí)題 平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理要求：要求： 掌握各類(lèi)控制網(wǎng)必要元素的數(shù)目掌握各類(lèi)控制網(wǎng)必要元素的數(shù)目與類(lèi)型和多余元素?cái)?shù)的計(jì)算方法；平與類(lèi)型和多余元素?cái)?shù)的計(jì)算方法；平差數(shù)學(xué)模型的概念、最小二乘原理及差數(shù)學(xué)模型的概念、最小二乘原理及其應(yīng)用其應(yīng)用 重點(diǎn)：重點(diǎn)： 必要起算數(shù)據(jù)、必要觀測(cè)個(gè)數(shù)必要起算數(shù)據(jù)、必要觀測(cè)個(gè)數(shù)的確定；平差的數(shù)學(xué)模型及其線(xiàn)性的確定；平差的數(shù)學(xué)模型及其線(xiàn)

3、性化方法；最小二乘法化方法；最小二乘法 第四章第四章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理4-1 4-1 測(cè)量平差概述測(cè)量平差概述 測(cè)量的目的：確定某些幾何量的大小測(cè)量的目的：確定某些幾何量的大小 確定相應(yīng)的幾何模型確定相應(yīng)的幾何模型*注* 確定一個(gè)幾何模型，并不需要知道該模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小就行了，其它元素可以通過(guò)它們來(lái)確定。一、確定模型的必要元素一、確定模型的必要元素、必要元素（量）、必要元素（量）：能夠唯一確定一個(gè)幾何模型所必須知道的元素。其個(gè)數(shù)用tm表示平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理必要元素的獲取途徑：本次測(cè)量值、往次

4、測(cè)量成果 *注*例1：確定三角形形狀與大小，只需知道其中任意的兩角一邊、兩邊一角或三邊三個(gè)量就可以了 。必要元素的個(gè)數(shù)tm只取決于模型本身，個(gè)數(shù)與類(lèi)型所有的必要元素都是彼此函數(shù)獨(dú)立的量，不能互替模型中所有的量都是必要元素的函數(shù)模型中作為必要元素的“量”不是唯一的平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理3 3、必要起算元素或配置元素：、必要起算元素或配置元素：在唯一確定一個(gè)幾何模型的tm個(gè)必要元素中，不能通過(guò)本次測(cè)量作業(yè)測(cè)定的量。其數(shù)目用t0表示?？梢?jiàn)有： tm t t0 2 2、必要觀測(cè)量（元素）：、必要觀測(cè)量（元素）：為了能夠唯一確定一個(gè)幾何模型所必須測(cè)量的元素。其個(gè)數(shù)用t表示，稱(chēng)為必要觀測(cè)個(gè)數(shù)。 *注*

5、必要觀測(cè)量的類(lèi)型，與測(cè)量技術(shù)與設(shè)備有關(guān)。在同一模型中，有些量當(dāng)前測(cè)量不了例2確定三角形形狀和大小， tm3，如果只測(cè)角度，則t=2, t0 =1：若只測(cè)邊， t=， t0 =4 4、多余觀測(cè)元素、多余觀測(cè)元素( (量量) )：為及時(shí)發(fā)現(xiàn)測(cè)量中的錯(cuò)誤，除必要觀測(cè)量外還要觀測(cè)的其它量。其個(gè)數(shù)用r表示，稱(chēng)為多余觀測(cè)個(gè)數(shù)5 5、觀測(cè)值總數(shù)、觀測(cè)值總數(shù)用n表示, r=n-t平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理 在一個(gè)幾何模型中， 除tm 個(gè)獨(dú)立量外，若再增加一個(gè)量，在必然要產(chǎn)生一個(gè)相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式。如（例）中增加為3個(gè)角度，則條件方程條件方程4-1 4-1 測(cè)量平差概述測(cè)量平差概述二、多余觀測(cè)與條件方程二、多余觀

6、測(cè)與條件方程平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理 *注* 一個(gè)幾何模型中， 如果有r()個(gè)多余觀測(cè)，就產(chǎn)生r個(gè)條件方程?？梢?jiàn)，在列條件方程前，先確定必要觀測(cè)數(shù) t tmt0 111222333,LLLLLL 由于觀測(cè)值不可避免地存在觀測(cè)誤差，由觀測(cè)值組成上述條件方程必不能滿(mǎn)足，即o1231800LLLW造成條件方程不閉合，或者說(shuō)存在閉合差。由于則有112233()()()180LLL1230W 條件方程條件方程求出一組真誤差(改正數(shù))，消除閉合差平差平差平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理4-1 4-1 測(cè)量平差概述測(cè)量平差概述三、常用測(cè)量控制網(wǎng)必要觀測(cè)個(gè)數(shù)的確定三、常用測(cè)量控制網(wǎng)必要觀測(cè)個(gè)數(shù)的確定 1測(cè)站方向觀

7、測(cè)目的：確定各個(gè)目標(biāo)的方向（方位）觀測(cè)值（量）：角度必要起算元素：一邊的方位角t0 =1 * 若沒(méi)有已知方位角，可以假設(shè)一邊的方位角 必要觀測(cè)值個(gè)數(shù)：t= tmt0 =總方向數(shù)1（多余的起算元素個(gè)數(shù)）平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理2.(2.(平面平面) )測(cè)角三角網(wǎng)測(cè)角三角網(wǎng)v目的：確定網(wǎng)中各點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)v觀測(cè)值(量)：網(wǎng)中各內(nèi)角的角度v必要起算元素：一點(diǎn)坐標(biāo)、一邊方位和邊長(zhǎng)， 等價(jià)于兩點(diǎn)坐標(biāo)。t0 =4 * 若沒(méi)有已知點(diǎn)和已知方位，可以假設(shè)v必要觀測(cè)數(shù)：t= 2(總點(diǎn)數(shù)2)多余的起算元素個(gè)數(shù)“”表示坐標(biāo)為已知的固定點(diǎn)；“ O”表示待定點(diǎn);雙線(xiàn)表示已知邊，虛線(xiàn)表示沒(méi)觀測(cè) 平差數(shù)學(xué)模型與最小二

8、乘原理3.(3.(平面平面) )測(cè)邊三角網(wǎng)測(cè)邊三角網(wǎng)v目的：確定網(wǎng)中各點(diǎn)的坐標(biāo)v觀測(cè)值(量)：網(wǎng)中各點(diǎn)間距離v必要起算元素：一點(diǎn)坐標(biāo)、一邊方位，t0 =3 * 若沒(méi)有已知點(diǎn)和已知方位，可以假設(shè)v必要觀測(cè)值個(gè)數(shù)：t= 2總點(diǎn)數(shù)3 多余的起算元素個(gè)數(shù)平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理4.(平面)邊角三角網(wǎng)v目的：確定網(wǎng)中各點(diǎn)的坐標(biāo)v觀測(cè)值(量)：網(wǎng)中的角度和邊長(zhǎng)v必要起算元素：一點(diǎn)坐標(biāo)、一邊方位，t0 =3 若沒(méi)有已知點(diǎn)，可以假設(shè)一點(diǎn)坐標(biāo)、一邊方位v必要觀測(cè)值個(gè)數(shù)：t= 2總點(diǎn)數(shù)3 多余的起算元素個(gè)數(shù)平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理5高程控制網(wǎng)（水準(zhǔn)網(wǎng)）v 目的：確定網(wǎng)中各點(diǎn)的高程v觀測(cè)值(量)：網(wǎng)中兩點(diǎn)間的高

9、差v必要起算元素：一點(diǎn)的高程，t0 =1 * 若沒(méi)有已知點(diǎn)，可以假設(shè)一點(diǎn)的高程v必要觀測(cè)值個(gè)數(shù)：t= 總點(diǎn)數(shù)1 多余的起算元素個(gè)數(shù)“ ”表示坐標(biāo)為已知的固定點(diǎn)；“O”表示待定點(diǎn);箭頭表示觀測(cè)方向 平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理常用控制網(wǎng)的必要起算數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)與類(lèi)型常用控制網(wǎng)的必要起算數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)與類(lèi)型控制網(wǎng)必要元素個(gè)數(shù)必要起算數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)與類(lèi)型(確定網(wǎng)的位置、方向、尺度）水準(zhǔn)網(wǎng)點(diǎn)數(shù)t0=1 一個(gè)點(diǎn)的高程測(cè)角三角網(wǎng)點(diǎn)數(shù)2t0=4一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)、一邊邊長(zhǎng)和方位角 兩個(gè)已知點(diǎn)測(cè)邊三角網(wǎng)點(diǎn)數(shù)2t0=3一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)、一邊方位角邊角三角網(wǎng)點(diǎn)數(shù)2t0=3一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)、一邊方位角平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理?yè)?jù)起算數(shù)據(jù)情況，把控制

10、網(wǎng)分為：自由控制網(wǎng)：不足或僅有必要的起算數(shù)據(jù)附和控制網(wǎng)：有多余的起算數(shù)據(jù)平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理4-1 4-1 測(cè)量平差概述測(cè)量平差概述四、計(jì)算四、計(jì)算t和和r的例題的例題 1 1水準(zhǔn)網(wǎng)水準(zhǔn)網(wǎng)平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理2. 2.測(cè)角網(wǎng)測(cè)角網(wǎng)ABCD12345678(a)ABC198623475D(b)平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理多余觀測(cè)個(gè)數(shù)：r =n - t 當(dāng) n t 時(shí)，不能確定平差問(wèn)題的模型 n = t 時(shí)，能確定模型，但無(wú)檢核、有無(wú)粗差不知 n t 時(shí)，有多余觀測(cè)，因觀測(cè)誤差使觀測(cè)值間產(chǎn) 生矛盾，使模型出現(xiàn)多解。 通過(guò)平差處理，讓觀測(cè)值的平差值之間滿(mǎn)足相應(yīng)的條件關(guān)系，消除矛盾，獲取模型

11、的唯一最優(yōu)解。五、多余觀測(cè)與平差的關(guān)系五、多余觀測(cè)與平差的關(guān)系 平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理4-2 4-2 測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型平差數(shù)學(xué)模型包括：平差數(shù)學(xué)模型包括： 函數(shù)模型函數(shù)模型和和隨機(jī)模型隨機(jī)模型兩個(gè)部分。兩個(gè)部分。函數(shù)模型函數(shù)模型是指模型是指模型( (幾何、物理幾何、物理) )中量中量( (觀測(cè)量、未知參數(shù)觀測(cè)量、未知參數(shù)) )的的真值真值( (或期望值或期望值) )之間的函數(shù)關(guān)系式。之間的函數(shù)關(guān)系式。隨機(jī)模型隨機(jī)模型是指描述觀測(cè)值的先驗(yàn)精度及其相關(guān)性的特是指描述觀測(cè)值的先驗(yàn)精度及其相關(guān)性的特征。常用觀測(cè)值的征。常用觀測(cè)值的方差陣方差陣或或協(xié)因數(shù)陣協(xié)因數(shù)陣或或權(quán)陣權(quán)陣表示

12、。表示。 函數(shù)關(guān)系式有線(xiàn)性非線(xiàn)性之分； 線(xiàn)性函數(shù)模型與非線(xiàn)性函數(shù)模型(線(xiàn)性化后處理)。平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理一、函數(shù)模型一、函數(shù)模型1. .條件平差條件平差的函數(shù)模型的函數(shù)模型3,2,1ntr條件方程1230W 01231800LLL一般的：一般的：平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理一、函數(shù)模型一、函數(shù)模型1. .條件平差條件平差的函數(shù)模型的函數(shù)模型 若有平差問(wèn)題，觀測(cè)向量為L(zhǎng)、權(quán)陣為P，其中必要觀測(cè)個(gè)數(shù)為t個(gè)，多余觀測(cè)個(gè)數(shù)為r=nt，則產(chǎn)生r個(gè)條件式： 值得注意值得注意：條件方程的個(gè)數(shù)等于多余觀測(cè)數(shù)條件方程的個(gè)數(shù)等于多余觀測(cè)數(shù)r r各條件式之間必需是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的（獨(dú)立）各條件式之間必需是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的

13、（獨(dú)立）一個(gè)平差問(wèn)題中一個(gè)平差問(wèn)題中, ,條件形式不唯一條件形式不唯一, ,選取形式最簡(jiǎn)為易。選取形式最簡(jiǎn)為易。01( )00r n nF LA LA%線(xiàn)性形式00AWWALA，閉合差閉合差平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理t=2，選2個(gè)參數(shù)，這兩個(gè)參數(shù)可以確定模型。函數(shù)模型：1X2X一、函數(shù)模型一、函數(shù)模型2. .間接平差間接平差( (參數(shù)平差參數(shù)平差) )的函數(shù)模型的函數(shù)模型11220312180LXLXLXX 一般的：一般的：平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理 選擇t個(gè)函數(shù)獨(dú)立的參數(shù)： ，這些參數(shù)剛好能夠確定模型。則函數(shù)模型為： 12(,)tXXX1()nLF X線(xiàn)性情況下111nn t tnLB Xd

14、111111()nn t tnnnnB XlldL 一、函數(shù)模型一、函數(shù)模型2. .間接平差間接平差( (參數(shù)平差參數(shù)平差) )的函數(shù)模型的函數(shù)模型平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理一、函數(shù)模型一、函數(shù)模型3. .附有參數(shù)的條件平差附有參數(shù)的條件平差的函數(shù)模型的函數(shù)模型X3,2,1,1ntru條件方程個(gè)數(shù)r+u=c個(gè)12310cWXW 0123118000LLLLX一般的：一般的：平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理 在具體平差問(wèn)題中,觀測(cè)次數(shù)n，必要觀測(cè)次數(shù)t，則多余觀測(cè)次數(shù)r,再增加u個(gè)獨(dú)立參數(shù),且 0 u t ，則總共有r +u = c個(gè)條件方程，一般形式是：線(xiàn)性情況下011110c n nc u ucc

15、A LB XA11110c n nc u uccAB XW1 ( ,)0cF L X一、函數(shù)模型一、函數(shù)模型3. .附有參數(shù)的條件平差附有參數(shù)的條件平差的函數(shù)模型的函數(shù)模型平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理4 4、附有限制條件的間接平差法附有限制條件的間接平差法的函數(shù)模型的函數(shù)模型 選擇u個(gè)參數(shù)： ，u t，且包含t個(gè)函數(shù)獨(dú)立的參數(shù)。則多選擇的s =ut 個(gè)參數(shù)必然是 t個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)，亦即u 個(gè)參數(shù)之間存在s 個(gè)函數(shù)關(guān)系 。函數(shù)模型為： 12(,)uXXX1111()()0nusuLF XX線(xiàn)性形式是 11101110nn u unus ussLB XdC XCo1111o001111()0()n

16、n u unnxus usssB XllBXdLLLC XCWCXC 平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理 選擇u個(gè)參數(shù)： ，其中有s個(gè)不獨(dú)立參數(shù)，且不包含t個(gè)函數(shù)獨(dú)立的參數(shù)。則u 個(gè)參數(shù)之間存在s 個(gè)函數(shù)關(guān)系 。函數(shù)模型為：12(,)uXXX111 ( ,)0()0csuF L XX線(xiàn)性形式01111011100c n nc u uccus ussA LB XAC XC0111101110()0c n nc u uccus ussAB XWWALBXAC XC5 5、附有限制條件的條件平差法附有限制條件的條件平差法模型模型平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理4-2 4-2 測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型平

17、差數(shù)學(xué)模型包括：平差數(shù)學(xué)模型包括： 函數(shù)模型函數(shù)模型和和隨機(jī)模型隨機(jī)模型兩個(gè)部分。兩個(gè)部分。函數(shù)模型函數(shù)模型是指模型是指模型( (幾何、物理幾何、物理) )中量中量( (觀測(cè)量、未知參數(shù)觀測(cè)量、未知參數(shù)) )的的真值真值( (或期望值或期望值) )之間的函數(shù)關(guān)系式。之間的函數(shù)關(guān)系式。隨機(jī)模型隨機(jī)模型是指描述觀測(cè)值的先驗(yàn)精度及其相關(guān)性的特是指描述觀測(cè)值的先驗(yàn)精度及其相關(guān)性的特征。常用觀測(cè)值的征。常用觀測(cè)值的方差陣方差陣或或協(xié)因數(shù)陣協(xié)因數(shù)陣或或權(quán)陣權(quán)陣表示。表示。 函數(shù)關(guān)系式有線(xiàn)性非線(xiàn)性之分； 線(xiàn)性函數(shù)模型與非線(xiàn)性函數(shù)模型(線(xiàn)性化后處理)。平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理設(shè)有函數(shù) 1111(,)ccnu

18、FF L X設(shè)0XXxLL同時(shí)有 由于 和是微小量。對(duì)非線(xiàn)性函數(shù)進(jìn)行Talay展開(kāi)，只保留一階項(xiàng)，于是有： x0000,(,)( ,)L XL XFFFF LXxF L XxLX若令4-3 4-3 函數(shù)模型的線(xiàn)性化函數(shù)模型的線(xiàn)性化平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理00,212221211111,XLncccnnXLncLFLFLFLFLFLFLFLFLFLFA00,212221212111,XLucccuuXLucXFXFXFXFXFXFXFXFXFXFB則函數(shù)F 的線(xiàn)性形式是：0111( ,)cc n nc u uFF L XAB x線(xiàn)性化方法：把L和X0代入式子算出常數(shù)項(xiàng)，再加微分。平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理 平差的最終目的都是對(duì)參數(shù) 和觀測(cè)量 （或）作出某種估計(jì)，并評(píng)定其精度。X一、參數(shù)估計(jì)及其最優(yōu)性質(zhì)4-4 4-4 最小二乘原理最小二乘原理L 設(shè)有參數(shù) ，其真值為 、估計(jì)值為 。最優(yōu)估計(jì)量具有的性質(zhì)：無(wú)偏性無(wú)