微積分地四章第三節(jié)課件

1、微積分地四章第三節(jié)1ln, arctan,sinxxdxxdxexdx定理1 設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)的導數(shù),則udvuvvdu直接積分和換元積分法可以解決大量的不定積分的計算問題;但對形如等類型的不定積分,采用這兩種方法卻無法.換元積分法是在復(fù)合函數(shù)求導法則的基礎(chǔ)上得到的,下面利用兩個函數(shù)乘積的求導法則來推得分部積分法.證 由 d(uv)=vdu+udv, 得 udv= d(uv)vdu ,對此式兩邊同時求不定積分, 得4.3 4.3 分部積分法分部積分法微積分地四章第三節(jié)2而不定積分 易于計算,udvvdu則可采用分部積分公式,使計算大為簡化.udvuvvduuv dxuv

2、vu dx注1:不定積分 不易計算,例1 求(1) ln(2)xdxarctgxdx解 (1) 設(shè)u=lnx,dv=dx,則v=x ,由分部積分公式得lnlnlnxdxxxxdx(2)arctanarctanxxxdx原式1lnlnxxxdxxxxCx2arctan1xxxdxx21arctanln(1)2xxxC微積分地四章第三節(jié)3(2). 要比 容易積出.( ) ( ).f x g x dxvduudv一般按“反對冪指三”的順序,后者先湊入的方法確定u和v .注2:分部積分法是基本積分法之一,常用于被積函數(shù)是兩種不同類型函數(shù)乘積的積分這類積分在具體計算過程中,如何正確地選定u和v卻顯得非常

3、重要.一般說來要考慮以下兩點:(1). V要容易求得;例2 求cosxxdx cossinxxdxxdx解sinsinsincosxxxdxxxxC微積分地四章第三節(jié)4比原積分更難積出.例3 求下列不定積分(1)(2)arctanxxe dxxxdxxxxe dxxde(1)解21 (2)arctan2xdx原式否則若 2221coscoscossin222xxxxdxxdxxxdxxxxxxee dxxeeC221arctanarctan 2xxx dx2221arctan21xxxdxx222111arctan21xxxdxx21arctanarctan .2xxxxC微積分地四章第三節(jié)5

4、22ln(1)1xdxxxxx2(3) ln(1)xxdx22ln(1)ln(1)xxxxdxx解原式222212 1ln(1)1xxxxxxdxxx2221(1)ln(1)21dxxxxx1222ln(1)(1)xxxxC微積分地四章第三節(jié)61122lnln2 lnxdxxxdxxdxx解ln(4).xdxx2ln2lnxxxdx122ln2xxxdx練習：22(1)(2) (2)cosxx e dxxxdx2ln4.xxxC微積分地四章第三節(jié)7例4 求sinxexdx sinsinxxexdxxde解這是一個關(guān)于 的方程,移項并兩邊同除以2,得sinxexdx1sin(sincos )2x

5、xexdxexxC注:有些不定積分需要將積分的幾種方法綜合起來使用.sinsinxxexe dxsincosxxexexdxsincosxxexxdesincossinxxxexexexdx微積分地四章第三節(jié)83cos(2)sinxxdxx例5 求(1)xedx解 令2, ,2xtxtdxtdt則2tetdt原式2ttde22ttteeC22tttee dt22111csc2sin2xdxdxx 3sin sinxdxx解 原式221( csccsc)2xxxdx 21( csccot )2xxxC 22xxxeeC微積分地四章第三節(jié)9arcsin2arcsin(3)1xx edxxarcsi

6、narcsinarcsinxx edx解 原式arcsinarcsinxxdearcsinarcsinarcsinarcsinxxxeedxarcsinarcsinarcsinxxxeeC(4)設(shè) f(x) 有連續(xù)的二階導函數(shù)，求 1(2 ).(2 )2xfx dxxdfx解(2 ).xfx dx11(2 )(2 )22xfxfx dx11(2 )(2 )24xfxfxC微積分地四章第三節(jié)10sin xx( )xfx dx是f(x)的一個原函數(shù), 求解 ( )( )( )xfx dxxf xf x dx又已知(5)已知sin xx是f(x)的一個原函數(shù) 1sin( )xf x dxCx即1co

7、ssinsin ( )()xxxxxfx dxC CCxx 2sincossin( )()xxxxf xxxcos2sinxxxCx微積分地四章第三節(jié)11一般一般可用分部積分法求積分的類型可用分部積分法求積分的類型: :( ),(sin,cos).kxu xdve dxdvaxdx dvaxdx0 01 1 若若被被積積函函數(shù)數(shù)是是冪冪函函數(shù)數(shù)與與指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)或或三三角角函函數(shù)數(shù)的的乘乘積積, ,一一般般選選取取為為冪冪函函數(shù)數(shù) 將將指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)或或三三角角函函數(shù)數(shù)湊湊微微分分即即或或2( ),( )ln ,arcsin ,arctan ,( )nu xu xxxxdvP x dx0 0若若被被積積函函數(shù)數(shù)是是冪冪函函數(shù)數(shù)與與對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)或或反反三三角角函函數(shù)數(shù)的的乘乘積積, ,一一般般選選取取為為對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)或或反反三三角角函函數(shù)數(shù) 將將冪冪函函數(shù)數(shù)湊湊微微分分即即3u xu x( )( ),0 0若若被被積積函函數(shù)數(shù)是是指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)與與三三角角函函數(shù)數(shù)的的乘乘積積, ,即即可可選選取取為為指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù), ,也也可可選選取取為為三三角角函函數(shù)數(shù)積積分分要要進進行行兩兩次次 出出現(xiàn)現(xiàn)循循環(huán)環(huán)方方程程. .微積分地四章第三節(jié)12()直接