導數(shù)的隱極值點代換

1、導數(shù)的隱極值點代換導數(shù)解決函數(shù)綜合性問題最終都會歸于函數(shù)單調(diào)性的判斷，而函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的零點有著緊密的聯(lián)系，可以說是導函數(shù)零點的判斷、數(shù)值上的精確求解或者估計是導數(shù)綜合應(yīng) 用中最核心的問題。導函數(shù)的零點，根據(jù)其數(shù)值計算上的差異，可以分為兩類：1、數(shù)值上能夠精確求解的，稱為顯零點2、能夠判斷其存在但是無法直接表示的，稱為隱零點對于隱零點問題，由于涉及靈活的代數(shù)變形技巧、抽象縝密的邏輯判斷和巧妙的不等式應(yīng)用，對學生的綜合能力要求比較高，往往稱為考察的難點題型一：隱極值點代換例題設(shè)函數(shù)f (x)二ex -ax -2 .(I)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n)若a =1, k為整數(shù)，且當x 0時，

2、(k) f (x) x 10 ,求k的最大值.【解答】 解：(I)函數(shù)f(x)二eax2的定義域是R , f(x)=ea,若a, 0,則f (x) =ex-a0，所以函數(shù)f(x)=exax2在(-=,：)上單調(diào)遞增.若 a £ ,則當 x (一1 na)時，f (x)二 ex - a ： 0 ;當 x (lna,時，f (x) =ex -a 0 ；所以，f (x)在(-二,1 na)單調(diào)遞減，在(In a/:)上單調(diào)遞增.(II)由于 a =1，所以，(x -k) f (x) x 1 =(x -k) (ex -1) x 1X +1故當 x 0 時，(xk)f (x) x 1 0 等價

3、于 k ： x(x . 0)e -1XX X入x+1“、-xe 一1 “ e (e x2)令 g(x) x x，則 g (x) x 21X Le -1(e -1)(e -1)由(I)知，當a =1時，函數(shù)h(x)二eX-x_2在(0,二)上單調(diào)遞增,而 h (1)<0 , h (2)0,所以h(x) =e -x -2在(0,；)上存在唯一的零點,故g (x)在(0,；)上存在唯一的零點，設(shè)此零點為：，則有卅(1,2)當 X (0,：)時，g (X) : 0 ； 當 X (：,；)時，g (x)0 ；所以g(x)在(0,；)上的最小值為g(J .又由 g CJ =0，可得 e 2 所以 g

4、()= 1 (2 , 3)由于式等價于k ： g (：)，故整數(shù)k的最大值為2 .設(shè)函數(shù) f (x) = e2x - alnx .(I)討論f(x)的導函數(shù)f (x)零點的個數(shù)；2(n)證明：當 a 0 時，f (x)2a al n .a2x【解答】解：(I) f(x)二e -al nx的定義域為(0,；), .f(x)=2e2x_a .X當a, 0時，f (x) 0恒成立，故f (x)沒有零點，當a 0時，t y =e為單調(diào)遞增，y =-空單調(diào)遞增,.f (x)在(0,；)單調(diào)遞增,又 f (a)0 ,a1假設(shè)存在b滿足0 : b ：ln時，且b , f - (b)：0,24故當a 0時，導

5、函數(shù)f (x)存在唯一的零點，(H)由(I)知，可設(shè)導函數(shù)f (x)在(0,；)上的唯一零點為X。，當 x (0, X0)時，f (x) ：；0 ,當 x (x?：)時，f (x)0 ,故f (x)在(0,xj單調(diào)遞減，在(冷：)單調(diào)遞增，所欲當x =x0時，f (x)取得最小值，最小值為f(xJ ,由于2e2x° -旦=0 ,x0a22所以 f(x0)2ax0 aln 2a aln .2x0aa2故當 a 0 時，f (x)2a aln .a題型二、恒成立求參之隱極值點代換a +1例題 1已知函數(shù) f (x) =a?ex+ -2(a+1)(a > 0).x(I)當a=1時，求

6、f (x)在點(1 , f (1)處的切線方程;(n)若對于任意的 x ( 0, + g),恒有f (x)>0成立，求a的取值范圍.例題 2設(shè)函數(shù) f(x)=(x_a)2lnx, a ：= R(1)若x=e為函數(shù)的極值點，求實數(shù) a的值若對任意的x，(0,3e,恒有f(x) W4e2,求實數(shù)a的取值范圍題型三：隱極值的值域問題x - 2 xx例題(I)討論函數(shù)f(x)=pe的單調(diào)性，并證明當x>0時，(x2)e +x + 2a0;x 2(II)證明：當a，0,1)時，函數(shù)g x =xe _ax_a(x 0)有最小值.設(shè)g x的最小值為h(a),x求函數(shù)h(a)的值域. x 2 x【解析】證明：f x *2°f x 二 exX24x 22(x+2)2 xx e2(x+2),-2.-2, u 時，X 0f x在-2和-2 , :-上單調(diào)遞增x>0 時，ex > f(0 > -1x +2 x -2 ex x 20(i x2xe a x -2x e axa g x4xx xex -2ex 亠 ax 亠2ax -2 xe ax 2亠 3xx _2由知，當x 0時，f xAx _2x +2的值域為-1, ,只有一解.使得掙，円0，2】當x (0, t)時g (x) < 0 , g(x)單調(diào)減；當X(t,；