帶電球體電場與電勢地分布

1、帶電球體電場與電勢的分布王峰南通市啟秀中學(xué)物理學(xué)科226006）在高三物理復(fù)習(xí)教學(xué)中，遇到帶電體的內(nèi)、外部場強(qiáng)、電勢的分布特點(diǎn)問題時，我們 一般以帶電金屬導(dǎo)體為例，指出其內(nèi)部場強(qiáng)處處為零，在電勢上金屬體是一個等勢體，帶電 體上的電勢處處相等；但對帶電金屬導(dǎo)體的內(nèi)' 外部場強(qiáng)、電勢的大小的分布特點(diǎn)及帶電絕 緣介質(zhì)球的內(nèi)、外部電場、電勢的大小分布很少有詳細(xì)說明；而在電場一章的復(fù)習(xí)中，常常 會遇到此類問題，高三學(xué)生已初步學(xué)習(xí)了簡單的微積分，筆者在此處利用微積分的數(shù)學(xué)方法, 來推導(dǎo)出上述問題的答案，并給岀相應(yīng)的“E 廣”和“0尸”的關(guān)系曲線圖，供大家參 考。本文中對電場、電勢的分布推導(dǎo)過程均是

2、指在兵空環(huán)境中，即相對介電常數(shù)罰=1； 對電勢的推導(dǎo)均取無窮遠(yuǎn)處為電勢零參考點(diǎn)的，即”8=0。1、帶電的導(dǎo)體球：因?yàn)閹щ妼?dǎo)體球處于穩(wěn)定狀態(tài)時，其所帶電荷全部分布在金屬球體 的表面，所以此模型與帶電球殼模型的電場、電勢分布的情況是一致的。1.1電場分布：1.1.1內(nèi)部（rvR）：如圖（1）所示，在均勻帶電金屬球（殼）內(nèi)的任意點(diǎn)P處，均有 通過直徑相似對稱的兩個帶電球冠面S和S2,當(dāng)兩條線夾角&很小時，S和S2可以近似 看作兩個帶電圓面，且S和S2兩個面的尺寸相對它們距離P點(diǎn)距離很小，這樣S和S2兩 個帶電面就可以近似處理為點(diǎn)電荷，它們在P點(diǎn)各自產(chǎn)生電場強(qiáng)度E1P與E2P，計算如下 所示：

3、設(shè)球體帶電總量為0,且均勻分別在導(dǎo)體球外表面上圖（1）n24/?2E2P=K="si!?& K 4"且EP與Egp等大反向A EP=0,即均勻帶電導(dǎo)體球（或球殼）內(nèi)部的電場強(qiáng)度處處為零。1.1.2外部（r>R）：如圖（2）所示，要計算帶電金屬球（殼）的外部P點(diǎn)的電場強(qiáng)度, 可以把帶電導(dǎo)體球的表面分割成許多的單元面,將每個單元面上電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場進(jìn)行疊加，求出P點(diǎn)的合場強(qiáng)Ep.由于球面上單元面ds的對稱性特點(diǎn)，可知P點(diǎn)的電場強(qiáng)度EP的方向最終應(yīng)該沿OP連線的方向。圖（2）上述求電場強(qiáng)度Ep的理論方法是淺顯易懂的，但數(shù)學(xué)處理上比較復(fù)雜，需要采用二重 積分的方法

4、；即先要對ds和心'所在球面上的帶電圓環(huán)進(jìn)行Ot2tf的環(huán)積分，對求岀的環(huán) 形電場再進(jìn)行沿直徑方向的Ot/t的積分，最終求出帶電球體在P點(diǎn)的合場強(qiáng)Epa積分 過程如下：如圖（2）所示，設(shè)OA = R, OP = r, AP = x,球表面電荷的面密度為4於AEp = K cos0x1取球面極坐標(biāo)，則ds = R（"Rsin（pdy/,其中0為沿直徑方向的從0tk積分角， 0為帶電圓環(huán)的從0 t 2兀的還積分。L ML2鬥” oR，sn（pd（pdif/EP = JjAEp = f Kcos。0 0L由 OAP可知：x = J/ + R? 一 2/7?cos0又cos&

5、jYc%r- Rcos(pr2 +R2 -2/7?cos0°z7/?(r - /?cos)sin(pcl(p2龍Ep =Kb J 肖 J30 o 00-(廠 + R 一2/7?cos0)2=2秋冰2卩-骯叱)(-沖卩)0 ? 9(廠 +/? -2/7? cos。)2又T r-Rcos(p =:.EP = 27rKaR2?r2 一 r2(一 COS0) 11 +02r(r2 + R2 -2/7?cos0)2d(_cos°)T(r2 +R2 一2/7?cos0)2Q r22r2rR3 t12 (廠 + R- -2rRcos(p)2丄+ 2r 2/7?丄p*(r2 + R -2r

6、Rcos<p)2 -丄+ 12,_r22rR= 2ttK(jR2 r2k Q:.Ep =k£r2由此可以看岀，帶電金屬球體或金屬球殼在外部空間某點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度與其上 電荷全部集中在球心時產(chǎn)生的電場強(qiáng)度相等。當(dāng)t=R時，有E = k£,所以帶電金屬球或帶電球殼的內(nèi)、外電場強(qiáng)度的分布在 R-2r2 一 2fRcos(p r2 一 R? + r2 + R2 -2/7?cos r=R處電場強(qiáng)度的值有突變的情況。1.1.3圖景：如圖(3)所示，是帶電金屬球或帶電球殼(導(dǎo)體或絕緣體殼均相同)的 電場強(qiáng)度E的大小隨P點(diǎn)到圓心O的距離r的關(guān)系圖線。圖(3)1.2電勢分布：1.2.1

7、 內(nèi)部(r<R)：內(nèi)部某點(diǎn)P的電勢0P的大小可以由電場力做功和電勢差關(guān)系來確定 Wpoc = U Aq又J % =+ E22q + Erq + + E、4bq Upg= Q 八 + E0d + S'? + + Enrn "u pg =(PA-(P 0p - 0oc = E曲 + E2Ar2 + E3M3 + + Euru由電勢的物理意義可得，當(dāng)以無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為零勢點(diǎn)時，該點(diǎn)的電勢等于對電場強(qiáng)度從該 點(diǎn)到無窮遠(yuǎn)的定積分。即：ocR00 0(pP = Edr= fOJr+rrR 廣g O(9xo:.(pP = K邑=K R r2 RR由上述答案可知，均勻帶電金屬球在穩(wěn)定時，其球

8、外任一點(diǎn)的電勢等于把全部電荷看 作集中于球心的一個點(diǎn)電荷在該點(diǎn)的電勢相同;在球體內(nèi)任一點(diǎn)的電勢應(yīng)與球面上的電勢相 等，故均勻帶電金屬球面及其內(nèi)部是一個等勢體。1.2.2外部(八R)：由上述電勢理論同樣可得：oc00(p = Edr = J K當(dāng)r = R時，有0=K呂，所以帶電金屬球的內(nèi)、外電勢的分布是連續(xù)不間斷的。1.2.3圖景：如圖（4）所示，是帶電金屬球或帶電球殼（導(dǎo)體或絕緣體殼均相同）的電勢（P的大小隨P點(diǎn)到圓心O的距離r的關(guān)系圖線。圖（4）2、帶電的絕緣體球：這種帶電體的電荷是均勻分布在整個球體的各個部位，即電荷的 體密度處處相同。2.1電場的分布：2.1.1內(nèi)部（r<R）:如

9、圖（5）所示，在此帶電球體內(nèi)部距離圓心r處的電場強(qiáng)度Ep 等于以0為圓心、廠為半徑的帶電球體在此處產(chǎn)生的電場Ej和以0為圓心從廠到R的 帶電球殼在此處產(chǎn)生的電場E2的疊加；又已知帶電球殼在內(nèi)部產(chǎn)生的電場強(qiáng)度處處為 零（即£2 =0）,所以P點(diǎn)處的電場強(qiáng)度就等于以r為半徑的帶電球體產(chǎn)生電場E。圖（5）一腫 3 KnA Ep=E=K = K r2r2/?3所以，帶電絕緣體內(nèi)部的電場強(qiáng)度E的大小與P點(diǎn)距球心的半徑r成正比。2.1.2外部（八R）：和帶電導(dǎo)體球（或球殼）一樣，仍可視為集中在球心處的點(diǎn)電荷在 該處產(chǎn)生的電場。£外=« y(廠 » /?)當(dāng)r = R

10、時，有電場強(qiáng)度的最大值Emax,所以，帶電絕緣體球的內(nèi)、外部的電場強(qiáng)度是連續(xù)分布的；在r = R處，電場強(qiáng)度最大。2.1.3圖景：如圖（6）所示，是帶電絕緣體球的內(nèi)、外部的電場強(qiáng)度£的大小隨P點(diǎn) 到圓心0的距離r的關(guān)系圖線。圖（6）22電勢的分布：2.2.1內(nèi)部（r<R）：由電勢的物理意義可得，當(dāng)以無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為零勢點(diǎn)時，該點(diǎn)的電勢等 于對電場場強(qiáng)從該點(diǎn)到無窮遠(yuǎn)的積分。即：OCR. (pp = J Edr = J K(pp2R->”2）+駕(pp3KQ KQ .2一T 1 2R 222.2.2外部（”R）：由上述電勢理論同樣可得：000C 0. （p = | Edr = J

11、Krr rQ00Q:.（p = K =K r rr當(dāng)廣=0時，即在球體的圓心處電勢最高，有0O = ： KQ2R當(dāng)r = R,即在此球殼處處電勢為外=豊所以帶電絕緣體球的內(nèi)、外電勢的分布曲線是連續(xù)的。2.2.3圖景：如圖（刀所示，是帶電絕緣體球的內(nèi)、外部的電勢0的大小隨P點(diǎn)到圓心0的距離r的關(guān)系圖線。圖(7)本文運(yùn)用數(shù)學(xué)的積分思想對電場、電勢的分布進(jìn)行推導(dǎo)，引導(dǎo)高三復(fù)習(xí)的同學(xué)從數(shù)學(xué)角 度認(rèn)識物理過程，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)和物理知識的聯(lián)系，深化了學(xué)生的物理形象思維和抽象思維。 但高三學(xué)生復(fù)習(xí)本節(jié)知識點(diǎn)時，對于積分的推導(dǎo)過程不必太關(guān)注，但對電場、電勢推導(dǎo)的結(jié) 論' 圖景要作為高考必備知識點(diǎn)給予特別記憶和儲存，以達(dá)到在高考時節(jié)省用在選擇題中時 間的目的。參考書目：1、趙凱華、陳熙謀電磁學(xué)1985年6月第二版 高等教育出版社2、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材物理312004年5月第一版 人民教育 出版社聯(lián)系方式：單