2020年北京市昌平區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(理)含答案解析

1、2020年北京市昌平區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）第5頁（共22頁）一、選擇題（本大題共 符合題目要求的一項(xiàng).8小題,每小題5分, ）共40分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出1復(fù)數(shù)丁二（A.B 22C.D.2.已知雙曲線 C： mx2 - ny2=1的一個焦點(diǎn)為F (5, 0).,實(shí)軸長為6,則雙曲線C的漸近線方程為（A.),3引B- y二 士不x C. y=+x yJD.,3y=± 丁3.x,y滿足“42K -尸1>。js+y- 2>0.則z=2x- y的最小值為（A.B. 1C. 0 D.4.設(shè)a、3是兩個不同的平面,喝b是直線且b? 3, b，“是“上 3'的（

2、）A .充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D .既不充分也不必要條件AD與。O切于點(diǎn)D , DE，5 .過點(diǎn) A和圓心。的直線交。于B, C兩點(diǎn)（ABVAC）6 .如圖所示的程序框圖，如果輸出的S值為3,則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的判斷條件為()A. i<2 B. iv3 C. iv4 D. iv57 .函數(shù)f (x)是定義在-3, 0) U (0, 3上的奇函數(shù)，當(dāng) xC (0, 3時，f (x)的圖 象如圖所示，那么滿足不等式f (x) >2x- 1的x的取值范圍是()A. -3, - 2 U2, 3 B. 3, - 2 U (0, 1 C, - 2, 0) U 1, 3 D.

3、 1 0) U (0,18 .將一個圓的八個等分點(diǎn)分成相間的兩組，連接每組的四個點(diǎn)得到兩個正方形.去掉兩個 正方形內(nèi)部的八條線段后可以形成一正八角星，如圖所示.設(shè)正八角星的中心為 o,并且品二巳1 JOB =曰九 若將點(diǎn)。到正八角星16個頂點(diǎn)的向量，都寫成為正1+&2,人 代R的形式，則入+科的最大值為()A. V2 B, 2 C. 1+V2D. 2正一、填空題(本大題共 6小題，每小題5分，共30分)9 .已知Sn是等比數(shù)列an (nCN )的刖n項(xiàng)和，右Ss=14,公比q=2,則數(shù)列an的通項(xiàng) 公式an=.10 .極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)A為直線l : psin 9= pcos肝2

4、上一點(diǎn)，則| OA|的最小值 為.11.如圖，點(diǎn) D是4ABC的邊BC上一點(diǎn),12.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長棱的棱長為AB=V7, AD=2 , BD=1 , / ACB=45 °,那么/13. 2020年3月12日，第四屆北京農(nóng)業(yè)嘉年華在昌平拉開帷幕.活動設(shè)置了主館兩園一帶一谷”七大板塊. 主館”即精品農(nóng)業(yè)館、創(chuàng)意農(nóng)業(yè)館、智慧農(nóng)業(yè)館；兩園”即主題狂歡樂園、農(nóng)事體驗(yàn)樂園；帶”即草莓休閑體驗(yàn)帶；谷”即延壽生態(tài)觀光谷.某校學(xué)生準(zhǔn)備去參觀，由于時間有限，他們準(zhǔn)備選擇其中的館一園一帶一谷”進(jìn)行參觀，那么他們參觀的不同路線最多有 種.（用數(shù)字作答）14.已知數(shù)列an中,ai=

5、a (0v aw 1), an+1=*、(nC N )若 a3=w，貝 U a=； 記 Sn=a1+a2+ +而，則 S2020=三、解答題（本大題共 6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15 .已知函數(shù)f （x） =Asin Ox+力（A>0, co>0, |（f）| <）的部分圖象如圖所示.（I ）寫出函數(shù)f （x）的解析式及X0的值；TV 兀I（n）求函數(shù)f （x）在區(qū)間-一丁，一丁上的最大值與最小值.y r16 .為了解高一新生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，甲、乙兩校對高一新生進(jìn)行了數(shù)學(xué)測試.現(xiàn)從兩校各隨機(jī)抽取10名新生的成績作為樣本，他們的測試成績的莖葉圖如下：

6、(1)比較甲、乙兩校新生的數(shù)學(xué)測試樣本成績的平均值及方差的大小；(只需要寫出結(jié)論)(2)如果將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)采用 A、B、C等級制，各等級對應(yīng)的測試成績標(biāo)準(zhǔn)如表：(滿分100分，所有學(xué)生成績均在 60分以上)測試成績85, 10070, 85)(60, 70)基礎(chǔ)等級ABC假設(shè)每個新生的測試成績互相獨(dú)立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.從甲、乙兩校新生中各隨機(jī)抽取一名新生，求甲校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級高于乙校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級的概率.甲校 乙校9g761 1 24 77 S5 7 217 .如圖，三棱柱 ABC-A1B1C1中，BC垂直于正方形 A1ACC1所在平面，AC=2 ,

7、BC=1 , D為AC中點(diǎn)，E為線段BC1上的一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，平面AB1E與BD交于點(diǎn)F(I )若E不是BC1的中點(diǎn)，求證：AB1/EF；(n )若E是BC1的中點(diǎn)，求AE與平面BC1D所成角的正弦值；一BE(出)在線段BC1上是否存在點(diǎn)E,使得A1E1CE,若存在，求出質(zhì)：的值，若不存在， 請說明理由.18 .已知函數(shù) f (x) =eax, g (x) =-x2+bx+c (a, b, cC R),且曲線 y=f (x)與曲線 y=g (x)在它們的交點(diǎn)(0, c)處具有公共切線.設(shè) h (x) =f (x) - g (x).(I )求c的值，及a, b的關(guān)系式；(n )求函數(shù)h (x)

8、的單調(diào)區(qū)間；(出)設(shè)a>0,若對于任意xn x26 0, 1,都有|h (x1)- h (x2)| we- 1,求a的取值 范圍.19 .已知橢圓 M:+=1 (a> b>0)的焦距為2,點(diǎn)D (0, >/5)在橢圓M上，過原a b點(diǎn)O作直線交橢圓 M于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A不是橢圓M的頂點(diǎn)，過點(diǎn) A作x軸的垂線，垂足為H,點(diǎn)C是線段AH的中點(diǎn)，直線BC交橢圓M于點(diǎn)P,連接AP(I )求橢圓M的方程及離心率；(II )求證：AB XAP.20 .定義maxx1, x2, x3,，xn表示x1, x2, x3,，xn中的最大值.已知數(shù)列 an="如 , 而=- -

9、, -, 5=，如 , 其中 n+m+p=200, m=kn , n, m, p, keN*. 記dn=maxan, bn, cn(I )求 max an, bn(n )當(dāng)k=2時，求dn的最小值；(出)？ kC N*,求dn的最小值.第#頁(共22頁)2020年北京市昌平區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）參考答案與試題解析、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).）一 11.復(fù)數(shù)-=（）1 - 1第9頁（共22頁）【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算.【解答】解:故選：C.-14-1, 1 A = '>22項(xiàng)【分析】把分子分母同時乘以

10、1+i,直接利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解.2.已知雙曲線 C： mx2-ny2=1的一個焦點(diǎn)為F (-5,0）.,實(shí)軸長為6,則雙曲線C的漸近線方程為（）4A. y=±yxB. y=±x C. y=±yD.3y=士 宮x【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì).【分析】利用雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與實(shí)軸，求出雙曲線的幾何量，然后求解雙曲線的漸近線方程.【解答】解：雙曲線C: mx2 - ny2=i的一個焦點(diǎn)為F （-5, 0）,實(shí)軸長為6,可得 c=5, a=3, b=J.2 _ 員2=J25 . 9=4,雙曲線的漸近線方程為:故選：A.y=±x.3.若x, y滿足，工js+y- 2

11、>0則z=2x - y的最小值為（A. 4B. 1【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃.【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【解答】解：由約束條件«<2工+y -作出可行域如圖,x-v-1 =0.了一“2二0聯(lián)立 化目標(biāo)函數(shù)z=2x - y為y=2x - z,z有最小值為由圖可知，當(dāng)直線 y=2x-z過點(diǎn)A （上，）時，直線在y軸上的截距最大,4 .設(shè)a、3是兩個不同的平面，b是直線且b?&b _L a是“£ 3 '的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D

12、 .既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【分析】“、3是兩個不同的平面，b是直線且b? 3 b句得：0a 3;反之不成立，即可 判斷出關(guān)系.【解答】 解：“、3是兩個不同的平面，b是直線且b? 3 bl ? a，3；反之不成立，若 n 3, b? 3, b a不一定成立.故選：A.【分析】5.過點(diǎn) A和圓心O的直線交。于B , C兩點(diǎn)（AB V AC ）, AD與。O切于點(diǎn)D , DE，）2,即 BE? (BC- BE)連接OD. AD與。切于點(diǎn)D,可得AD2=AB?AC,解出AC.在RtAADO中,SAADO=yAD-D0=yDE-A0 ,解得 DE,由 DEXB

13、C ,可得 BE?EC=DE =DE2,解出BE即可得出.【解答】解：連接OD.二15. AD 與。切于點(diǎn) D, . AD2=AB?AC, AC= .BC=15 3=12, .-.O O 的半徑 r=6.在 RtAADO 中，SAADQ=4-AD-Do4fE-AO ,解得 de二造注=2后. * W3+6/DEXBC, .BE?EC=DE2,即 BE? (BCBE)=DE2,/.BE2- BC?BE+DE2=0,BE2- 12BE+20=0,解得BE=2或10 (舍去). .BE=2 ,故選：C.6 .如圖所示的程序框圖，如果輸出的S值為3,則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的判斷條件為（）開酒A. i<

14、2 B. i<3 C. iv4 D. iv5【考點(diǎn)】程序框圖.【分析】由題意，若輸出S的值為3,可得退出循環(huán)時 S的值為6,即S=6, i=3時，應(yīng)該不滿足條件，退出循環(huán)，從而可得判斷框內(nèi)應(yīng)填入的判斷條件為i<3.【解答】解：由題意，若輸出 S的值為3,可得：3=log2 （S+2）,即退出循環(huán)時S的值為6. 模擬程序框圖的運(yùn)行過程，得S=0, i=1滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，S=2, i=2滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，S=6, i=3此時，由題意，應(yīng)該不滿足條件，退出循環(huán)，輸出 S的值為6,故判斷框內(nèi)應(yīng)填入的判斷條件為 i v 3.故選：B.7 .函數(shù)f (x)是定義在-3, 0) U (

15、0, 3上的奇函數(shù)，當(dāng)xC (0, 3時，f (x)的圖 象如圖所示，那么滿足不等式f (x) >2x- 1的x的取值范圍是()第11頁(共22頁)D A. -3, - 2 U2, 3 B. -3, - 2 U (0, 1 C. - 2, 0) U1, 31, 0) U (0, 1【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象.【分析】由圖象可知，當(dāng)xC (0, 3時，f (x)單調(diào)遞減，當(dāng)x -3, 0)時，f (x)單 調(diào)遞減，分別利用函數(shù)的圖象，結(jié)合不等式f (x) > 2x - 1 ,即可得出結(jié)論.【解答】 解：由圖象可知，x=0時，2x- 1=0,f (x) > 0,成立；當(dāng)xC (0, 3時

16、，f (x)單調(diào)遞減，當(dāng) 0vxw 1 時，f (x) >1, 2x- K 1 ,滿足不等式 f (x) > 2x- 1；當(dāng) 1vxv3 時，f (x) v 1, 1<2x- 1<7,不滿足不等式 f (x) >2x- 1;函數(shù)f (x)是定義在-3, 0) U (0, 3上的奇函數(shù)，當(dāng)xC -3, 0)時，f (x)單調(diào)遞減，373當(dāng)-3vxw-2 時，-wf (x) <0, - <2x-1<-,滿足不等式 f (x) > 2x - 1 ； 當(dāng) x> - 2時，f (x)-京 2x- 1>-p 不滿足不等式 f (x) >

17、;2x-1； ，滿足不等式f (x) > 2x- 1的x的取值范圍是-3, - 2 U0, 1. 故選：B.8 .將一個圓的八個等分點(diǎn)分成相間的兩組，連接每組的四個點(diǎn)得到兩個正方形.去掉兩個正方形內(nèi)部的八條線段后可以形成一正八角星，如圖所示.設(shè)正八角星的中心為 O,并且贏二巳1,6E 二巳外 若將點(diǎn)。到正八角星16個頂點(diǎn)的向量，都寫成為 源1 +g2，入 灰R的形式，則入+科的最大值為(A.6 B. 2 C. 1+北【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用.國內(nèi)詞這樣由平面【分析】根據(jù)題意找出使得 葉科最大的頂點(diǎn)C,根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可作出平行 四邊形OBCD ,這樣結(jié)合圖形及向量數(shù)乘的幾何

18、意義便可得出向量基本定理即可求出在科的最大值.【解答】 解：如圖，根據(jù)圖形及向量加法的平行四邊形法則可看出O到頂點(diǎn)C的向量,此時+ 最大;分作平行四邊形 OBCD ,設(shè)BC=a,根據(jù)題意得，。人=返右；I而I .社 G水亞2 afi5D=V2OA；，而二而+V近層次el + e2>又0C=，已1+艮巳2；入+咕=1+6；即升科的最大值為.故選C.一、填空題(本大題共 6小題，每小題5分，共30分)9 .已知Sn是等比數(shù)列an (nCN )的前n項(xiàng)和，若Ss=14,公比q=2,則數(shù)列an的通項(xiàng) 公式 an= 2n (N*).【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.【分析】根據(jù)等比數(shù)

19、列的前 n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式求解即可.【解答】解：: Sn是等比數(shù)列an (nCN*)的前n項(xiàng)和，若Ss=14,公比q=2,1(1- 23)，為二口4'解得：ai=2,N*).故答案為：2n (N*).10 .極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)A為直線l: psin 9= pcos什2上一點(diǎn)，則| OA|的最小值為_V2_.【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程.【分析】 求出極坐標(biāo)方程的普通方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【解答】 解：直線l： psin 0= pcos。+2的普通方程為：y=x+2,極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)A為直線1：n 9= pcos。+2上一點(diǎn)，則| OA |的最小值就是原點(diǎn)

20、|?-0+2| 到直線的距離：d=L_X±L=/2.故答案為：陋.,AD=2 , BD=1 , / ACB=45 °,那么/11 .如圖，點(diǎn)D是4ABC的邊BC上一點(diǎn)，AB=V7【分析】由已知及余弦定理可求 cos/ ADB=-,結(jié)合范圍/ ADB C （0,兀），即可求得/ADB=,求得/ ADC ,利用正弦定理即可得解 AC的值.由余弦定理可得：cos/ ADB=AD2+5D2 - AB22AD-BD441 - 7 =2X2X1 / ADB £ ( 0,兀），【解答】解：AB=J7, AD=2 , BD=1 , A ACB=45第#頁（共22頁）/ ADB=/

21、 ADC=兀/ ADB=7T由正弦定理可得:=sinZACB故答案為:12 .某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長棱的棱長為【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.【分析】由三視圖可知：該幾何體為三棱錐.AC，側(cè)面PBC.即可得出.【解答】 解：由三視圖可知：該幾何體為三棱錐，AC，側(cè)面PBC./PCB=135 °, BC=1 , PC=也.則該三棱錐中最長棱的棱長為PB=:.：；-:匚7=7（正產(chǎn)+1- 2乂衣 g事 135 =vi.故答案為：木.13 . 2020年3月12日，第四屆北京農(nóng)業(yè)嘉年華在昌平拉開帷幕.活動設(shè)置了主館兩園一帶一谷”七大板塊. 主館”即精品農(nóng)業(yè)館、創(chuàng)意農(nóng)業(yè)館、

22、智慧農(nóng)業(yè)館；兩園”即主題狂歡樂園、農(nóng)事體驗(yàn)樂園；帶”即草莓休閑體驗(yàn)帶；谷”即延壽生態(tài)觀光谷.某校學(xué)生準(zhǔn)備去參觀，由于時間有限，他們準(zhǔn)備選擇其中的一館一園一帶一谷”進(jìn)行參觀，那么他們參觀的不同路線最多有144種.（用數(shù)字作答）【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用.【分析】先選擇一館一園一帶一谷，再進(jìn)行排序，即可得出結(jié)論.【解答】解：由題意，先選擇一館一園一帶一谷，再進(jìn)行排序，即 C；C：A：=144種.故答案為：144.14T（*14 .已知數(shù)列an中，a1=a （0vaw 1）, an+1=3 j、（nCN*）忖凡1）111 國若a3= g ,貝U a=1; 記 Sn=a1+a2+.-+an,則 S2

23、02cp 1512 .【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和.第i15頁（共22頁）【分析】由 ai=a (0vawi), an+i=6>1)(n N ),可得 a2=-a分類討論：當(dāng)時，當(dāng)時，即可得出. ai=a (0<a< 1), an+i =工玲，凡41）(nCN*),a2= ai對a分類討論：當(dāng)時，可得：an+2=an-當(dāng)口時，可得an+4=an.即可得出.%1，4> *【解答】 解：- ai=a (0vaw i), an+i=3(nCN ),1-4加，(%41)33a2= ai+7T= - aF-當(dāng)時，a3= - a2號=a=t,舍去；當(dāng)口<<_3時，a3

24、=a2 T= - a+h1,解得 a=-,滿足條件.22 b3；6>d2) ai =a (0v aw i),?-a4=3 a2+一 a,an+2=an.82020= (ai+a2)Xi008=i5i2.13.1當(dāng)。<耳時，a3=a2i= a+亍=a+-工I 13a4= a3+= . a+-：r) +z-=a+i > i,a5=a4 - i=a.工J.an+4=an . 82020= (ai+a2+£3+a4)x 504=3x 504=i5i2.綜上可得：82020=i5i2.故答案分別為：;i5i2.三、解答題（本大題共 6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過

25、程或演算步驟.15 .已知函數(shù)f (x) =Asin ( cox+» (A>0, w>0, | (j)| <)的部分圖象如圖所示.（I ）寫出函數(shù)f（X）的解析式及X0的值;【考點(diǎn)】由y=Asin （cox+（j）的部分圖象確定其解析式；三角函數(shù)的最值.13?！痉治觥浚↖）由函數(shù)圖象可知 A, T=0利用周期公式可求 以又函數(shù)過點(diǎn)（拳一，2）, 結(jié)合范圍|兇v普，解得想可求函數(shù)解析式，由函數(shù)圖象可得2sin （2X0。）=用，可冗13兀 兀 13兀解得X0=k兀一71kCZ,又結(jié)合范圍 1口 一丁 VX0V從而可求 X0的值.TT JT（II ）由XC -丁，,可求

26、范圍 質(zhì)即可求其最值.【解答】（本小題滿分13分）兀冗 5兀2X+ ,又,利用正弦函數(shù)的圖象和性5b b解：（I） .A>0, co>0,由函數(shù)圖象可知,2TT7UA=2 , T= 3-=2X0 (X0)=兀，解得 3=2 ,又函數(shù)過點(diǎn)13 兀13n13 兀,2),可得：2=2sin (2X'+(),解得：2xg+ <f)=2kkC Z,又| 4|<可得:JlTf(X)=2sin (2x),由函數(shù)圖象可得:2sin (2x0+-JT7T,解得：2X0+-兀 =2k ti+4,kC Z,可得：X0=k 兀7T24又13兀< X0V1213兀12，xL 24(

27、II )由 xC -TTW2x+當(dāng) 2x+=一3時，即x=TTq(x) min=fJU7第21頁(共22頁)當(dāng) 2xy=虧時，即 x=, f(x)max=f=2.J 士_L ±.乙16 .為了解高一新生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，甲、乙兩校對高一新生進(jìn)行了數(shù)學(xué)測試.現(xiàn)從兩校各隨機(jī)抽取10名新生的成績作為樣本，他們的測試成績的莖葉圖如下：(1)比較甲、乙兩校新生的數(shù)學(xué)測試樣本成績的平均值及方差的大??；(只需要寫出結(jié)論)(2)如果將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)采用 A、B、C等級制，各等級對應(yīng)的測試成績標(biāo)準(zhǔn)如表：(滿分100分，所有學(xué)生成績均在 60分以上)測試成績85, 10070, 85)(60, 70)基礎(chǔ)等級ABC假

28、設(shè)每個新生的測試成績互相獨(dú)立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.從甲、乙兩校新生中各隨機(jī)抽取一名新生，求甲校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級高于乙校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級的概率.甲校乙校I 1 24 77 S5 7 W【考點(diǎn)】 相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率計(jì)算公式.【分析】(1)利用均值與方差的定義分別求出甲、乙兩校新生的數(shù)學(xué)成績的均值與方差，從而得出結(jié)論.(2)分類討論，求得甲校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級高于乙校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級的概率.【解答】 解：(1)兩校新生的數(shù)學(xué)測試樣本成績的平均值相同；甲校新生的數(shù)學(xué)測試樣本成績的方差小于乙校新生的數(shù)學(xué)測試樣本成績的方差.(2)設(shè)事件D=

29、從甲、乙兩校新生中各隨機(jī)抽取一名新生，甲校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級高于 乙校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級設(shè)事件E1=從甲校新生中隨機(jī)抽取一名新生，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級為A”，P (E1)=-,設(shè)事件E2=從甲校新生中隨機(jī)抽取一名新生，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級為B”，P (E2)3設(shè)事件F1=從乙校新生中隨機(jī)抽取一名新生，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級為B”，P (F1)-53設(shè)事件F2=從乙校新生中隨機(jī)抽取一名新生，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級為C”，P (F2):，根據(jù)題意，D=E1F1 U E1F2U E2F2,所以 P(D)=P (=E1F1)+P (E1F2)+P(E2F2)33一工名，5 10 5 10 10 10 |100因此，從甲、乙兩校新

30、生中各隨機(jī)抽取一名新生，甲校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級高于乙校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級的概率為蓋.17.如圖，三棱柱 ABC-A1B1C1中，BC垂直于正方形AlACCl所在平面，AC=2 , BC=1 ,D為AC中點(diǎn)，E為線段BC1上的一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，平面AB1E與BD交于點(diǎn)F(I )若E不是BC1的中點(diǎn)，求證：AB“/EF；(n )若E是BC1的中點(diǎn)，求AE與平面BC1D所成角的正弦值；(出)在線段BC1上是否存在點(diǎn) E,使得A1E± CE,若存在，求出 請說明理由.BEECf的值，若不存在,【考點(diǎn)】 直線與平面所成的角；直線與平面平行的性質(zhì).【分析】(I)連接B1C,交BC1于點(diǎn)G,連接G

31、D,則由中位線定理得出 GD/ AB1,于是AB1/平面BC1D,由線面平行的性質(zhì)得出AB1/EF；(II)以C1為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，求出 彘和平面BC1D的法向量7,則AE與平面BC1D 所成角的正弦值為| cosv nAE> I ；("I)設(shè)1；二、求出和的坐標(biāo)，令A(yù)E?E5=0解出入.【解答】證明：(I)連接B1C,交BC1于點(diǎn)G,連接GD.四邊形BCC1B1是平行四邊形，G為B1C的中點(diǎn)，. D為AC中點(diǎn)，. .GD / AB 1，又 GD?平面 BCD, AB 1?平面 BCD,AB1/平面 BC1D.AB 1?平面 AB 1EF,平面 AB1EF 葉面 BC1D二

32、EF, .AB1/ EF.(II)以C1為原點(diǎn)，以C1A1, C1C, C1B1為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.則 A (2, 2, 0), E (0, 1, -), B (0, 2, 1), C1 (0, 0, 0), D (1, 2, 0).AE= (-2, - 1,-),字二(0, 2, 1),亭二(1, 2, 0).設(shè)平面BC1D的法向量為=(x, y, z),則- .nCD=0f n AEcosn，AE>=- HI |AE |2, 1, 2).AE與平面BC1D所成角的正弦值為 上叵.63(III)假設(shè)在線段BCi上存在點(diǎn)E,使得AiEXCE,設(shè)巖=%則亭?彳=(0,熹&#

33、39;熹). &E=CiE - CA廣(-2,詢=+0遇=(0,.AlEXCE,仔近二。-4 h 1即7+7= 0U+1)2 ("1)2解得：=.I BE 1.幫4在線段BCi上存在點(diǎn)E,使得AiEXCE,且18.已知函數(shù) f (x) =eax, g (x) =-x2+bx+c (a, b, cC R),且曲線 y=f (x)與曲線 y=g (x)在它們的交點(diǎn)(0, c)處具有公共切線.設(shè) h (x) =f (x) - g (x).(I )求c的值，及a, b的關(guān)系式；(n )求函數(shù)h (x)的單調(diào)區(qū)間；【考點(diǎn)】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

34、.(I )分別求得f (x)和g (x)的導(dǎo)數(shù)，由題意可知:；f(O)=f(O):f' S)二屋(0)即可求(出)設(shè)a>0,若對于任意 xi, x2C 0, 1,都有|h (xi) - h (x2)| we- 1,求a的取值 范圍.得c的值及a、b的關(guān)系;(n )寫出h (x)的表達(dá)式，求導(dǎo)，構(gòu)造輔助函數(shù) F (x) =h' (x),由？ aC R, F' (x) > 0,即可判斷h'(x)的單調(diào)性，求得 h' (x)的零點(diǎn)，并根據(jù) h，(x)判斷出h (x)的單調(diào)性;(出)由(II)知當(dāng)XC 0, 1時，h(X)是增函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為：h

35、(x) max- h (x) min=ea -a< e- 1,即當(dāng)a>0時，G (a) =ea- a- ( e- 1) < 0,求得函數(shù)的單調(diào)性，求得 a的取 值范圍.【解答】解：(I) ;函數(shù) f (x) =eax, g (x) =-x2+bx+c, ，函數(shù) f' (x) =aeax, g'(x) =- 2x+b.曲線y=f (x)與曲線y=g (x)在它們的交點(diǎn)(0, c)處具有公共切線，. 吃胃？，即尸，h 。)二菖' sr 】小bc=1 , a=b；(II)由已知，h (x) =f (x) - g (x) =eax+x2 - ax - 1./.

36、 h' (x) =aeax+2x - a,設(shè) F (x) =aeax+2x- a,所以 F' (x) =a2eax+2,? aC R, F' (x) >0,所以h' (x)在(-8, +8)上為單調(diào)遞增函數(shù).由(I)得，f' (0) =g' (0)所以 h' (0) =f' (0) - g' (0) =0,即 0是 h' (x)的零點(diǎn).所以，函數(shù)h (x)的導(dǎo)函數(shù)h' (x)有且只有一個零點(diǎn) 0.所以h' (x)及h (x)符號變化如下，x( - 00, 0) 0(0, +OO)h (x)-0

37、+h' (x)極小值/所以函數(shù)h'(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8, 0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0, +OO).(III )由(II )知當(dāng)xC 0, 1時，h (x)是增函數(shù).對于任意 xi, x260, 1,都有 | h (xi) - h (x2)| We- 1 ,等價(jià)于 h (x) max - h (x) min=h(1) - h (0) =ea- a< e - 1,等價(jià)于當(dāng) a>0 時，G (a) =ea- a- (e-1) < 0,G 7 (a) =ea- 1R0, .G (a)在0, +8)上是增函數(shù)，又 G (1) =0,所以 aC 0, 1.19.已知

38、橢圓M: Af +%=1 (a>b>0)的焦距為2,點(diǎn)D (0, V3)在橢圓M上，過原 a b點(diǎn)O作直線交橢圓 M于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A不是橢圓M的頂點(diǎn)，過點(diǎn) A作x軸的垂線，垂足為H,點(diǎn)C是線段AH的中點(diǎn)，直線BC交橢圓M于點(diǎn)P,連接AP(I )求橢圓M的方程及離心率；(II )求證：AB XAP.【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì).【分析】(I)由題意知c=1, b個門，求得a=2,進(jìn)而得到橢圓方程和離心率；(II )設(shè) A (xq, yg), P (x1，y“，則 B ( x°, yO), C (x0,空),將 A, P代入橢圓2方程.兩式相減，由點(diǎn) B, C, P三點(diǎn)共線，可

39、得直線 PB, BC的斜率相等，化簡整理求得3kAB?kPA= - 1,即可得證；或求得 kPA?kPB=-W，再由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1,即可得證.【解答】解：（I）由題意知c=1, b心, 則 a2=b2+c2=4,第23頁（共22頁）所以橢圓M的方程為=1,橢圓M的離心率為e(II )證明：設(shè) A (xo, yo), P (x1，y1),則 B ( xo, yo), C (xo,由點(diǎn)A, P在橢圓上，所以2 _2點(diǎn)A不是橢圓M的頂點(diǎn),-可得巧打2 _2%立法一：又 kpB=2=且點(diǎn)B，°，P三點(diǎn)共線，所以冷yl - 所以 kAB ?kPA=?3(町2可？（ W）="1-即 ABXAP.法二：由已知 AB, AP的斜率都存在,okPA?kPB=2 _2。2 _29 K0又 kPB=kBC=.4K 口,可得kPA=-貝U kAB?kPA=?(Ko即 ABXAP.x2, x3,xn中的最大值.2Q.定義 maxx1, x2, x3,，xn表不 x