高中數學2.3圓的方程2.3.3直線與圓的位置關系課堂探究新人教B版必修2

1、直線與圓的位置關系課堂探究探究一直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系的判斷方法：(1)( 幾何法 ) 由圓心到直線的距離d 與圓的半徑r 的大小關系判斷；(2)( 代數法 ) 根據直線與圓的方程組成的方程組解的個數來判斷；(3)( 直線系法 ) 若直線恒過定點，可通過判斷點與圓的位置關系判斷，但有一定的局限性，必須是過定點的直線系【典型例題1】 (1)已知圓 C： x2 y24x 0， l 是過點 P(3,0) 的直線，則 ()A. l 與 C 相交B l 與 C 相切C l 與 C 相離D以上三個選項均有可能解析： ( 方法一 ) 圓 C 的方程是 (x 2) 2 y2 4，所以點P 到圓心

2、C(2,0) 的距離是d 1 2，所以點P 在圓 C內部，所以直線l 與圓 C 相交( 方法二 ) 將點P 的坐標代入圓的方程，得32 024×3 9 12 3 0，所以點P(3,0) 在圓內，所以過點P 的直線 l 與圓 C 相交答案： A(2) 已知動直線l ： y kx 5 和圓 C：(x 1) 2 y2 1，則當 k 為何值時，直線l 與圓 C相離？相切？相交？解： ( 方法一 )( 代數法 )聯立得方程組得 (k 2 1)x 2 (10k 2)x 25 0，則 (10k 2) 24(k 21) ·25 40k 96，所以當直線l 與圓 C 相離時， 40k 96

3、0，即 k>；當直線 l 與圓 C相切時， 40k 96 0，即 k；當直線 l 與圓 C相交時， 40k 96>0，即 k .( 方法二 )( 幾何法 )圓 C：(x 1) 2 y21 的圓心為 C(1,0) ，半徑 r 1.設圓心 C 到直線 l 的距離為d，則 d.1 / 4當 d>r ，即>1 時， k>，此時直線l 與圓 C 相離當 dr ，即 1 時， k，此時直線l 與圓 C 相切當 d r ，即 1 時， k，此時直線l 與圓 C 相交探究二弦長問題1直線被圓所截得的弦長問題多利用半弦、半徑、圓心到直線的距離構成的直角三角形來處理2若用代數法求弦長

4、，請參考基礎知識自主梳理中“3”【典型例題2】 求直線 y x 被圓 (x 2) 2 (y 4) 2 10 所截得的弦長思路分析： 求直線被圓所截得的弦長的方法：一是利用弦心距、半徑和半弦所構成的直角三角形，二是用弦長公式解法一： 由點到直線的距離公式得圓心到直線的距離d.于是，弦長為 2 2 4.解法二： 聯立方程y x 與 (x 2) 2 (y 4) 2 10，得 x2 6x 50. 設兩個交點為A(x1， y1) ， B(x2 ，y2) ，則 x1， x2 是方程的兩個根，于是由根與系數的關系，得x1x2 6， x1x25，則|AB| 4.探究三圓的切線問題求過圓外一點的圓的切線的三種常

5、用方法：(1) 設切線斜率，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率；(2) 設切點坐標，利用切線的性質解出切點坐標，由直線方程的兩點式寫出直線方程；(3) 設切線斜率，利用判別式等于零，解出斜率對第 (1) 和 (3) 兩種方法應用時務必注意切線斜率不存在的情形【典型例題3】 已知直線5x 12y m 0 與圓 x2 2x y2 0 相切，則m _.解析： 由題意，得圓心C(1,0) ，半徑 r 1，則 1，解得 m 8 或 18.答案： 8 或 182 / 4探究四與圓有關的最值問題與圓有關的最值問題，可借助幾何特征及幾何法先確定達到最值的位置，再進行計算有些與圓有關的最值問題涉及是否過圓心，

6、有時注意考慮表達式中字母的幾何意義，如兩點間距離公式、斜率公式、在y 軸上的截距等【典型例題4】 已知實數x， y 滿足 y，求 m及 b2x y 的取值范圍思路分析： y可化為x2 y23(y 0) ，即以 (0,0) 為圓心，半徑為的半圓， m，可看作半圓上的點與點( 3， 1) 連線的斜率；b 可看作與半圓相交的直線2x y b 0 在 y 軸上的截距解： y表示以原點為圓心，半徑為的上半圓， m表示過點 ( 3，1) 和 (x ，y) 的直線的斜率，如圖(1) 所示圖 (1)圖(2)可知 kABmkAC.所以 kAB.因為 AC與半圓 x2y23(y 0) 相切，所以 kAC.所以 m

7、的取值范圍是.由 b2x y，知 b 表示直線2xy b 0 在 y 軸上的截距，如圖(2) 所示可知直線 b 2x y 一定位于兩直線l 1 與 l 2 之間由直線 l 2 與半圓相切，得b，由直線l 1 過 D(， 0) ，得 b 2.故 b 的取值范圍是 2， 點評本題解決的關鍵是理解m 和 b 的幾何意義，同時要借助分界線探求參數的取值3 / 4范圍探究五易錯辨析易錯點：因忽視斜率不存在的情況而致誤【典型例題5】 若直線 l 過點P(2,3) ，且與圓 (x 1) 2 (y 2) 2 1 相切，求直線 l的方程錯解： 設直線 l ： y 3 k(x 2)，即 kx y 3 2k 0.因為直線 l與圓 (x 1) 2(y 2)2 1 相切，所以 1，所以 k.所以直線 l 的方程為 12x 5y 9 0.錯因分析： 忘記討論斜率不存在的情況正解： (1) 若直線 l 的斜率存在，設直線 l ： y 3 k(x 2) ，即 kx y 32k 0.因為直線 l 與圓 (