高中數(shù)學(xué)4.3平面坐標(biāo)系中幾種常見變換4.3.2平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換知識導(dǎo)航學(xué)案蘇教版選修4-4

1、平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換自主整理1. 一般地 , 由所確定的伸縮變換, 是按伸縮系數(shù)為k 向著 _軸的伸縮變換（當(dāng)k 1 時，表示 _；當(dāng) k 1 時，表示 _），即曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膋 倍答案 : y伸長壓縮2直線經(jīng)過伸縮變換后是_，圓經(jīng)過伸縮變換后可能成為_ 答案:直線橢圓高手筆記1. 直線經(jīng)過伸縮變換后仍是直線由此可知，在伸縮變換作用下，點(diǎn)的共線性質(zhì)保持不變2圓經(jīng)過伸縮變換后可能成為橢圓，反之，橢圓經(jīng)過伸縮變換后成為圓或橢圓3點(diǎn) (x,y)經(jīng)過伸縮變換后的坐標(biāo)變?yōu)?kx,ly)；曲線f(x,y) 0 經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程為.名師解惑1. 正弦函數(shù)， x R

2、的圖象經(jīng)過怎樣的變換，變?yōu)楹瘮?shù)y=Asin( x+) ，x R（其中A0， 0，）的圖象？剖析： y=sinx先按向量a=(- ,0) 經(jīng)過平移變換后變?yōu)閥=sin(x+ ) ，再按伸縮系數(shù)k=向著y軸進(jìn)行伸縮變換，最后按伸縮系數(shù)k=A 向著x 軸進(jìn)行伸縮變換，得到函數(shù)y=Asin ( x+) 的圖象2. 設(shè) P(x,y) 是變換前圖形f(x,y) 0 上點(diǎn)的坐標(biāo)， P(x ,y ) 是變換后P 點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，在伸縮變換下 ,P 、P點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？剖析： 若已知 P 點(diǎn)坐標(biāo) (x,y)，則變換后的對應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (kx,ly)；反之，若已知P的坐標(biāo)為 (x ,y ) ，則P 點(diǎn)坐標(biāo)為

3、講練互動【例題 1】在同一平面直角坐標(biāo)系中，將直線 x-2y=2 變成直線 2x - y=4，求滿足圖象變換的伸縮變換思路分析： 利用待定系數(shù)法，設(shè)變換為（其中, 0） , 可將其代入第二個方程，通過比較系數(shù)求出, 的值解： 設(shè)所求的伸縮變換為（其中, 0），代入方程2x - y，得1 / 32x- y與x-2y 2 比較，將其變成2x-4y ，比較系數(shù)得=1, =4所以伸縮變換為, 即直線x-2y 2 上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的倍 , 可得到直線2x - y綠色通道求滿足圖象變換的伸縮變換，實(shí)際上是讓我們求出其變換公式，我們將新舊坐標(biāo)分清，代入對應(yīng)的直線方程，然后比較系數(shù)就可得

4、了變式訓(xùn)練1. （ 1）在平面直角坐標(biāo)中，圓x2+y2=1 經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程是什么？（ 2）在平面直角坐標(biāo)中，一條曲線經(jīng)過伸縮變換后，曲線方程變?yōu)閥2=2x, 則原來的曲線方程是什么？解： （ 1 ）設(shè) P(x,y)是變換前的點(diǎn)， P(x ,y ) 是變換后P 點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，由題意，22=1 中，整理得2222此曲線方程表示的圖形是代入 x +y4x +9y =1,即 4x +9y=1,橢圓（2）變換后的曲線方程為y2=2x，即y2=2x，把代入，整理得到y(tǒng)2=x，此曲線方程表示的圖形是拋物線【例題 2】已知函數(shù)y=cos 2x+sinxcosx+1,x R（1）當(dāng)函數(shù)y 取最大值時，求

5、自變量x 的集合；（2）該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x R) 的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？思路分析： 首先要把y=cos 2x+sinxcosx+1變?yōu)?y=Asin( x+) 的形式，再根據(jù)平移和伸縮公式求解解： (1)y=cos 2x+sinxcosx+1· 1+sin2x+1cos2x+sin2x+2 / 3 sin(2x+)+ .由 2x+ =2k + ，解得 x=k + ,k Z.所以 y 取得最大值時，對應(yīng)的x 的集合為 x x=k+ ,k Z （ 2 ） 將 y=sinx 的 圖 象 按 向 量 a=(,0) 平 移 ， 得 到 y=sin(x+)的圖象；將y

6、=sin(x+) 按伸縮系數(shù)向著 y 軸進(jìn)行伸縮變換，得到y(tǒng)=sin(2x+) 的圖象；將y=sin(2x+) 按伸縮系數(shù)向著 x 軸進(jìn)行伸縮變換，得到y(tǒng)=sin(2x+) 的圖象；將y= sin(2x+) 按向量 b=(0,) 平移，得到 y= sin(2x+)+的圖象綠色通道本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換和函數(shù)圖象的變換一般要把已知條件中的三角函數(shù)式變換為 y=Asin( x+)+B 的形式，再根據(jù)相應(yīng)的平移或伸縮變換公式求解變式訓(xùn)練2曲線 y=2cos3x 經(jīng)過怎樣的伸縮變換可使方程變形為y=cosx ？解： 由 y=2cos3x, 得=cos3x ，令 y=,x =3x，可得y=cosx所以函數(shù)y=2cos3x經(jīng)過伸縮變換得到函數(shù) y=cosx 教材鏈接P35 思考(1) 由所確定的伸縮變換的意義是什么？答： 設(shè) P(x,y) 是變換前曲線上的點(diǎn)， P(x ,y ) 是變換后曲線上的點(diǎn)，由x=x,ky=y所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為k 向著 x 軸的伸縮變換（當(dāng)k 1 時，表示伸長；當(dāng) k1 時，表示壓縮），即曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膋 倍P36 思考(2) 由所確定的伸縮變換的意義是什么？答： 設(shè) P(x,y) 是變換前曲線上的點(diǎn)， P（ x,y ）是變換