湖南大學(xué)高等代數(shù)200-2009年考研真題

1、高等代數(shù)一一 20052005 年真題f (x ) = a(x b )n,(其中a,b是F中的數(shù)).1 +a1111111 + a2111111+a3 11-,-W - - W-.-（2020 分）證明：數(shù)域F上的一個(gè)n次多項(xiàng)式f （ X ）能被它的導(dǎo)數(shù)整除的充要條件是二.（2020 分） 設(shè)aa2an孝0,計(jì)算下面的行列式:三.（1515 分）已知矩陣A =PQ,其中，2%-4,Q =-13-2A, A2和A100。四.（2020 分） 給定線性方程組23X1aX2aX3=a23X1a2X2a2X3=a223X1a3X2a3X3=a3(1)(1)當(dāng)a1,a2,a3,a4滿足什么條件時(shí)，方程組

2、（1 1）有惟一解？無(wú)窮多解？無(wú)解?五.（2020 分）設(shè)f（X）= XA必一實(shí)二次型，若有實(shí)n維向量Xi, ,X2使得f （X1）o, f （X2，證明：必存在實(shí)n維向量X0#0使f（X0） = 0。六.設(shè)W是齊次線性方程組2X1X2-X3X43X5= 0X1X2- X3X5= 0(2)(2)的解空間。1.1.W中的向量與方程組（2 2）的系數(shù)矩陣的行向量有何關(guān)系？16 2 2。求W孑住止父基勺316七.（1515 分）求復(fù)矩陣-5-7-6的不變因子，初等因子及Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。67； nS困為=燈，（i =1,2，,n ）對(duì)任意整數(shù)b|,b2,，bn均j日有整數(shù)解。證明該方程組的系數(shù)矩陣

3、的行列式必為,Q ,求矩陣八.（1010 分）設(shè)整系數(shù)線性方程組的一組標(biāo)11111 + an九.（1515 分）設(shè)A,B,C為復(fù)數(shù)域上n維空間V的線性變換，AB BA=C，并且C可以與A, B交換。1.1. 證明C的特征子空間是A, B的不變子空間。2.2. 證明C的特征值全為0。高等代數(shù)一一 20062006 年真題一.（2020 分）設(shè)矩陣A= x 4 y,已知 A A 有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，k = 2是 A A 的3 -3 5 ,二重特征根。試求可逆矩陣P，使得PAP為對(duì)角形矩陣。二.（2020 分）設(shè)f（x月g（x再素當(dāng)且僅當(dāng)f （xn）與g（xn）互素（其中n為正整數(shù)）。三. 設(shè)

4、Pn為數(shù)域P上全體n元數(shù)組向量所構(gòu)成的線性空間，證明：（1 1）存在Pn的子空間W使W中每個(gè)非零向量的分量都不是零；（2 2）滿足上述條件的子空間W必為一維空間。四. （2020 分）設(shè)U和V是n階的可逆矩陣，D是m階的可逆矩陣（mn）,且證明:0U0；五.（1010 分）若把行列式%1a,nwaniaaD =an 41anmanqn111的第j列換成（x，x2，xn,1 f后得到的新行列式記為0U =V 0，D00）0；Dj（j =1,2，n ）,試證:D1+D2+Dn= D。六.化f（為*,x3）=2xx2-6x2x3+2xx3為標(biāo)準(zhǔn)型，并且寫出變換矩陣，問這個(gè)二次型是否正定？七.(15分

5、)如果A是一個(gè)非奇異的n階實(shí)矩陣，那么存在一個(gè)正交矩陣P和一個(gè)下三角矩陣Q使得A=QP。八.(15分)設(shè)a1,a2，an都是正數(shù)，證明方程組a1x1a2x2一一anxn= 02-anXn=0anxn=0只有零解。九.(10分)設(shè)f (x )=anxn十a(chǎn)n】xn +a ,并且f (a)= 0,其中耳是一個(gè)n次單位根。求行列式:aa2a3 anananaa2 auananana ,auaua2a3a4 Lana高等代數(shù)一一2007年真題一.(20分)已知多項(xiàng)式f (x)= f|(x)f2(x), g(x)= m(x )d(x),其中符號(hào)E()表示該多項(xiàng)式的次數(shù)，證明：存在多項(xiàng)式Ui (x)和u2

6、(x),使得g(x) =M(x)f2(x)+u2(x )fi(x ),且-Ukx )fkx ,廠二.(20分)設(shè)A = (aij)是數(shù)域K上的一個(gè)n階矩陣，且ajj=司bj ,(1)求 |A；(2)當(dāng)n芝2，且a1#a2b1電 時(shí)，且齊次線性方程組AX =0的解空間的維數(shù)和一組基。三.(20分)試求解線性方程組， 為+ x2 + + xn = 1乂2+乂3 +xn+ =2| K 1 xn 2 x2n= n . 1! nnaiXia2X22a2X2 -四.(20分)設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，E為常向量，函數(shù)f(x)= xAx十20 x ,試分別在下列條件下，討論函數(shù)f (x )的最大值和最小值。(1

7、) A是正定矩陣；(2) A是負(fù)定矩陣；(3) A既不是正定矩陣，又不是負(fù)定矩陣。五. (20(20 分)設(shè)n是n維歐氏空間V中的一個(gè)單位向量，定義線性變換A二=2 . ：- V.證明：(1) A是正交變換；(2)若n為奇數(shù)，則A是第一類的；若n為偶數(shù)，則A是第二類的；(3)W=PEVIAE=E是V的一維子空間。六. (20(20 分)設(shè)A, B為同階方陣，(1)若A與B相似，證明A,B的特征多項(xiàng)式相同；(2)舉例說(shuō)明(1)的逆命題不成立；(3)證明當(dāng)A和B均為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí)，(1)的逆命題成立。七.(20(20 分)設(shè)A是實(shí)數(shù)域R上n維線性空間V的一個(gè)線性變換，是值域A(V )的一組基。(1)

8、若A(&i)=叫，i =1,2，r，證明V是|_何 & ： 禺)與A+0)的直和，其中L3逝丁 博)是V中由每每生成的線性子空間，A、0)為A的核；(2)若A2=0，且A的秩為r ,證明可以找到V的一組基，使得A在這組基下的矩陣為八.(10(10 分)設(shè)實(shí)數(shù)域R上的n維線性空間V的線性變換A有n個(gè)互異的特征值，證明線性變換B與A可交換的充分必要條件是存在不全為零的常數(shù)k0,k1,k2L,knJ,使得2n .1B =k0E+k1A+k2A +knA ,其中E為恒等變換。高等代數(shù)一一 20082008 年真題一一. .(20(20 分)設(shè)f (x)是一個(gè)不可約多項(xiàng)式，a和都是f(x

9、)的根。又若b也是f(x)的o o_,其中N是一個(gè)(n-r戶r的矩陣，且其秩等于a，一 ，、1,1，-，一根，試證1也是f（X ）的根。（2020 分）設(shè)A=（aj私，b =（b,b2,，bn，試證:ATX =0的任一解X|,X2，,Xn,必滿足方程b1x1+b2x2+ +bnxn=bTx = 0；（2 2） 方程組 AyAy = = b b 有解的充分必要條件是AT1x=。無(wú)解。三.（1515 分） 已知5階行列式1234522211D5 =31245=27。1112243150試計(jì)算A+A42+A43+A44+A45及1,其中Aj,j= 1,2，,5是D5中第4行各元素的代數(shù)余子式。四.（

10、1515 分）已知三元二次型XTAX經(jīng)正交變換化為2山2-）22-尸32，又知A七=口，其中口= （1,1,1 ； , A*為A的伴隨矩陣，求此二次型的表達(dá)式。五.（2020 分）設(shè)A為n階方陣，而叫x RnAx =0：,W2=x RnA - E x =0；證明：A為藉等矩陣當(dāng)且僅當(dāng)Rn=叫W2.六.（2020 分）設(shè)A是數(shù)域P上n維線性空間V的一個(gè)線性變換， &2丁為V中n個(gè)非零元素，7擇p。若（A-九EA1=0, （A-/E）寫士 =砰，i =1,2，n -1 ,其中E為V上的恒等變換。（1 1）證明 % ：叫為 V V 的一組基；（2 2） 求 A A 在基 %下的矩陣。七.（2

11、020 分）歐氏空間V中的線性變換A稱為反對(duì)稱的，若對(duì)V中任意向量 都有（1 1）若方程組Ay = b有解，則方程組（A Aa a 戶）=一（a a . .A A& & ）。試證明：(1)(1) 對(duì)有限維歐氏空間 V V 來(lái)說(shuō)，線性變換 A A 為反對(duì)稱的充分且必要的條件是, 交基下的矩陣為反對(duì)稱矩陣；(2)(2)如果 V V u uV V 是反對(duì)稱變換的不變子空間，則V1V11 1也是。八.(20(20 分)設(shè) A A 為 n n 階藉零矩陣，即存在正整數(shù)k使Ak=0。(1)(1) 求 A A 的全部特征值；(2)(2) 若A的秩為r ,證明Ar* =0；(3)(3) 求行列

12、式det(E十A),其中En為n階單位陣。高等代數(shù)一一 20092009 年真題一一. .(15(15 分)計(jì)算n階行列式a1+b1燈b1_b2a?+b2b2Dn =bnbn尾an bn二.(15(15 分)設(shè)d (x)是f (x月g (x )的公因式，證明：(1)(1)d(x)是f (x)與g(x )的一個(gè)最大公因式的充要條件是dx=uxfx vxgx(2)(2) 若h(x)是任一首項(xiàng)為 1 1 的多項(xiàng)式，則fxhx,gxhx =fx,gxhx三.(20(20 分)設(shè)矩陣A, B均為n階方陣，證明：(1)矩陣AB的秩等于矩陣B的秩的充要條件方程組ABx = 0和Bx = 0同解；(2)秩An

13、=秩An*。四.(15(15 分)設(shè)、c(2是一組三維向量。證明： 二，。2線性無(wú)關(guān)的充要條件是任意一個(gè)三維向量都能被它們線性表出，并作出幾何解釋。A在標(biāo)準(zhǔn)正bib2，其中aj黃0,(i =1,2，,n)。五.(15(15 分)設(shè)x12+x22+xn2=1,證明二次型f x1x2xn= x Ax的最小值為矩陣A的最小特征值。六.(20(20 分)設(shè)V是數(shù)域P上的一個(gè)n維線性空間，證明an是V的一組基。用V1表示由向量,環(huán)生成的子空間，令nV2=火口1 +k2O(2 + +knCtn.E k =0,亡P 證明：(1)(1) V V2 2是V的子空間；(2)V =V1V2。七.(15(15 分)設(shè) b 是n維向量空間V上的一個(gè)線性藉等變換，即s1 2 3=s，試證:(1)b 的特征值只能是 0 0 或 1;1;(2)cr+鼻為V上的可逆線性變換，其中 &是V上的單位變換。八. (15(15 分)設(shè)a。,，a”是n個(gè)實(shí)數(shù)，C是如下的n階方陣010 0000100C =.- - - -000 01La0-a1-a2一3_2-an_LJ1若上是 C C 的特征值，試證:( (1 1zVzV 是特征值丸的特征向量；12若扁，吃廣.