人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)：第18章《平行四邊形》專項(xiàng)訓(xùn)練(2)含答案

1、第18章平行四邊形專項(xiàng)訓(xùn)練專訓(xùn)1.矩形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用名師點(diǎn)金：矩形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)，同時(shí)還具有 一些獨(dú)特的性質(zhì).它的性質(zhì)可歸結(jié)為三個(gè)方面：（1）從邊看：矩形的對(duì)邊平行且 相等；（2）從角看：矩形的四個(gè)角都是直角；（3）從對(duì)角線看：矩形的對(duì)角線互相 平分且相等.判定一個(gè)四邊形是矩形可從兩個(gè)角度考慮：一是判定它有三個(gè)角為直角；二 是先判定它為平行四邊形，再判定它有一個(gè)角為直角或兩條對(duì)角線相等.利用矩形的性質(zhì)與判定求線段的長(zhǎng)（轉(zhuǎn)化思想）1 .如圖，將矩形紙片ABCD的四個(gè)角向內(nèi)折起，點(diǎn)A,點(diǎn)B落在點(diǎn)M處， 點(diǎn)C,點(diǎn)D落在點(diǎn)N處，恰好拼成一個(gè)無(wú)縫隙無(wú)重疊的四邊形

2、EFGH,若EH = 3 cm, EF=4cm,求 AD 的長(zhǎng).（第1題）利用矩形的性質(zhì)與判定判斷線段的數(shù)量關(guān)系2 .如圖，在 ABC 中，NA=90°, D 是 AC 上的一點(diǎn)，BD=DC, P 是 BC 上的任意一點(diǎn)，PE±BD, PF±AC, E, F為垂足.試判斷線段PE, PF, AB之 間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.利用矩形的性質(zhì)與判定證明角相等3 .如圖，在ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DELAB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在邊CD上，DF= BE,連接AF, BE求證：四邊形BFDE是矩形；(2)若 CF = 3, BF=4, DF=5,求證：AF 平分NDAB.利用矩形的性質(zhì)

3、與判定求面積4 .如圖，已知點(diǎn)E是ABCD中BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交DC的延 長(zhǎng)線于點(diǎn)F.連接AC, BF,若NAEC = 2NABC,求證：四邊形ABFC為矩形；(2)在的條件下，若4AFD是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為4,求四邊形ABFC 的面積.(第4題)專訓(xùn)2.菱形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用名師點(diǎn)金：菱形具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)，同時(shí)又具有一些特性，可以歸納為三 個(gè)方面：從邊看：對(duì)邊平行，四邊相等；(2)從角看：對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；從 對(duì)角線看：對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.判定一個(gè)四邊形是菱形，可先判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，再判定一組鄰 邊相等或?qū)蔷€互相垂直，也可

4、直接判定四邊相等.利用菱形的性質(zhì)與判定求菱形的高1 .如圖，在 Rt ABC 中，NACB = 90。，D 為 AB 的中點(diǎn)，且 AECD, CEAB.(1)求證：四邊形ADCE是菱形；(2)若NB = 60。，BC = 6,求菱形ADCE的高.(計(jì)算結(jié)果保留根號(hào))(第1題)利用菱形的性質(zhì)與判定求菱形對(duì)角線長(zhǎng)2 .如圖，在矩形AFCG中，BD垂直平分對(duì)角線AC,交CG于D,交AF 于B,交AC于。連接AD, BC.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若E為AB的中點(diǎn)，DELAB,求NBDC的度數(shù)；在(2)的條件下，若AB = 1,求菱形ABCD的對(duì)角線AC, BD的長(zhǎng).(第2題)利用菱形的

5、性質(zhì)與判定解決周長(zhǎng)問(wèn)題3 .如圖，在Rt ABC中，NACB = 90。，D, E分別為AB, AC邊的中點(diǎn), 連接DE,將 ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°,得到ACFE,連接AF.(1)求證：四邊形ADCF是菱形；(2)若BC = 8, AC = 6,求四邊形ABCF的周長(zhǎng).(第3題)利用菱形的性質(zhì)與判定解決面積問(wèn)題4 .如I圖，在Rt ABC中，NBAC = 90。，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn), 過(guò)點(diǎn)A作AF BC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：4AEF絲ADEB；(2)證明四邊形ADCF是菱形；(3)若AC=4, AB = 5,求菱形ADCF的面積.(第4題)專訓(xùn)3.正方形性質(zhì)與判定

6、的靈活運(yùn)用名師點(diǎn)金：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性質(zhì)，判定一個(gè)四邊形是正方形，只需保證它既是矩形又是菱形即可.利用正方形的性質(zhì)解決線段和差倍分問(wèn)題1 .已知：在正方形ABCD中，NMAN=45°, /MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交CB, DC(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)M, N.(1)如圖，當(dāng)NMAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM = DN時(shí)，易證：BM + DN=MN. 當(dāng)NMAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMWDN時(shí)，如圖，請(qǐng)問(wèn)圖中的結(jié)論是否還成立？ 如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)當(dāng)NMAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時(shí)，線段BM, DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫

7、出你的猜想，并證明.AB(第1題)利用正方形的性質(zhì)證明線段位置關(guān)系2 .如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC, BD相交于點(diǎn)O, E, F分別在 OD, OC上，且DE = CF,連接DF, AE, AE的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)M.求證：AM±DF.(第2題)正方形性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用3.如圖，P, Q, R, S四個(gè)小球分別從正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A, B, C, D同 時(shí)出發(fā)，以同樣的速度分別沿AB, BC, CD, DA的方向滾動(dòng)，其終點(diǎn)分別是B, C, D, A.不管滾動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間，求證：連接四個(gè)小球所得的四邊形PQRS總是正方 形.(2)四邊形PQRS在什么時(shí)候面積最大？四邊形PQRS在

8、什么時(shí)候面積為原正方形面積的一半？并說(shuō)明理由.專訓(xùn)4.特殊平行四邊形性質(zhì)與判定的靈活運(yùn)用名師點(diǎn)金：特殊平行四邊形的性質(zhì)區(qū)別主要從邊、角及對(duì)角線三個(gè)方面進(jìn)行區(qū)分；而判 定主要從建立在其他特殊四邊形的基礎(chǔ)上再附加什么條件方面進(jìn)行判定.矩形的綜合性問(wèn)題a.矩形性質(zhì)的應(yīng)用1 .如圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落到點(diǎn)的位置， AB，與CD交于點(diǎn)E.(1)試找出一個(gè)與4AED全等的三角形，并加以證明；(2)若AB = 8, DE = 3, P為線段AC上的任意一點(diǎn)，PGLAE于點(diǎn)G, PH± EC于點(diǎn)H,試求PG+PH的值.b.矩形判定的應(yīng)用2.如圖，點(diǎn)O是菱形ABCD對(duì)角線的交

9、點(diǎn)，DEAC, CE/7BD,連接OE. 求證：(1)四邊形OCED是矩形；(2)OE=BC.(第2題)c.矩形性質(zhì)和判定的應(yīng)用如圖，在 ABC中，AB=AC,點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)(不與B, C重 合)，PE±AB, PF±AC, BDLAC.垂足分別為 E, F, D.(1)求證：BD=PE+PF.(2)當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變.如圖，BD, PE, PF之間菱形的綜合性問(wèn)題a.菱形性質(zhì)的應(yīng)用4 .已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)是BC上任意一點(diǎn)，連接AF交對(duì)角 線BD于點(diǎn)E,連接EC.(1)求證：AE = EC.(2)當(dāng)NABC = 60。，NCEF =

10、60。時(shí)，點(diǎn)F在線段BC上的什么位置？并說(shuō)明 理由.(第4題)b.菱形判定的應(yīng)用5 .如圖，在 RtABC 中，NB = 90°, BC = 5娟，NC=30°.點(diǎn) D 從點(diǎn) C 出 發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā) 沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)， 另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D, E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是ts(t>0).過(guò)點(diǎn)D作DFLBC 于點(diǎn)F,連接DE, EF.(1)求證：AE = DF.(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，請(qǐng) 說(shuō)明理由.(3)當(dāng)t為何值時(shí)，4D

11、EF為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.(第5題)c.菱形性質(zhì)和判定的應(yīng)用6 . （1）如圖,紙片口ABCD 中,AD=5, S. abcd=15.過(guò)點(diǎn) A 作 AE J_BC, 垂足為E,沿AE剪下AABE,將它平移至DCE，的位置，拼成四邊形AEED, 則四邊形AEED的形狀為（）A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形（2）如圖，在中的四邊形紙片AEED中，在EE，上取一點(diǎn)F,使EF=4, 剪下AAEF,將它平移至DEF的位置，拼成四邊形AFFD.求證：四邊形AFFD是菱形；求四邊形AFFD的兩條對(duì)角線的長(zhǎng).（第6題）正方形的綜合性問(wèn)題a.正方形性質(zhì)的應(yīng)用7 .如圖，在正方形ABCD中，G是BC上

12、任意一點(diǎn)，連接AG, DE±AG 于E, BFDE交AG于點(diǎn)F,探究線段AF, BF, EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并 說(shuō)明理由.（第7題）b.正方形判定的應(yīng)用8 .兩個(gè)長(zhǎng)為2cm,寬為1cm的矩形擺放在直線I上（如圖），CE = 2cm, 將矩形ABCD繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角，將矩形EFGH繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)相 同的角度.（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到頂點(diǎn)D, H重合時(shí)（如圖），連接AE, CG,求證：AEDA GCD；（2）當(dāng)a=45°時(shí)（如圖），求證：四邊形MHND為正方形.（第8題）答案專訓(xùn)I 11 .解：由折疊的性質(zhì)知NHEM=NAEH, NBEF = NFEM, AZHEF=Z H

13、EM + NFEM=，X180°=90°.同理可得NEHG = NHGF=NEFG = 90°,二四邊 形 EFGHME.，HGEF, HG = EF. NGHN=NEFM.又: NHNG=NFME = 90°, HNG之FME.，HN=MF.又HN=HD, HD=MF.AD=AH + HD=HM+MF=HFHF=qEH2+EF2=T¥=5（cm）, AAD=5cm.點(diǎn)撥：此題利用折疊提供的角相等，可證明四邊形EFGH為矩形，然后利 用三角形全等來(lái)證明HN=MF,進(jìn)而證明HD=MF,從而將AD轉(zhuǎn)化為直角三 角形EFH的斜邊HF,進(jìn)而得解，體現(xiàn)了

14、轉(zhuǎn)化思想.（第2題）2 .解：PE+PF=AB.理由：過(guò)點(diǎn)P作PGLAB于G,交BD于O,如圖所 示.VPG±AB, PF±AC, NA=90°,，NA=NAGP=NPFA=900.四邊形AGPF 是矩形.A AG = PF, PGAC.； NC= NGPB.又 : BD = DC, AZC=Z DBRAZGPB=ZDBRAOB=ORVPG±AB, PE±BD,NBGO=NPEO=900.在BGO 和中，2bgo=npeo, < ZGOB=ZEOP, OB=OP,/. BGOA PEO.A BG = PE.AB = BG+AG = PE+

15、PF.3.證明：(I)：四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD. BEDF .又BE = DF, 四邊形BFDE是平行四邊形.VDE±AB, NDEB = 90。. 四邊形BFDE是矩形.(2):四邊形ABCD是平行四邊形， ABDC, AD=BC.NDFA=NFAB.由(1)易得4BCF為直角三角形，在Rt BCF中，由勾股定理，得BC=，CF2+BF2=d32+ 42= 5, AD=BC = DF=5.NDAF=NDFA.，NDAF=NFAB,即AF平分NDAB.4.(1)證明：:四邊形ABCD為平行四邊形，ABDC.，NABE = NECF. 又丁點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，BE = CE

16、.在4ABE和4FCE中，/ABE=NFCE,丁 BE = CE，、NAEB=NFEC,:ABE 也FCE.，AB = CF.又ABCF,四邊形ABFC為平行四邊形.AE = EF.NAEC為AABE 的外角，NAEC=NABC + NEAB又NAEC = 2NABC,，ZABC = NEAB.，AE = BE.AE + EF = BE + EC,即AF = BC.二四邊形ABFC為矩形.(2)解：:四邊形ABFC是矩形，AC，DF.又AFD是等邊三角形，CF=CD=g£=2.AC= 皆=五 =23./.S 四邊形 BFC=y3X2=#3.專訓(xùn)I 21 .(1)證明：AECD, CE

17、AB,四邊形ADCE是平行四邊形，又; NACB=90°, D是AB的中點(diǎn)，CD=BD=AD,，平行四邊形ADCE是菱形.(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DFLCE,垂足為點(diǎn)F,則DF即為菱形ADCE的高， VZB = 60°, CD=BD, .BCD 是等邊三角形，A ZBCD=60°.VCEAB, AZBCE = 180°-ZB = 120°,NDCE = 60。，又CD=BC = 6,在RtZiCDF中，易求得DF=3點(diǎn)，即菱形ADCE的高為3電2 .證明：TBD垂直平分AC, OA=OC, AD=CD, AB = BC. 丁四邊形AFCG是矩形

18、，CGAF.AZCDO=ZABO, ZDCO=ZBAO.AACODAAOB(AAS)./. CD=AB. AAB = BC = CD= DA. 四邊形ABCD是菱形.(2)解：:E 為 AB 的中點(diǎn)，DEJ_AB, ADE垂直平分AB.AD= DB.又AD=AB, ADB為等邊三角形，A ZD BA=60°. CDAB, /BDC=NDBA=600.1解：由菱形性質(zhì)知，NOAB=«NBAD = 30。.在RSOAB中，AB = 1,工 0B OA=-.BD = 1, AC = p3 .證明：將4ADE 繞點(diǎn) E 旋轉(zhuǎn) 180。得到CFE,，AE = CE, DE=FE. ，

19、四邊形ADCF是平行四邊形.D, E分別為AB, AC邊的中點(diǎn)，DE是4 ABC的中位線.DEBC./ACB = 90°, ，NAED = 90°. DFLAC.，四邊 形ADCF是菱形.(2)解:在 RtABC 中，BC = 8, AC=6,，AB = 10二點(diǎn) D 是 AB 邊的中點(diǎn), ，AD=5二四邊形ADCF是菱形，AF = FC=AD=5.，四邊形ABCF的周長(zhǎng) 為 8+10+5+5=28.4 . (1)證明：:E是AD中點(diǎn)，AE = DE.AFBC, NFAE = NBDE,又NAEF = NDEB, AAAEFADEB(ASA).(2)證明:由知,AAEFAD

20、EB,則AF=DB, -D是BC的中點(diǎn),/. DB = DC, .AF = CD,又.AFBC,，四邊形ADCF是平行四邊形，NBAC1= 90°, D是BC的中點(diǎn)，AD = DC=2bu四邊形ADCF是菱形.解：設(shè)菱形ADCF的DC邊上的高為h,則RtAABC斜邊BC上的高也 為 h, ,BC=(52+42=0, ，DC='bc=；菱形 ADCF的面積為：DGh=X 7=1O.專訓(xùn)I 31.解：(1)仍有BM + DN=MN成立.證明如下：如圖(1),過(guò)點(diǎn)A作AE ±AN,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,易證4ABE附ADN,，DN=BE, AE=AN.又 NMAN=45&

21、#176;, NEAM = NNAM=45°, AM=AM,工 EAM也NAM.， ME=MN.：ME=BE + BM = DN+BM , ABM + DN=MN.(2)DN BM = MN.證明如下：如圖(2),在DN上截取DE = BM,連接AE.四邊形ABCD是正方形， NABM = ND=90°, AB=AD.又 BM = >E,， ABM之 ADE. AM=AE, NBAM = NDAE./DAB = 90°, AZMAE=900. NMAN=45。， N EAN =45°= N MAN.又 ; AM=AE, AN=AN,/. AAMNA

22、AEN.，MN= EN. DN=DE+EN = BM + MN.，DNBM = MN.2 .證明：:AC, BD是正方形ABCD的兩條對(duì)角線，.AC，BD, OA= OD=OC=OBDE = CF, AOE=OF.在 RtZXAOE 與 RtDOF 中， OA=OD,< NAOE=NDOF=90。，、OE=OF,ARtAAOERtADOF.A Z OAE = Z ODE V Z DOF=90°, Z. Z DFO+Z FDO=90°.A ZDFO+ZFAE = 90°.A ZAMF=90°,即 AM±DF.3 . (1)證明：:四邊形AB

23、CD是正方形，NA=NB = NC=ND=90°, AB = BC = CD=DA.又:不管滾動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間，AP=BQ=CR=DS, SA=PB = QC= RD. /. ASPg BPQg CQR 之 ADRS.PS=QP=RQ=SR, NASP=NBPQ不管滾動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間，四邊形PQRS 是菱形.又NAPS+NASP=90°,/APS+/BPQ=90°.NQPS=180o(N APS+NBPQ)=180°90°=90°.不管滾動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間，四邊形PQRS總是正方 形.(2)解：當(dāng)P, Q, R, S在出發(fā)時(shí)或在到達(dá)終點(diǎn)時(shí)面積最大，此時(shí)的

24、面積就 等于原正方形ABCD的面積.(3)解：當(dāng)P, Q, R, S四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到正方形四邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形PQRS的面 積是原正方形ABCD面積的一半.理由：設(shè)原正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a.1當(dāng) PS2=；2 時(shí)，在 RtAPS 中，AS=aSD=aAP由勾股定理，得 AS2+AP2=PS2,即(aAP)2+AP2=±2,11解得AP，a同理可得BQ=CR=SD=2a當(dāng)P, Q, R, S四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到正方形ABCD各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形PQRS的 面積為原正方形面積的一半.專訓(xùn)I 41 .解：(1)ZAED之CEB。證明：:四邊形ABCD是矩形，BC = DA, NB = ND.由折疊的性質(zhì)，知

25、 BC=BC NB = NB，B，C = DA, NB-ND.在AAED 和CEB，中，NDEA=NB，EC, ND=NB。DA=BC .AED 之CEB'.(2)如圖，延長(zhǎng)HP交AB于點(diǎn)M,則PMLAB. /1 = /2， PG±ABS ;PM=PG. CDAB, N2=N3, AZ1 = Z3, ，AE = CE = 83=5.在 RtZkADE 中，DE = 3, AE = 5,AD=4.V PH+PM=AD,，PG+PH=AD=4.2.證明：（1）; DEAC, CEBD, 四邊形OCED是平行四邊形.丁四邊形ABCD是菱形，AC，BD. ZDOC=90°.

26、 A四邊形OCED是矩形.（2）四邊形ABCD是菱形， BC = CD.丁四邊形OCED是矩形，OE=CD,，OE=BC.（第3題）3.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BFUFP交FP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.YBDLAC, PF±AC, BH±PF,四邊形 BDFH 是矩形.A BD-HF.VAB=AC, A ZABC = ZC.VPE±AB, PF1AC,，NPEB = NPFC=90°.，NEPB=NFPC.又丁NHPB-ZFPC, AZEPB-ZHPB.VPE±AB, PHXBH, AZPEB = ZPHB=90°.又PB = PB,PEBAPHB

27、.PE=PH,，BD = HF=PF+PH=PF+PE.即 BD = PE+PF.(2)解：不成立，此時(shí)PE=BD+PF.理由：過(guò)點(diǎn)B作BHLPF交PF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.與同理可得PE=PH, BD= HF；PE=FH + FP=BD + PF.D（第4題）4.證明：連接AC,如圖.BD是菱形ABCD的對(duì)角線,BD是線段AC的垂直平分線， AE = EC.（2）解：點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn).理由：四邊形ABCD是菱形, ，AB = CB.又NABC = 60。， /.ABC是等邊三角形, Z BAC = 60°.VAE = EC,AZEAC=ZACE. /CEF = 60。，AZEAC =

28、 30°,AZEAC=ZEAB. AF是AABC的角平分線.，BF = CF. 點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn).5. (1)證明：在ADFC 中，NDFC=90°, NC = 30°, DC=2t,，DF=t,又AE=t, AE = DF.(2)解:能.理由如下：VAB±BC, DF±BC, AAE/7DF.又AE = DF,四邊形AEFD為平行四邊形.在 RtABC 中，設(shè) AB=x,則由NC = 30°,得 AC = 2x,由勾股定理，得AB2+BC2=AC2,即x2+(5稱=4x2,解得x=5(負(fù)根舍去)， AB = 5.，AC = 2AB = W. AD=ACDC=102t由已知得點(diǎn)D從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的時(shí)間為10+2=5(s),點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到 點(diǎn)B的時(shí)間為5+1 = 5.10若使AEFD為菱形，則需AE=AD,即t=102t,解得t=字符合題意.in故當(dāng)t=s時(shí)，四邊形AEFD為菱形.解：當(dāng)NEDF = 90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形.在 RtAED 中，NADE=NC=30。， AD=2AE,即102t=2t,解得t=,符合題意.當(dāng)NDEF = 900時(shí)，由(2)知 EF