2020高考數學數形結合思想

1、難點37數形結合思想數形結合思想在高考中占有非常重要的地位，其“數”與“形”結合，相互滲透，把代數式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述相結合，使代數問題、幾何問題相互轉化， 使抽象思維和形象思維有機結合.應用數形結合思想，就是充分考查數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義又揭示其幾何意義，將數量關系和空間形式巧妙結合，來尋找解題思路，使問題得到解決.運用這一數學思想，要熟練掌握一些概念和運算的幾何意義及常 見曲線的代數特征._難點磁場1 .曲線y=1+ <4 X2 (- 2WxW2)與直線y=r(x- 2)+4有兩個交點時，實數r的取值范圍2 .設f(x)=x2-2ax+2,當

2、xC - i,+oo)時，f(x)>a恒成立，求a的取值范圍.案例探究例 1 設 A= x | - 2< x< a , B= y | y=2x+3 ,且 x C A, C= z | z=x2,且 xC A , 若C B,求實數a的取值范圍.命題意圖：本題借助數形結合，考查有關集合關系運算的題目.屬級題目.知識依托：解決本題的關鍵是依靠一元二次函數在區(qū)間上的值域求法確定集合C.進而將C B用不等式這一數學語言加以轉化.錯解分析：考生在確定 z=x2, xC - 2,a的值域是易出錯，不能分類而論.巧妙觀察圖象將是上策.不能漏掉a< - 2這一種特殊情形.技巧與方法：解決集

3、合問題首先看清元素究竟是什么，然后再把集合語言“翻譯”為一般的數學語言，進而分析條件與結論特點，再將其轉化為圖形語言，利用數形結合的思想來解決.解：: y=2x+3在-2, a上是增函數- K y<2a+3,即 B=y | - 1WyW 2a+3作出z=x2的圖象，該函數定義域右端點x=a有三種不同的位置情況如下：當-2WaW0 時，a2WzW 4即C=z| z2<z< 4要使C B,必須且只須2a+3>4得a>工與-2Wav0矛盾.2當0WaW2時，024即C=z | 0WzW4,要使C B,由圖可知:必須且只需2a 3 40 a 21斛信一w a w 22即C

4、= z| 0<z< a2，要使C B必須且只需當 a>2 時，0wzwa2,a 2a 3解得 2 v aw 3a 2當av - 2時，A= 此時B=C=,則C B成立.綜上所述，a的取值范圍是(-oo , - 2) U ： 1,3.2例 2已知 acos a +bsin a =c, acos 3 +bsin 3 =c(abw 0, a B w k 兀，kC Z)求證:22ccos222 a b命題意圖：本題主要考查數學代數式幾何意義的轉換能力.屬級題目.知識依托：解決此題的關鍵在于由條件式的結構聯想到直線方程.進而由A、B兩點坐標特點知其在單位圓上.錯解分析：考生不易聯想到條

5、件式的幾何意義，是為瓶頸之一.如何巧妙利用其幾何意義是為瓶頸之二.技巧與方法：善于發(fā)現條件的幾何意義，還要根據圖形的性質分析清楚結論的幾何意義，這樣才能巧用數形結合方法完成解題證明：在平面直角坐標系中，點A (cosa ,sin a )與點B (cos3 ,sin B )是直線l:ax+by=c與單位圓x2+y2=1的兩個交點如圖.從而：| AB | 2=(cos a - cos 3 )2+(sin a - sin B )2=2 - 2cos( a - 0 )又單位圓的圓心到直線l的距離d , |c|a2 b2由平面幾何知識知I OA | 2 -(1| AB | )2=d2即22彳 2 2co

6、s( )2 c1 d 4a b22c-cos 2 .2a2 b2錦囊妙計應用數形結合的思想，應注意以下數與形的轉化：(1)集合的運算及韋恩圖(2)函數及其圖象(3)數列通項及求和公式的函數特征及函數圖象(4)方程(多指二元方程)及方程的曲線以形助數常用的有：借助數軸；借助函數圖象；借助單位圓；借助數式的結構特征；借 助于解析幾何方法.以數助形常用的有：借助于幾何軌跡所遵循的數量關系；借助于運算結果與幾何定理的結合.殲滅難點訓練、選擇題1. ()方程 sin(x- 一 )=2x的實數解的個數是()4 4A.2B.3C.4D.以上均不對2. ()已知 f(x)=(x- a)(x - b) - 2

7、(其中 avb),且 a、B 是方程 f(x)=0 的兩根(a V B ),則實數a、b、a、3的大小關系為()A. a v av bv BB. a <a< 3 < bC.av a < b< 3D. av a v B v b二、填空題3. () (4cos 8 +3 - 2t)2+(3sin 9 - 1+2t)2, ( 8、t 為參數)的最大值是 .4. ()已知集合A= x | 5 - x> J2(x_1) , B= x | x2 - ax< x - a,當 隼 B時，則a的取值范圍是.三、解答題5. ()設關于 x的方程sinx+ V3 cosx+

8、 a=0在(0,n)內有相異解 a、B .(1)求a的取值范圍；(2)求 tan( a + 3 )的值.6. ()設 A=( x,y) | y= V2a2 x2 ,a>0, B=(x,y) | (x-1)2+(y- 3)2=a2,a>0, 且An BW，求a的最大值與最小值.22 .，一x y7. ()已知 A (1,1)為橢圓 =1內一點，F1為橢圓左焦點，P為橢圓95上一動點求I PFi | + | PA |的最大值和最小值.8. ()把一個長、寬、高分別為25 cm、20 cm、5 cm的長方體木盒從一個正方形窗口穿過，那么正方形窗口的邊長至少應為多少？參考答案難點磁場1.解

9、析：方程y=1+，4 x2的曲線為半圓，y=r(x-2)+4為過(2, 4)的直線.5 3答案：(一,一112 42.解法一：由 f(x) > a,在-1,+°°)上恒成立x2 - 2ax+2 - a>0 在-1,+ °°)上恒成立.考查函數g(x)=x2 - 2ax+2 - a的圖象在-1,+°°時位于x軸上方.如圖兩種情況:不等式的成立條件是：(1)A=4a2-4(2-a)<0 a (-2,1)0(2) a 1 a C (-3,-2,綜上所述 a (-3,1). g( 1) 0解法二：由 f(x)>ax2+

10、2>a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐標系中作出兩個函數的圖象.如圖滿足條件的直線l位于11與12之間，而直線11、12對應的 值(即直線的斜率)分別為 1, -3,故直線1對應的aC (- 3,1).殲滅難點訓練2.解析：a,b是方程g(x)=(x - a)(x - b)=0的兩根，在同一坐標系中作出函數f(x)、g(x)的圖象如圖所示：答案：A二、3.解析：聯想到距離公式，兩點坐標為 A(4cos 0 ,3sin 0 ),B(2t - 3,1 - 2t)點A的幾何圖形是橢圓，點B表示直線.考慮用點到直線的距離公式求解.答案:4.解析：解得 A=x | x&

11、gt;9 或 xV3, B=x | (x-a)(x- 1)< 0,畫數軸可得 答案：a>3三、5.解：作出y=sin（x+一）（x6 （0,冗）及y=-的圖象，知當I - I <1且-豐3222g 時，曲線與直線有兩個交點，故 a （ - 2, -） U （ - 13 ,2）.2把 sin a + J5 cos a = - a,sin § + cos p = - a 相減得 tan -23故 tan( a + § )=3.6.解：集合A中的元素構成的圖形是以原點0為圓心，a為半徑的半圓；集合 B中的元素是以點 0' （1,、目）為圓心，a為半徑的圓

12、.如圖所示An BW顯然當半圓。和圓0'外切時，a最小 2 a+a= | 00' | =2, amin=2 - 2當半圓。與圓0'內切時，半圓 0的半徑最大，即最大.此時 y2 a - a= | 00| =2, amax=2 72 +2.227 .解：由二 乙 1可知a=3,b=V號，c=2,左焦點F1(-2,0),右焦點F2(2,0).由橢圓定 95義，I PFi | =2a- | PF2 | =6- | PF2 | ,I PFi | + | 融 | =6 - | PF2 | + | FA | =6+ | FA | - | PF2 |如圖：由 | PA | - | PF2 | | < | AF2 | = <(2 1)2 (0 1)2-V2 < | PA | - | PF2 I < <2 .當P在AF2延長線上的P2處時，取右“=”號；當P在AF2的反向延長線的 P1處時，取左“=”號.即I PA I - I PF2 I的最大、最小值分別為 版2 -