走進(jìn)數(shù)學(xué)建模世界

1、走進(jìn)數(shù)學(xué)建模世界華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院06級本科生 (510631) 黃澤君編者按：由中國教育部國際交流司與師范司，以及東芝公司共同舉辦的第二屆“東芝杯·中國師范大學(xué)師范專業(yè)理科大學(xué)生教學(xué)技能創(chuàng)新實(shí)踐大賽”2009年11月15日在上海落下帷幕。經(jīng)過緊張的數(shù)學(xué)模擬授課、教案評比、即席演講三項總決賽，最終華南師范大學(xué)的黃澤君奪得冠軍，南京師范大學(xué)的向坤獲亞軍，陜西師范大學(xué)的金濤獲季軍。三名獲獎選手每人除了獲獎勵高級筆記本電腦一臺之外，并獲得免費(fèi)赴日進(jìn)行短期訪學(xué)。本刊刊登獲得第一名的教案,以饗讀者?！窘滩摹咳私贪鏀?shù)學(xué)必修 3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用【課時安排】第4課時【教學(xué)對象】高一學(xué)生 【

2、授課教師】華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 黃澤君【教材分析】數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)新課程的新增內(nèi)容，但標(biāo)準(zhǔn)中沒有對數(shù)學(xué)建模的課時和內(nèi)容作具體安排，只是建議將數(shù)學(xué)建模穿插在相關(guān)模塊的教學(xué)中。而“3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用”一節(jié)只是通過六個例子介紹一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用，為以后的數(shù)學(xué)建摸實(shí)踐打基礎(chǔ)，還未能使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)建模的真實(shí)全過程。本節(jié)課通過一個較為真實(shí)的數(shù)學(xué)建模案例，以彌補(bǔ)教材的這一不足。【學(xué)情分析】高一學(xué)生在進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)之前，需要熟悉前面已學(xué)過的二次函數(shù)與三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。【教學(xué)目標(biāo)】² 知識與技能（1）初步理解數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模兩個概念

3、；（2）掌握框圖2數(shù)學(xué)建模的過程。² 過程與方法（1）經(jīng)歷解決實(shí)際問題的全過程，初步掌握函數(shù)模型的思想與方法；（2）提高學(xué)生通過建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的能力。² 情感態(tài)度價值觀（1）體驗(yàn)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)化過程；（2）感受數(shù)學(xué)的實(shí)用價值，增強(qiáng)應(yīng)用意識；（3）體會數(shù)學(xué)以不變應(yīng)萬變的魅力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】框圖2數(shù)學(xué)建模的過程?！窘虒W(xué)難點(diǎn)、關(guān)鍵】 方案二中答案的探究；關(guān)鍵是運(yùn)用合情推理?！窘虒W(xué)方法】引導(dǎo)探究、討論交流?！窘虒W(xué)手段】計算機(jī)、PPT、幾何畫板。【教學(xué)過程設(shè)計】一、教學(xué)流程設(shè)計設(shè)計意圖：與大學(xué)數(shù)學(xué)建模相比，過去的中學(xué)數(shù)學(xué)建模缺少理想化（模型假設(shè)）這一重要的環(huán)節(jié)

4、。本環(huán)節(jié)意在恢復(fù)數(shù)學(xué)建模的真實(shí)面目。實(shí)際問題化為理想化問題設(shè)計意圖：展示將理想化問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)化過程。理想化問題化為數(shù)學(xué)問題設(shè)計意圖：展示“解?！边^程。求解數(shù)學(xué)模型解釋數(shù)學(xué)結(jié)果數(shù)學(xué)建模過程的概括設(shè)計意圖：結(jié)合這一實(shí)際問題的解決過程，概括出數(shù)學(xué)建模的基本過程，以實(shí)現(xiàn)由具體到抽象的升華。牛刀小試畫龍點(diǎn)睛設(shè)計意圖：1.讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模中的優(yōu)化過程；2.培養(yǎng)學(xué)生的探究意識。最優(yōu)解的探究設(shè)計意圖：1.使學(xué)生獲得科學(xué)的數(shù)學(xué)建模理論：數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)模型的概念、數(shù)學(xué)建模的具體過程；2.體會數(shù)學(xué)以不變應(yīng)萬變的魅力。什么是數(shù)學(xué)建模設(shè)計意圖：1.根據(jù)桑代克的練習(xí)律與斯金納的強(qiáng)化原理設(shè)計該練習(xí)，以強(qiáng)化剛剛

5、獲得的數(shù)學(xué)建模理論；2.培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力。牛刀小試設(shè)計意圖:1.小結(jié)意在強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模理論，形成知識組塊；2.設(shè)計四個問題，目的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力、動手實(shí)踐能力和數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識。小結(jié)與思考二、教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)教 學(xué) 內(nèi) 容教師活動學(xué)生活動設(shè) 計 意 圖（一）實(shí)際問題化為理想化問題預(yù)計 時間2分鐘現(xiàn)有寬為的長方形板材，請將它設(shè)計制成一直的開口的長條形水槽，使水槽能通過的流水量最大。 1. 初步理想化在單位時間內(nèi)，該水槽能通過的流水量取決于水流速度和它的橫截面積。我們將問題理想化，假定水流速度是一定的。那么，要在單位時間內(nèi)獲得最大的流水量，就應(yīng)該將水槽設(shè)計成橫截面積最大。于是，問題化歸

6、為：現(xiàn)有寬為的長方形板材，請將它設(shè)計制成一開口的長條形水槽，使水槽的橫截面積最大?！?.進(jìn)一步理想化如果將水槽的橫截面設(shè)計成矩形，那么這一實(shí)際問題可以轉(zhuǎn)化為理想化問題：如下圖所示，要建造一個橫截面為矩形ABCD 的水槽,并且AB ,BC ,CD 的長度之和等于.問應(yīng)當(dāng)怎樣設(shè)計水槽的深度和寬度,使水槽的橫截面積最大? 教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀理解問題，并將其理想化學(xué)生聽講思考與大學(xué)數(shù)學(xué)建模相比，過去的中學(xué)數(shù)學(xué)建模缺少理想化這一重要的環(huán)節(jié)。本環(huán)節(jié)意在恢復(fù)數(shù)學(xué)建模的真實(shí)面目。（二）將理想化問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題預(yù)計時間3分鐘.1.尋找變量以及變量之間的關(guān)系在此問題中，水槽的深度是一個變量，寬度是另一個變量，橫截

7、面積也是一個變量。設(shè)，.矩形的面積為.那么，這三個變量之間的關(guān)系是. 變量由兩個變量和確定.如果我們能使面積表達(dá)式只由一個變量確定，那么我們研究的問題就可以簡化，這就需要尋找兩個變量和之間的關(guān)系。顯然,.2.建立數(shù)學(xué)模型將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個純數(shù)學(xué)問題：當(dāng)取何值時，函數(shù)（）有最大值？教師引導(dǎo)講解學(xué)生聽講思考展示將理想化問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)化過程。（三）求解數(shù)學(xué)模型解釋數(shù)學(xué)結(jié)果預(yù)計時間2分鐘（四）數(shù)學(xué)建模過程預(yù)計時間2分鐘.因?yàn)?，所以，?dāng)時，有最大值.此時，. 當(dāng)水槽的橫截面設(shè)計成矩形時，只要將深度、寬度分別設(shè)計為和時，可得到最大的橫截面積，從而可獲得最大的流水量。 可將上述數(shù)學(xué)建模的過程概括

8、為下面的框圖1：實(shí)際問題理想化問題求解數(shù)學(xué)模型解釋數(shù)學(xué)結(jié)果純數(shù)學(xué)問題尋找變量關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型教師引導(dǎo)分析講解教師引導(dǎo)講解學(xué)生聽講思考求解模型學(xué)生聽講思考展示解模過程結(jié)合這一實(shí)際問題的解決過程，概括出數(shù)學(xué)建模的基本過程，以實(shí)現(xiàn)由具體到抽象的升華。（五）最優(yōu)解的探究預(yù)計時間7分鐘我們前面的設(shè)計是將橫截面設(shè)計成矩形，將深度、寬度分別設(shè)計為和時，可得到最大的橫截面積，如果將水槽的橫截面分別按照下圖中的五種方案進(jìn)行設(shè)計，結(jié)果又如何呢？ 教師將學(xué)生分成五個小組，并巡視指導(dǎo)學(xué)生解決問題.由于缺少導(dǎo)數(shù)工具，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用觀察、試算、估算、來探究方案二的答案.學(xué)生動手探究各自的設(shè)計方案1.讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模

9、中的優(yōu)化過程；2.培養(yǎng)學(xué)生的探究意識。最優(yōu)解的探究總結(jié)預(yù)計時間7分鐘下面，我們將全班分成5個小組，分別探究五個方案的設(shè)計。最后派代表報告本小組的探究結(jié)果.方案一：當(dāng)，且時，方案二：（ 演示數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)）時， 方案三（四個底角為67.5的等腰三角形）：方案四（五個底角為的等腰三角形）：方案五：通過比較以上五種方案和橫截面設(shè)計為矩形時的情況可以得出，方案五是這個實(shí)際問題的最優(yōu)解，即：將水槽的橫截面設(shè)計為半徑為的半圓形時，從而可獲得最大的流水量。教師總結(jié)點(diǎn)評最后教師演示數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)答案,并指出運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具可以證明我們的答案是正確的.學(xué)生代表講解各自方案的答案通過觀察、試算、估算與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的合情

10、推理能力和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力.（六）什么是數(shù)學(xué)建模預(yù)計時間6分鐘以上我們進(jìn)行了六種設(shè)計方案的探究后，才找到了該問題的最優(yōu)解。這就表明，數(shù)學(xué)建模需要對所得到的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)評價，以確認(rèn)結(jié)果是否合理，是否是較好的結(jié)果。如果結(jié)果不滿意，就需要重新回到“理想化問題”這一環(huán)節(jié)。于是，我們就可以概括出一個較為完善的數(shù)學(xué)建模過程的框圖。框圖2：實(shí)際問題理想化問題求解數(shù)學(xué)模型問題獲得解決結(jié)果是否合理是重新理想化結(jié)果不理想純數(shù)學(xué)問題建立數(shù)學(xué)模型尋找變量及關(guān)系教師講解概括學(xué)生聽講思考1.使學(xué)生獲得科學(xué)的數(shù)學(xué)建模理論：數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)模型的概念、數(shù)學(xué)建模的具體過程；2.體會數(shù)學(xué)以不變應(yīng)萬變的魅力；3.彌補(bǔ)標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)的建模理論

11、的不足。根據(jù)這個框圖，我們就可以來回答什么是數(shù)學(xué)建模？數(shù)學(xué)建模(Mathematical Modelling)：就是運(yùn)用數(shù)學(xué)化的手段從實(shí)際問題中提煉、抽象出一個數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇裕瑥亩惯@一實(shí)際問題得以解決的過程。數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)語言符號來描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。例如，各種函數(shù)、方程、不等式、不等式組等等都是比較常見的數(shù)學(xué)模型。世界上最簡單的數(shù)學(xué)模型是表示數(shù)的字母.數(shù)學(xué)模型“”有兩方面的含義：1.作為結(jié)果，她表示的是一個確定的數(shù)值，可以參與運(yùn)算；2.作為過程，她表示的是一個變量：可大可??；可正可負(fù)；可以是有理數(shù)也可以使無理數(shù)。由于數(shù)學(xué)模型具有高度

12、的抽象性、概括性和結(jié)構(gòu)的確定性，所以數(shù)學(xué)模型能以不變應(yīng)萬變。不管是中文還是英文，一個字所能表達(dá)的意義十分有限，但我們的數(shù)學(xué)模型“”卻可以表示無窮無盡的對象流動的世界。又比如說勾股定理，這一模型可以用來處理數(shù)以億計的實(shí)際問題。從小到斜邊長為一微米的直角三角形到大至斜邊長為十萬八千里的直角三角形，只要是直角三角形，它們居然都滿足同樣的結(jié)構(gòu)模型：斜邊的平方等于兩條直角邊的平方之和.我不知道，這個世界上還有什么學(xué)科象數(shù)學(xué)這樣如此簡潔，如此概括，如此統(tǒng)一。 我只知道：“數(shù)學(xué)的魅力在于，她能以穩(wěn)定的模式駕馭流動的世界！”（七）牛刀小試預(yù)計時間14分鐘如下圖，某房地產(chǎn)公司擁有一塊“缺角矩形”荒地ABCDE，

13、邊長和方向如圖所示，欲在這塊地上建一座地基為長方形東西走向的公寓，請劃出這塊地基，并求地基的最大面積. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教師解釋說明問題.最后演示數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).學(xué)生動手解決問題1.根據(jù)練習(xí)律和強(qiáng)化原理，強(qiáng)化剛剛獲得的數(shù)學(xué)建模理論；2.培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力。（八）小結(jié)與課后思考預(yù)計時間2分鐘1.小結(jié)這節(jié)課，我們通過解決一個實(shí)際問題，帶大家走進(jìn)了數(shù)學(xué)建模世界。數(shù)學(xué)建模就是；數(shù)學(xué)模型就是；數(shù)學(xué)建模的具體過程.我們還感受到了“數(shù)學(xué)的魅力在于，她能以穩(wěn)定的模式駕馭流動的世界！”2.課后思考（1）將各方案中的圖形沿虛線向上翻折，并觀察思考：周長為2的凸多邊形，什么時候面積最大？（2）家庭物理小實(shí)驗(yàn)先將一條長度固定的

14、柔軟絲線的兩頭連接起來，再將此封閉的曲線輕輕放在一個蒙有肥皂膜的正方形（邊長約5cm）鐵絲框上的肥皂膜上（注意，別弄破肥皂膜?。?，最后用小釘將曲線內(nèi)的肥皂膜刺破。你觀察到什么現(xiàn)象，說明了什么問題？（3）請你幫助吉東皇后解決問題吉東是泰雅皇帝的女兒，歷經(jīng)周折，逃到非洲，且成為迦太基的創(chuàng)始人和第一位神奇的皇后。剛到非洲時，吉東要在靠海岸線的地方購買“一張獸皮”的土地：她把獸皮剪成細(xì)條，結(jié)成長繩，剩下的問題是：怎么圍，才會得到最多的土地呢？（4）用數(shù)學(xué)家的眼光看世界音樂家關(guān)注聲響，文學(xué)家關(guān)注人性，而數(shù)學(xué)家則本能關(guān)注對象的數(shù)量關(guān)系、空間形式和結(jié)構(gòu)。用數(shù)學(xué)家的眼光看世界，就是從數(shù)學(xué)的角度觀察，感受，認(rèn)識

15、，描述客觀對象，進(jìn)而提出創(chuàng)造性的問題。兒童玩耍時吹出的肥皂泡，總是一個個在空中起舞的彩球；水銀落在桌面上，總是呈球形滾動；清晨荷萍樹葉上的露水，總是聚成一個個晶瑩剔透的水珠；冬日里為避寒而盤成一團(tuán)的看家狗。面對這些現(xiàn)象，物理學(xué)家想到了表面張力的作用。以數(shù)學(xué)家的眼光，你看到了什么？你有什么大膽的猜想？教師講解點(diǎn)化教師呈現(xiàn)問題問題1:是讓學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)周長一定的凸多邊形中，正多邊形的面積最大.學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)建模理論學(xué)生思考準(zhǔn)備解決問題問題2:讓學(xué)生通過動手實(shí)踐發(fā)現(xiàn)周長一定的圖形中，圓的面積最大.1.小結(jié)意在強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模理論，形成知識組塊；2.設(shè)計四個課后思考問題，目的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力、動手實(shí)踐能力和數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識。問題3：是等周問題在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用.問題4：是將平面內(nèi)的等周問題拓展到了空間.【板書設(shè)計】（此略）附： 本教學(xué)設(shè)計的創(chuàng)新之處1. 數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)新課程的新增內(nèi)容，但卻沒有教材，沒有具體內(nèi)容。標(biāo)準(zhǔn)中建議由教師靈活掌握，但教師們感到不好把握。本節(jié)課通過一個較為真實(shí)的數(shù)學(xué)建模案例，彌補(bǔ)了教材與標(biāo)準(zhǔn)的這一不足，并充實(shí)完善了標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)學(xué)建模理論。2. 與大學(xué)數(shù)學(xué)建模相比，過去的中學(xué)數(shù)學(xué)建模缺少理想化（模型假設(shè)）這一重要的環(huán)節(jié)。本設(shè)計恰好解決了這一問題，恢復(fù)了數(shù)學(xué)建模的真實(shí)面目。3. 本節(jié)課將數(shù)學(xué)