機械工程控制基礎第二章傳遞函數

1、第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 1第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型主要內容：主要內容：控制系統的數學模型控制系統的數學模型 1. 系統微分方程的建立及非線性方程的線性化系統微分方程的建立及非線性方程的線性化控制理論的研究對象控制理論的研究對象是系統、輸入、輸出三者之是系統、輸入、輸出三者之2. 傳遞函數的定義、性質及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數傳遞函數的定義、性質及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數3. 系統傳遞函數方塊圖及簡化系統傳遞函數方塊圖及簡化4. 相似原理相似原理間的動態(tài)關系，描述系統這種動態(tài)關系的是系統的數間的動態(tài)關系，描述系統這種動態(tài)關系的

2、是系統的數學模型，古典控制理論內系統的數學模型有三種學模型，古典控制理論內系統的數學模型有三種第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 21微分方程微分方程：時域：時域求解困難求解困難 2傳遞函數傳遞函數：復域：復域求解方便，便于求解方便，便于直接在復域中研究系統的動態(tài)特性直接在復域中研究系統的動態(tài)特性 2-1 系統的微分方程系統的微分方程2-2 傳遞函數傳遞函數2-3 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數典型環(huán)節(jié)的傳遞函數 2-4 系統傳遞函數方塊圖及其簡化系統傳遞函數方塊圖及其簡化各章節(jié)內容各章節(jié)內容3. 動態(tài)結構圖（傳遞函數方框圖）動態(tài)結構圖（傳遞函數方框圖） 補充內容補充內容 拉普拉斯變換拉普拉斯變換

3、第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 3一、一、線性定常系統線性定常系統及疊加原理及疊加原理2-1 2-1 系統的微分方程系統的微分方程 111010nnmmnonoomimiia xtaxta xtb xtbxtb x t oxt1系統、輸入、輸出三者關于的微分方程的標準形式：系統、輸入、輸出三者關于的微分方程的標準形式： 式中：式中： 系統輸出系統輸出 ; 系統輸入系統輸入 ix tooutputiinput代表代表第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 41）線性系統：方程只包含變量）線性系統：方程只包含變量 、 a線性定常系統：線性定常系統：ana0 ；bmb0為常數為常數

4、b線性時變系統：線性時變系統：ana0 ；bmb0為時間的函數為時間的函數 2）非線性系統：）非線性系統： 方程中含有方程中含有 、 的各階導數的各階導數 各階導數的其它函數形式各階導數的其它函數形式 2根據系統微分方程對系統進行分類根據系統微分方程對系統進行分類 oxt ix t oxt ix t第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 5 例例，其中，其中,a,b,c,d,a,b,c,d均為常數。均為常數。 ax(t)bx(t)cx(t)dy(t)線性定常系統線性定常系統a(t)x(t)b(t)x(t)c(t)x(t)d(t)y(t)線性時變系統線性時變系統2y(t)x (t)非線性系統

5、非線性系統第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 6X Xi i1 1( (t t) )A AX X0101( (t t) )X Xi i1 1( (t t)X X0101( (t t) )X Xi i2 2( (t t) )A AX X0202( (t t) )X Xi i2 2( (t t)X X0202( (t t) )X Xi i1 1( (t t) )A AX Xi i2 2( (t t) )X X0101( (t t) )X X0202( (t t) )aXaXi i1 1( (t t)+)+bXbXi2i2( (t t)aXaX0101( (t t)+)+bXbX0202(

6、(t t) )3線性系統滿足疊加原理線性系統滿足疊加原理意義：意義：對于線性系統，各個輸入產生的輸出是互不對于線性系統，各個輸入產生的輸出是互不影影響的。響的。因此，在分析多個輸入加在線性系統上而因此，在分析多個輸入加在線性系統上而引起的總輸出時，可以引起的總輸出時，可以先分析由單個輸入產生的輸先分析由單個輸入產生的輸出出，然后把這些輸出疊加起來，則可求得總的輸出。，然后把這些輸出疊加起來，則可求得總的輸出。第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 7力學力學牛頓定律牛頓定律3將各運動方程構成微分方程，將各運動方程構成微分方程，消去中間變量消去中間變量，并化成標準形式（輸出量和輸入量的各導數

7、項按并化成標準形式（輸出量和輸入量的各導數項按降階排列）降階排列）2從系統輸入端開始，依次列寫出各元件（環(huán)節(jié)）的從系統輸入端開始，依次列寫出各元件（環(huán)節(jié)）的 運動方程運動方程 電學電學基爾霍夫定律基爾霍夫定律二、微分方程的列寫步驟二、微分方程的列寫步驟1分析系統的工作原理，找出輸入、輸出及中間變分析系統的工作原理，找出輸入、輸出及中間變 量的關系量的關系第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 8質量質量彈簧彈簧阻尼系統阻尼系統m my y( (t t) )f f( (t t) )c ck k圖圖2-1 00)0()0()()()()(yyyytftkytyctym.例例1：第二章第二章 系

8、統的數學模型系統的數學模型 9L、C、R 組成的電路如圖，列出以組成的電路如圖，列出以u1為為R RC Cu u2 2(t)(t)i(t)i(t)L Lu u1 1(t)(t)輸入、輸入、u2為輸出的運動方程為輸出的運動方程 解：由解：由基爾霍夫電壓定律基爾霍夫電壓定律有：有：消去中間變量消去中間變量i ：寫成微分方程標準形式：寫成微分方程標準形式：例例2：221duiCuidtdtC12diuRiLudt222122dud uuRCLCudtdt222212d uduLCRCuudtdt第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 10受到影響，此影響稱受到影響，此影響稱負載效應負載效應。其實

9、質是物理環(huán)節(jié)之。其實質是物理環(huán)節(jié)之兩個或兩個以上環(huán)節(jié)（或子系統）組成一個系統時，兩個或兩個以上環(huán)節(jié)（或子系統）組成一個系統時，若若其中一環(huán)節(jié)的存在其中一環(huán)節(jié)的存在使另一環(huán)節(jié)在使另一環(huán)節(jié)在相同輸入下相同輸入下的輸出的輸出間的信息反饋作用。間的信息反饋作用。 i i1 1(t)(t)c c2 2u u2 2(t)(t)u u1 1(t)(t)c c1 1i i2 2(t)(t)R1R1R2R2圖圖2-32-3例：由兩極串聯的例：由兩極串聯的 RC 電路組成的濾波網絡，試寫出以電路組成的濾波網絡，試寫出以u1(t)為輸入，為輸入，u2(t)為輸出的系統微分方程。為輸出的系統微分方程。三、負載效應三、

10、負載效應 12i tit第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 11解：把兩個解：把兩個RC電路當作整體來考慮電路當作整體來考慮消去中間變量消去中間變量i 1、i 2 得：得： 11222112212221RC R C utRCR CRCututu t11 11211uRiiidtC122 2211iidtR iuCi i1 1(t)(t)c c2 2u u2 2(t)(t)u u1 1(t)(t)c c1 1i i2 2(t)(t)R1R1R2R22221ui dtCab 12i tit詳細消去過程見下頁第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 12 11 112111uRiiidtC

11、 122 22112iidtR iuC 22213ui dtC 2224duiCdt 11 12 22211 122222 22112122222221121122221264654uRiR iuduuRiR Cudtd uR iduuR iCR CudtdtdududiduuR CCC RR Cudtdtdtdt：由、兩式得將式代入式得：將式代入得：將式代入得過：程 22 21215d uR iiiCdt第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 13 11 112111uRiiidtC 122 22112iidtR iuC 22213ui dtC 2224duiCdt 22 21215d

12、uR iiiCdt 222224did utCdtdt： 式兩邊對時間 求導得：，代入續(xù)前式得： 2222211211222222112211211222222211211222112222!dudud uduuR CCC R CR CudtdtdtdtuRC utRC utRC R C utR C utuu tRCRCR CutRC RThC ueeudtnt即：即：第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 14若分開考慮：若分開考慮： C C1 1i i1 1(t)(t)u u1 1(t)(t)R R1 1 dtiCuudtiCiR1111111111C C2 2u u2 2(t)(t)

13、i i2 2(t)(t)uu1 1(t)(t)R R2 2 dtiCuudtiCiR2221222211此結果錯誤此結果錯誤 112221122221RC R C utRCR Cututu t 1ut121:iiu消去中間變量 、 、第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 151系統由單變量非線性函數所描述系統由單變量非線性函數所描述 y= f (x) y(t):輸出輸出 x(t):輸入輸入 四、非線性微分方程線性化四、非線性微分方程線性化 00032300000002!3!f xf xfxxxfxfxxxxxf xfxxx由泰勒中值定理：第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 16若

14、令若令 x=x, y=y 則則 y = k x線性化方程線性化方程 0000f xf xfxxxyfxx 即0000,fxxykfx易知為曲線上點處的斜率，不妨令：ykx 則增量方程第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 172非線性系統輸出非線性系統輸出 z(t) 是兩個變量是兩個變量 x 和和 y的函數，即的函數，即 z=f(x, y) 1）確定工作點）確定工作點P(x 0, y 0, z 0) 2）在工作點附近展開成泰勒級數并忽略高階項）在工作點附近展開成泰勒級數并忽略高階項 yyfxxfyxfyxfZyx00,00),(),(yx00, yyfxxfyxfyx00,00),(yx0

15、0, ),(),(00yxfyxfZ yyfxxfyx00,yx00, yKxKzyX yKxKzyX ，2第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 184寫成標準微分方程形式寫成標準微分方程形式 3非線性微分方程線性化非線性微分方程線性化 2從系統輸入端開始依次列寫微分方程，注意負從系統輸入端開始依次列寫微分方程，注意負 載效應載效應1分析系統工作原理，確定描述系統的變量，分分析系統工作原理，確定描述系統的變量，分 析相互關系析相互關系考慮非線性情況下，系統微分方程列寫步驟考慮非線性情況下，系統微分方程列寫步驟 ：第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 19 拉普拉斯變換拉普拉斯變換L

16、aplaceLaplace 拉普拉斯變換拉普拉斯變換拉氏變換是控制工程中的一個拉氏變換是控制工程中的一個基本數基本數學方法學方法，其優(yōu)點是能將時間函數的導，其優(yōu)點是能將時間函數的導數經拉氏變換后，變成數經拉氏變換后，變成復變量復變量S的乘的乘積，將時間表示的微分方程，變成以積，將時間表示的微分方程，變成以S表示的代數方程。表示的代數方程。第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 20一、拉氏變換和拉氏反變換的定義一、拉氏變換和拉氏反變換的定義1.拉氏變換的定義拉氏變換的定義函數函數 在在 時有定義，且積分時有定義，且積分 在在s的某一域內收斂，則積分所確定的函數可寫為的某一域內收斂，則積分所

17、確定的函數可寫為 f t0t 0stf t edt 0stF sf t edt稱為函數稱為函數 的拉氏變換，記為的拉氏變換，記為 F s f t L f tF sf(t) F(s)的原函數；的原函數； F(s) f(t)的的Laplace變換（或稱為象函數）變換（或稱為象函數）s = + j第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 212.拉氏反變換的定義拉氏反變換的定義 112jstjf tLF sF s e dsj 1LF s已知已知 f t L f tF s，欲求原函數，欲求原函數 時，時，則稱為拉氏反變換，記為則稱為拉氏反變換，記為第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 2201

18、stes 0atatstL eeedt0)(1 taseasas 10 ( )( )stLtt edt0stedt0(s)( ) stFf t edt( )( )10f ttt( )0atf tets1 1.單位階躍函數單位階躍函數2.指數函數指數函數二、典型時間函數的拉氏變換二、典型時間函數的拉氏變換11,1atj tj tL eL eajsasjL eajsj 根據知：令即可令即可第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 23 0)()(dtettLst ( )( )f tt 00)( dtt = 13.單位脈沖函數單位脈沖函數4.單位斜坡函數單位斜坡函數 00020201101110s

19、tstststststf tttF sL f tL ttedttdeteedtssdtseess 5.單位拋物線函數單位拋物線函數 231102f tttF sL f ts推導過程見下頁第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 246.正弦函數正弦函數 22sin0sinf tttF sLts 22220002022031110222111=ststststststLaplF st edtt det eedtssedtsedtFsassce ：根據推推導過程知導單位斜坡函數的變換：推導過程見下頁第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 25 00022022000sinsin1sinsin

20、cos0coscoscos01cos1ini1ss nststststststsststtF sLttdet eedtt edtsstdet eesdtssedtst edst ：推導0stt edt 022220sin1sinststt edtF stsst eds移項得：第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 267.余弦函數余弦函數 22cos0cosf tttF sLtss 000200200coscos11coscos1cos0111sinsin1sinsincos01stststststststststF sLttdet eedtedtsst edttdessst eedtst

21、sst ed 推：導220co1sstt edsst第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 27 0202221cos1cosststt edtF stdsssets移項得：8.冪函數冪函數 10!nnnf tttF sL tns 0000011101111!1.nnstnstnststnstnnstnnnnnnF sL tt edtt dest eedtedtssnnntedtL tL tL tsssnL tnsLs ：根據遞推關系式：推知導第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 28三、拉氏變換的重要性質三、拉氏變換的重要性質1.線性性質線性性質 1122L ftF sL ftFs

22、1K，2K為常數，則為常數，則 1 1221122L K ftK ftK F sK Fs 111 11 =1AAL ALALs 個例： 11111=atatatL AeALeALAAAAssaLssea例2：第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 292.延遲定理延遲定理 00 ()( ),stL f tL f ttseFF s若則f(t)ttf(t-t0)t0f(t)tt0第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 30例例1：1Ttf(t)()()(Ttttf sTesssF 11)(TTf(t)()()(Tttttf )()()()()(TtTTtTttttf sTsTesTesss

23、F 2211)(例例2：第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 313.位移定理位移定理 L f tF s，則，則 atL ef tF sa 或或 1atLF saef t 2211atf ttL tF ssL teF sasa：知簡證211atL tesa 例 ：第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 32sin2teLt ：例例22)( s 2222sinsinatf ttLtF ssL teF sasa：知簡證cos3teLt ：例例22)( ss 2222coscosatsf ttLtF sssaL teF sasa：簡證知第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 334.微

24、分定理微分定理 nnL fts F s Lf tF s，則，則 0LftsF sf 112000nnnnnL fts F ssfsff若若100,00,00nfff 200L fts F ssff第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 34由于由于 0100ff 2cossincosf ttfttftt 22cos00cosL fts LtsffLt例：利用例：利用微分定理微分定理求求 cosL f tLt22cossLts移項得：22coscosLts Lts22coscosLtLt 由比例定理：第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 355.積分定理積分定理 Lf tF s，則，則

25、 01tLfdF ss L t2 ( )1Ltss0( )tLd 例例 00111ttddtLtLs 說明：第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 36六六. 復頻域導數性質復頻域導數性質ssFtftLd)(d)( )()(sFtfL 設設： 22111111LL tL tsss 例 ：22111atatL eL tessasaa 例 ：第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 37七七. 初值定理和終值定理初值定理和終值定理)(lim)(lim)0(0ssFtffst 初值定理初值定理若若Lf(t)=F(s)1as1slim) s (sFlim)0(fss由初值定理知：由初值定理知：1

26、( )F ssa例：已知例：已知 ，求f(0+)第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 38六六. 初值定理和終值定理初值定理和終值定理存在時存在時)(limtft )(lim)(lim0ssFtfst 終值定理：終值定理：例：已知：例：已知： 1limtL f tF sf tsa求00lim( )lim( )lim0tsssf tsF ssa第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 39)(tudtduRC ssUssRCU1)()( )1(1)(sRCssU 0)1(1lim sRCs)1(1lim)0(sRCssus 1)1(1lim)(0 sRCus例例: ( (t) )R+ +

27、u- -+- -用初值定理和終值定理驗證用初值定理和終值定理驗證00uLaplace進行變換得： 1t第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 40八八. 卷積定理卷積定理卷積定理：卷積定理：設設f(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F(s),g(t)的拉氏變換為的拉氏變換為G(s)， L f tg tF s G s則舉例：求正弦函數和余弦函數的拉氏變換舉例：求正弦函數和余弦函數的拉氏變換jt-jtjt-jtjt-jte= cost+sint根據得：e= cost-sint1sint =e-e2j1cost =e+e2歐拉公式第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 41-0-0-22221si

28、n-21-2111-002-11112-2-2j tj tsts jtsjts jtsjtLteee dtjeedtjeejsjsjjjsjsjjss第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 420-022221cos2121110021111222j tj tsts jtsjtsjtsjtLteeedteedteesjsjsssjsjss第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 43已知已知f(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F(s),求求 123=atatatsaL ef ttaL ef tLtaL ef tF saLtLtae 根據：根據：根據延遲定卷積定理位移定理見第張幻理燈片：asF

29、 sa e atL ef tta atL ef tta第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 44已知已知f(t)的拉氏變換為的拉氏變換為F(s),求求Lf(at) 0stL f atf at edtat作變量代換 10001011111=1asssaaasasassFfedfededaaaaedF sfefesaaaaa位移定知：理由 0stL f tf t edtF s由題意：第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 45四、拉氏反變換的數學方法四、拉氏反變換的數學方法用部分分式法求拉氏反變換用部分分式法求拉氏反變換 12nB sF sssssss B sF sA s將將 化為真分式

30、，再將化為真分式，再將 因式分解因式分解 A s1. 無重根無重根 F s 1212nnF sssssssKKK12,nK KK為待定系數為待定系數 1211iiiiiiisnsiss ssKB ssssssBssssssssA sF sss第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 46 121121nis ts ts tnns tiif tLF sK eK eK eK e例：例： 2243sF sss 12222431313ssF ssssssKsK 1213121122s ts tttf tLF sK eK eee131/ 21/ 2ss1213ss 則第二章第二章 系統的數學模型系統的

31、數學模型 47)2)(1(52 sssss例例)23(5)(22 ssssssF123012sss 12110052.512s sssssKF sssF ssss 2222115152s sssssKF sssF sss s 323322521.51s sssssKF sssF sss s 31221232.551.50s ts ts tttf tK eK eK eeet31212KKKsss第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 48( )()( )lim( )iissB s ssB sA s( )( )iiB sA s( )( )iiiB sKA sKi也可用洛必達法則洛必達法則求求1

32、1( )( )( )iinns ts tiiiiiB sf tK eeA s( )()lim( )iiissB s ssKA s第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 49例例( )25A ss用用洛必達法則洛必達法則求原函數求原函數2323( 2)( 3)( )370( 2)( 3)ttttBBf teeeetAA 245( )56sF sss( )( )iiiB skA s1223ss 21212ss2( )2 ( )20ttf tteet32(1)(2)sss例例22277( )32ssF sss第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 501222111( )( )()()kkB

33、 sF sssssss1221()( )S SkssF s1211d()( )dS SkssF ss21112( )()()F s ssk ssk 22.Fs 有相等的實根重根第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 51122(1)(1)KKss225( )(1)sF ss21(25)3sKs11d(25)2dsKss( )230ttf tetet例例131223(2)(2)(2)KKKsss2322( )(2)ssF ss例例2第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 522332322(2)2(2)sssKss223122231d(22)1d(2) 2212d(2)2dssssKss

34、sss2222( )20tttf tetet et322123( )(2)(2)(2)sF s sk sksk232223d22(2) (22)2d(2)ssssKssss 312d ( )(2) 2 (2)dF s sk sks23122( )(2)(2)(2)F ssss第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 531011( ) ()mmmna sa saF sss112211111( )()()()nnnnkkkkF sssssssss一般多重根情況一般多重根情況11()( )nns skssF s111d()( )dnns skssF ss122121d()( )2!dnns sk

35、ssF ss111111d()( )(1)!dnns snkssF sns第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 54例：例： 2213sF ss ss 312422213131KKKKsF sssss sss 3132124312tttf tteee 212121lim1213ssKss ss 222123lim1413sdsKsdss ss 32022lim313ssKss ss 42321lim31213ssKss ss 211312 11124131231F sssss 第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 55例：例： 2322sF sss 2223112221111ssF

36、 sssss cos2sincos2sintttf tetetett12cos1sLts121sin1Lts121cos11tsLets121sin11tLets第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 562-2 2-2 傳遞函數傳遞函數 傳遞函數是描述系統的動態(tài)關系的另一種傳遞函數是描述系統的動態(tài)關系的另一種數學模型，是經數學模型，是經典控制理論對線性系統進行研究、典控制理論對線性系統進行研究、分析與綜合的基本數學分析與綜合的基本數學工具，是時域分析、頻域工具，是時域分析、頻域分析及穩(wěn)定性分析的基礎，也是分析及穩(wěn)定性分析的基礎，也是經典控制理論進行經典控制理論進行系統綜合設計的基礎，因此

37、，十分重要。系統綜合設計的基礎，因此，十分重要。第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 57定義：對于單輸入、單輸出線性定常系統，當定義：對于單輸入、單輸出線性定常系統，當輸入輸入換與輸入量的拉氏變換之比。換與輸入量的拉氏變換之比。 輸出的初始條件為零輸出的初始條件為零時，其輸出量的拉氏變時，其輸出量的拉氏變設線性定常系統的微分方程為：設線性定常系統的微分方程為： )()()(0) 1(1)(txbtxbtxbimmmimi )()()(00) 1(01)(0txatxatxannnn 式中：式中：a na 0, b mb 0 均為常系數均為常系數 x 0 (t)為系統輸出量，為系統輸出量

38、，x i(t)為系統輸入量為系統輸入量 一、定義一、定義第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 58若輸入、輸出的初始條件為零若輸入、輸出的初始條件為零，即，即 0)0()(0 KxK = 0, 1 , , n1 0)0()(i KxK = 0, 1 , , m1 對微分方程兩邊取拉氏變換得：對微分方程兩邊取拉氏變換得： )(011sXbsbsbimmmm )(0011sXasasannnn 則該系統的傳遞函數則該系統的傳遞函數 G(s) 為：為：0110110)()()(asasabsbsbsXsXsGnnnnmmmmi （nm） 第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 59傳遞函數

39、方框圖：傳遞函數方框圖：G G（s s）X Xi i( (s s) )X X0 0( (s s) )1）列出系統微分方程（）列出系統微分方程（非線性方程需線性化非線性方程需線性化） 2）假設全部初始條件均為零假設全部初始條件均為零，對微分方程，對微分方程 3）求輸出量和輸入量的拉氏變換之比）求輸出量和輸入量的拉氏變換之比傳遞函數傳遞函數進行拉氏變換進行拉氏變換求傳遞函數的步驟：求傳遞函數的步驟：i)()(0(sXsXsG 第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 60質量質量彈簧彈簧阻尼系統阻尼系統令初始條件均為零，令初始條件均為零，方程兩邊取拉氏變換方程兩邊取拉氏變換 )()(2sFsYk

40、csms kcsmssFsYsG 21)()()( 例例1:)()()()(tftk ytyctym .m my y( (t t) )f f( (t t) )c ck k第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 61L L、R R、C C 電路系統電路系統R RC Cu u2 2(t)(t)i(t)i(t)L Lu u1 1(t)(t) )()(1122sUsURCsLCs 11)()()(212 RCsLCssUsUsG例例2 2 ：)()()()(1222tututuRCtuLC . 221di tdutLRi tutu ti tCdtdt又Laplace進行變換，得第二章第二章 系統的

41、數學模型系統的數學模型 621傳遞函數和微分方程是一一對應的傳遞函數和微分方程是一一對應的 微分方程：在微分方程：在時域內時域內描述系統的動態(tài)關系（特性）描述系統的動態(tài)關系（特性） 傳遞函數：在傳遞函數：在復域內復域內描述系統的動態(tài)關系（特性）描述系統的動態(tài)關系（特性）統與外界聯系統與外界聯系，當輸入位置發(fā)生改變時，分子會改變。，當輸入位置發(fā)生改變時，分子會改變。 2傳遞函數的分母只取決于系統本身的固有特性，與傳遞函數的分母只取決于系統本身的固有特性，與外界無關，因此分母反映系統固有特性，其分子反映系外界無關，因此分母反映系統固有特性，其分子反映系二、傳遞函數的性質和特點二、傳遞函數的性質和特

42、點第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 63例例 ： mytcy tky tcx tkx t 2mscsk Y scsk X s )(tymffcK .my(t)ckx(t)Ck t)(y)(tx ( )tym .t)(y)(tx . 2Y scskG sX smscsk由牛頓第二定律，有:Laplace進行變換，得第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 643若輸入給定，則輸出完全取決于傳遞函數若輸入給定，則輸出完全取決于傳遞函數 4不同物理系統（機械、電氣、液壓）可以不同物理系統（機械、電氣、液壓）可以能用相同數學模型描述的系統能用相同數學模型描述的系統相似系統相似系統 用形式相

43、同的傳遞函數來描述用形式相同的傳遞函數來描述相似原理相似原理5分母階次常高于分子階次分母階次常高于分子階次（nm）G G（s s）X Xi i( (s s) )X X0 0( (s s) )()()(0sXsGsXi 4第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 65傳遞函數為傳遞函數為復變函數復變函數，故有，故有零點零點和和極點極點 零點零點：使使G G( (s s) ) =0 的的s值值極點極點：使使 G G( (s s) ) 分母為零的分母為零的 s 值值 G G( (s s) ) 的零極點分布決定系統響應過渡過程。的零極點分布決定系統響應過渡過程。三、傳遞函數的零點和極點三、傳遞函數的

44、零點和極點G G( (s s) ) 的極點分布決定系統的穩(wěn)定性。的極點分布決定系統的穩(wěn)定性。 1212mnk szszszG sspspspzzeroppole：零點：極點第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 66 100010000mmnsnsb sbsbbG sGa sa saa 1iXss當當s s0 0時時若輸入為若輸入為單位階躍函數單位階躍函數，則，則 00000limlimlim=lim0itsssxtsXssG s XsG sG值：終定理根據G(0)G(0)為系統的穩(wěn)態(tài)輸出，也是系統的放大倍數為系統的穩(wěn)態(tài)輸出，也是系統的放大倍數22P證明見第二章第二章 系統的數學模型系統的

45、數學模型 67設系統有b 個實零點; c 對復零點; d個實極點;e對復極點;v 個零極點).()().()()(210210nmpspspsazszszsbsGnnnnmmmmasasasabsbsbsbsG11101110.)(b+2c = mv+d+2e = n典型環(huán)節(jié)的產生典型環(huán)節(jié)的產生2-3 2-3 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數典型環(huán)節(jié)的傳遞函數第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 68ekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()(sse第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 691 1比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）比例環(huán)節(jié)

46、（放大環(huán)節(jié)）凡凡輸出量與輸入量成正比輸出量與輸入量成正比，不失真不失真也也不延時不延時的的)()(0tKxtxi 微分方程：微分方程： KsXsXsGi )()()(0傳遞函數：傳遞函數： ，K：放大系數（增益）：放大系數（增益） 環(huán)節(jié)稱環(huán)節(jié)稱比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)。方框圖方框圖 :K KX Xi i( (s s) )X X0 0( (s s) )第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 70R R1 1R R2 2u u0 0( (t t) )u ui i( (t t) )+ +運算放大器運算放大器ui(t)輸入電壓輸入電壓 u0(t)輸出電壓輸出電壓 R1、R2電阻電阻 )()(120tuRR

47、tui )()(120sURRsUi 拉氏變換：拉氏變換： 已知：已知： 例例 ： 021iUsRG sKUsR 第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 71彈簧受力如圖：彈簧受力如圖：圖圖2-92-9y y( (t t) )kf (t)k y(t) = f (t)k Y(s) = F(s )ksFsYsG1)()()( 例例 ：Laplace進行變換，得輸入輸出第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 72時域內用一階微分方程表示的環(huán)節(jié)時域內用一階微分方程表示的環(huán)節(jié) 微分方程：微分方程： 傳遞函數：傳遞函數： 1)()()(0 TsKsXsXsGi方框圖：方框圖：X Xi i( (s

48、s) )X X0 0( (s s) )1 TsKK：增益；：增益；T：時間常數：時間常數 2慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) 00iTxtxtKx t第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 73R、C電路如圖電路如圖R RC Cu u0 0i iu ui i圖圖2-102-10例例 ：)()()(00tututuRCi .0iRiuu00duiCCudt 011,11iUsG sTRCUsRCsTs 1oiLaplaceRCsUsUs進行變換，得第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 74彈簧彈簧阻尼系統，阻尼系統，xi(t) 輸入位移，輸入位移，x0(t)輸出位移輸出位移x x0 0( (t t)

49、)k kC Cx xi i( (t t) )()(0txtxkfik )(0txCfC 受力平衡受力平衡 fC =fk)()()(00txtxktxCi )()(00tk xtk xtxCi 例例 ： 011,11oiiLaplaceCsk XskXsXskCG sTCXsCskTsksk進行變換得：(第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 75 時域內，輸出量正比于輸入量的微分。時域內，輸出量正比于輸入量的微分。微分環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)： 傳遞函數：傳遞函數：G(s)=Ts )()(0txTtxi 方框圖：方框圖： TsTsX Xi i( (s s) )X X0 0( (s s) )3微分環(huán)節(jié)

50、微分環(huán)節(jié)理想微分理想微分實際微分實際微分慣性慣性T T 0 0dttdxKtxrc)()(KssXsXsGrc)()()(1)()()(TsKTssXsXsGrc第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 76例：微分運算電路例：微分運算電路i1i1Rciu0uiduicdt01 11uRiRi 01iUsG sRCsTsUs 01iduuRCdt 01iUsRCsUs 第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 77在實際的機電控制工程系統中，理想的微分環(huán)節(jié)很難實在實際的機電控制工程系統中，理想的微分環(huán)節(jié)很難實現，通常用現，通常用 (其中其中T，K為常數為常數) 來近似微分環(huán)節(jié)。來近似微分環(huán)

51、節(jié)。 例例3 如圖所示的無源微分網絡如圖所示的無源微分網絡 uo(t)i(t)ui(t)CR (其中其中K=1，T=RC) ( )( )( )1oiUsRCsG sU sRCs( )1KTsG sTs第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 78微分環(huán)節(jié)對系統的控制作用：微分環(huán)節(jié)對系統的控制作用：（1）使輸出提前）使輸出提前（2）增加系統的阻尼）增加系統的阻尼（3）強化噪聲）強化噪聲第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 79時域內，輸出量正比于輸入量對時間的積分。時域內，輸出量正比于輸入量對時間的積分。TssG1)( 傳遞函數：傳遞函數： T：積分時間常數：積分時間常數 方框圖：方框圖

52、：X Xi i( (s s) )X X0 0( (s s) )TsTs1 14積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) ！記憶效應tiodttxKtx0)()( ！積分輸入突然除去輸入突然除去積分停止積分停止輸出維持不變輸出維持不變例例1 1：電容充電：電容充電例例2 2：積分運算放大器：積分運算放大器 01toixtx t dtT微分方程：第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 80AtTAdtTtxt11)(00 osoxTA第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 81例例1 電容充電電容充電第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 82有源積分網絡有源積分網絡ui(t)輸入電壓輸入電壓 u0(t)輸出

53、電壓輸出電壓 R電阻電阻 C電容電容 dttduCRtui)()(0 已知：已知： 例例 2 2： 01iUsCsUsR R Ru u0 0( (t t) )u ui i( (t t) )C C+ + 011,iUsG sTRCUsRCsTs Laplace進行變換，得第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 83時域內，以二階微分方程描述的環(huán)節(jié)。時域內，以二階微分方程描述的環(huán)節(jié)。)()()(2)(0002txtxtxTtxTi x x微分方程：微分方程： )()()12(022sXsXTssTi x x傳遞函數：傳遞函數： 121)(22 TssTsGx x2222nnnss xx T：振

54、蕩環(huán)節(jié)的時間常數：振蕩環(huán)節(jié)的時間常數 n：無阻尼固有頻率：無阻尼固有頻率 ：阻尼比：阻尼比 5振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)1nT第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 84mkc系統：系統： RLC電路：電路： kcsmssG 21)( 11)(2 RCsLcssG 方框圖：方框圖：X Xi i( (s s) )X X0 0( (s s) )2222nnnss xx 例例 ：)()()()(tftkytyctym .)()()(000tututuRCuLCi .5第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 85 時域內，時域內，輸出滯后輸入時間輸出滯后輸入時間，但，但不不失真失真地反地反映輸入的環(huán)節(jié)映

55、輸入的環(huán)節(jié)微分方程：微分方程： )()(0 txtxi方框圖：方框圖：e essX Xi i( (s s) )X X0 0( (s s) )6延時環(huán)節(jié)延時環(huán)節(jié) soiLaplaceXseXs延遲定進行變換，根據:理，知 osiXsG seXs第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 86延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別 慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值。 延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0 時間內沒有時間內沒有輸出輸出，但，但t=之后，之后，輸出完全等于輸入輸出完全等于輸入。第二章第二章 系統的數學模型

56、系統的數學模型 87例例1 水箱進水管的延時水箱進水管的延時第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 882慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)KTs1Ts6延時環(huán)節(jié)延時環(huán)節(jié)1比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)3微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)4積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)5振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)222221221nnnssT sTsxx1KTsse第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 892.3 2.3 系統傳遞函數系統傳遞函數 方框圖及其簡化方框圖及其簡化 一、系統傳遞函數方框圖一、系統傳遞函數方框圖數方塊圖（或結構圖）。它是用圖形表示的數方塊圖（或結構圖）。它是用圖形表示的系統模型系統模型。用傳遞函數方框將控制系統全部變量聯系起來，描述用傳遞函數方框

57、將控制系統全部變量聯系起來，描述各環(huán)節(jié)之間的信號傳遞關系的圖形，稱為系統傳遞函各環(huán)節(jié)之間的信號傳遞關系的圖形，稱為系統傳遞函它不同于物理框圖，著眼于信號的傳遞它不同于物理框圖，著眼于信號的傳遞。 第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 90 表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。同一信號線上引出的信號，同一信號線上引出的信號，其性質、大小完全一樣其性質、大小完全一樣。 帶有箭頭的直線，帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的箭頭表示信號的傳遞方向傳遞方向，直線旁標記信號的時間函數，直線旁標記信號的時間函數或象函數。或象函數。1 方框圖構成要素方框圖構成要素第二章第二

58、章 系統的數學模型系統的數學模型 91函數方塊具有運算功能函數方塊具有運算功能(a) 用符號用符號“ ”及相應的信號箭頭表示及相應的信號箭頭表示 (b) 箭頭前方的箭頭前方的“+ +”或或“- -”表示表示加上加上此信號或此信號或減去減去此信號此信號 21XsXs G s第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 922.系統方框圖的建立：系統方框圖的建立：（1）建立系統的微分方程；）建立系統的微分方程；（2）對微分方程進行）對微分方程進行Laplace變換，并畫出相應的方框圖；變換，并畫出相應的方框圖；（3）按照信號的傳遞順序，依次將各傳遞函數方框圖）按照信號的傳遞順序，依次將各傳遞函數方框

59、圖連接起來。連接起來。第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 93例：圖例：圖2.1.3的液壓伺服機構的液壓伺服機構qcmycyAPqAyqk xk P 2qcmscs Y sAP sQ sAsY sQ sk X sk P s 1qcP sk X sQ sk Q sAsY s 2AY sP smscs第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 94R、C電路如圖電路如圖R RC Cu u0 0i iu ui i例例 ： 001iiUsRI sUsI sUsUsR0iuRiu01uidtc 01UsI scs第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 95 101ix tx txtn t 2

60、1 1xtk x t 325xtxtxt 5422xtxtk nt 43dxtTxtdt 200052d xtdxtk xtdtdt 101iXsXsXsNs 211Xsk Xs 325XsXsXs 5422XsXsk Ns 43TsXsXs 20500k Xss XssXs 431XsXsTs 0052kXsXsss第二章第二章 系統的數學模型系統的數學模型 961環(huán)節(jié)的串聯環(huán)節(jié)的串聯X Xi i( (s s) )G G1 1( (s s) )X X( (s s) )G G2 2(s)(s)X X0 0( (s s) )X Xi i( (s s) )G G( (s s) )X X0 0( (