初二數(shù)學(xué)經(jīng)典難題(帶答案及解析)

1、初二數(shù)學(xué)經(jīng)典難題、解答題（共 10 小題，滿分 100 分）ABCD內(nèi)點(diǎn)，PAD=PDA=15°求證：PBC是正三角形初二）2（10分）已知：如圖，在四邊形 ABCD中， AD=BC，M、 N分別是 AB、CD的中點(diǎn)， AD、BC的延長線交 MN 于E、 F求證： DEN= F3（10分）如圖，分別以 ABC的邊 AC、BC為一邊，在 ABC外作正方形 ACDE和 CBFG，點(diǎn) P是 EF的中點(diǎn)，求4（10 分）設(shè) P 是平行四邊形 ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且 PBA= PDA5（10 分） P 為正方形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且 PA=a， PB=2a， PC=3a，求正方形的邊長6（1

2、0 分）一個圓柱形容器的容積為 V立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達(dá)到容器高度一半后， 改用一根口徑為小水管 2 倍的大水管注水向容器中注滿水的全過程共用時間 t 分求兩根水管各自注水的速度7（10 分）（2009 郴州）如圖 1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)M （ 2， 1），且 P（ 1， 2）為雙曲線上的一點(diǎn)， Q 為坐標(biāo)平面上一動點(diǎn)， PA垂直于 x 軸， QB垂直于 y 軸，垂足分別是 A、B（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn) Q在直線 MO 上運(yùn)動時，直線 MO上是否存在這樣的點(diǎn) Q，使得 OBQ與OAP面積相等如果存在，請 求出點(diǎn)的坐標(biāo)

3、，如果不存在，請說明理由；（3）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) Q 在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動時，作以O(shè)P、 OQ為鄰邊的平行四邊形 OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值8（10分）（2008海南）如圖， P是邊長為 1的正方形 ABCD對角線 AC上一動點(diǎn)（ P與A、C不重合），點(diǎn) E在線段 BC 上，且 PE=PB（1）求證： PE=PD；PE PD；（ 2）設(shè) AP=x， PBE的面積為 y 求出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x 的取值范圍； 當(dāng) x 取何值時， y 取得最大值，并求出這個最大值9（10 分）（2010 河南）如圖，直線 y=k1x+b 與反比例函數(shù)（x>0）的圖象交

4、于 A（1，6），B（a，3）兩點(diǎn)（1）求 k1、k2 的值（2）直接寫出時 x 的取值范圍；（3）如圖，等腰梯形 OBCD中， BC OD， OB=CD，OD邊在 x軸上，過點(diǎn) C作 CEOD于點(diǎn) E，CE和反比例函數(shù)的 圖象交于點(diǎn) P，當(dāng)梯形 OBCD的面積為 12時，請判斷 PC和 PE的大小關(guān)系，并說明理由1）求 k 的值；10 （ 10 分）（ 2007福州）如圖，已知直線 y= x 與雙曲線交于 A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)為 42）若雙曲線上一點(diǎn) C的縱坐標(biāo)為 8，求 AOC的面積；3）過原點(diǎn) O的另一條直線 l交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)（ P點(diǎn)在第一象限） ，若由點(diǎn) A，B，P，Q

5、為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為 24，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)初二數(shù)學(xué)經(jīng)典難題參考答案與試題解析、解答題（共 10 小題，滿分 100 分）ABCD內(nèi)點(diǎn)，PAD=PDA=15°求證：PBC是正三角形初二）考點(diǎn) ： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定。 專題 ： 證明題。分析： 在正方形內(nèi)做 DGC與 ADP 全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出 PDG為等邊，三角形，根據(jù) SAS證出 DGC PGC，推出 DC=PC，推出 PB=DC=PC，根據(jù)等邊三角形的判定求出即可 解答： 證明： 正方形 ABCD， AB=CD，BAD=CDA=90 ，° PAD=

6、PDA=15 ，° PA=PD， PAB=PDC=75，° 在正方形內(nèi)做 DGC與 ADP 全等， DP=DG，ADP=GDC= DAP=DCG=15，° PDG=90 °15 °15 °=60 ，° PDG為等邊三角形（有一個角等于 60 度的等腰三角形是等邊三角形） ， DP=DG=PG， DGC=180°15°15°=150 ，° PGC=360 °150 °60 °=150 =°DGC， 在 DGC和 PGC中， DGC PGC， PC=

7、AD=DC，和 DCG= PCG=15 ，°同理 PB=AB=DC=PC， PCB=90°15 ° 15 °=60 ，° PBC是正三角形點(diǎn)評： 本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是 正確作出輔助線，又是難點(diǎn)，題型較好，但有一定的難度，對學(xué)生提出了較高的要求2（10分）已知：如圖，在四邊形 ABCD中， AD=BC，M、 N分別是 AB、CD的中點(diǎn)， AD、BC的延長線交 MN 于E、 F求證： DEN= F考點(diǎn)：三角形中位線定理。專題 ：證明題。分析：連接 AC，作 GN AD交 AC于

8、 G，連接 MG，根據(jù)中位線定理證明 MGBC，且 GM= BC，根據(jù) AD=BC證明 GM=GN，可得 GNM=GMN，根據(jù)平行線性質(zhì)可得： GMF= F， GNM= DEN從而得出 DEN= F解答：證明：連接 AC，作 GNAD交 AC于 G，連接 MGN是 CD的中點(diǎn)，且 NGAD，NG= AD，G是 AC的中點(diǎn)，又M 是 AB的中點(diǎn)， MG BC，且 MG= BC AD=BC， NG=GM，GNM 為等腰三角形， GNM= GMN， GM BF， GMF= F， GN AD， GNM= DEN， DEN= F點(diǎn)評：此題主要考查平行線性質(zhì)，以及三角形中位線定理，關(guān)鍵是證明GNM 為等腰

9、三角形3（10分）如圖，分別以 ABC的邊 AC、BC為一邊，在 ABC外作正方形 ACDE和 CBFG，點(diǎn) P是 EF的中點(diǎn)，求考點(diǎn) ： 梯形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題 ： 證明題。分析：分析： 分別過 E， F， C，P作AB的垂線，垂足依次為 R，S，T，Q，則PQ= （ER+FS），易證 RtAERRtCAT， 則 ER=AT， FS=BT，ER+FS=AT+BT=A，B即可得證解答： 解：分別過 E，F(xiàn)，C，P作 AB 的垂線，垂足依次為 R，S，T，Q，則 ERPQFS，P是 EF的中點(diǎn)， Q為 RS的中點(diǎn)， PQ為梯形 EFSR的中位線， PQ= （ ER+FS），

10、 AE=AC（正方形的邊長相等） ，AER=CAT（同角的余角相等） ，R=ATC=90，° Rt AERRtCAT（AAS），同理 Rt BFS Rt CBT， ER=AT， FS=BT， ER+FS=AT+BT=A，B點(diǎn)評： 此題綜合考查了梯形中位線定理、全等三角形的判定以及正方形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，輔助線的作法很關(guān)鍵4（10 分）設(shè) P 是平行四邊形 ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且 PBA= PDA 求證： PAB= PCB考點(diǎn) ： 四點(diǎn)共圓；平行四邊形的性質(zhì)。專題 ： 證明題。分析： 根據(jù)已知作過 P點(diǎn)平行于 AD 的直線，并選一點(diǎn) E，使 PE=AD=BC，利用 ADEP，ADBC，進(jìn)

11、而得出 ABP= ADP=AEP， 得出 AEBP共圓，即可得出答案解答： 證明：作過 P點(diǎn)平行于 AD 的直線，并選一點(diǎn) E，使 PE=AD=BC， AD EP， AD BC 四邊形 AEPD是平行四邊形，四邊形 PEBC是平行四邊形， AE DP， BE PC， ABP=ADP= AEP， AEBP共圓（一邊所對兩角相等） BAP=BEP= BCP， PAB= PCB點(diǎn)評： 此題主要考查了四點(diǎn)共圓的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵5（10 分） P 為正方形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且 PA=a， PB=2a， PC=3a，求正方形的邊長考點(diǎn) ： 正方形的性質(zhì)；勾

12、股定理；等腰直角三角形；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。專題 ： 綜合題。分析： 把ABP順時針旋轉(zhuǎn) 90°得到 BEC，根據(jù)勾股定理得到 PE=2 a，再根據(jù)勾股定理逆定理證明 PEC是直 角三角形，從而得到 BEC=13°5，過點(diǎn) C作 CFBE于點(diǎn) F， CEF是等腰直角三角形，然后再根據(jù)勾股定 理求出 BC 的長度，即可得到正方形的邊長解答： 解：如圖所示，把 ABP 順時針旋轉(zhuǎn) 90°得到 BEC， APB CEB， BE=PB=2a， PE=2 a，在 PEC中， PC2=PE2+CE2=9a2， PEC是直角三角形， PEC=90 ，° BEC=45 +

13、76;90 =°135 ，°過點(diǎn) C作 CF BE于點(diǎn) F，則 CEF是等腰直角三角形， CF=EF= CE=a，=a，在 RtBFC中， BC=即正方形的邊長為 a點(diǎn)評： 本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變化的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及逆定理的應(yīng)用，作出 輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵6（10 分）一個圓柱形容器的容積為 V立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達(dá)到容器高度一半后， 改用一根口徑為小水管 2 倍的大水管注水向容器中注滿水的全過程共用時間 t 分求兩根水管各自注水的速度考點(diǎn) ： 分式方程的應(yīng)用。分析： 設(shè)小水管進(jìn)水速度為 x，則大水管進(jìn)

14、水速度為 4x，一個圓柱形容器的容積為 V 立方米，開始用一根小水管 向容器內(nèi)注水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管 2 倍的大水管注水向容器中注滿 水的全過程共用時間 t 分可列方程求解解答： 解：設(shè)小水管進(jìn)水速度為 x 立方米 /分，則大水管進(jìn)水速度為 4x 立方米 / 分由題意得：經(jīng)檢驗得：解之得：是原方程解 小口徑水管速度為立方米 /分，大口徑水管速度為立方米 / 分點(diǎn)評： 本題考查理解題意的能力，設(shè)出速度以時間做為等量關(guān)系列方程求解7（10分）（2009?郴州）如圖 1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），且 P（ 1，2）為雙曲線上的一點(diǎn)， Q 為

15、坐標(biāo)平面上一動點(diǎn)， PA垂直于 x 軸， QB垂直于 y 軸，垂足分別是 A、B（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn) Q在直線 MO 上運(yùn)動時，直線 MO上是否存在這樣的點(diǎn) Q，使得 OBQ與OAP面積相等如果存在，請 求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由；3）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) Q 在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動時，作以O(shè)P、 OQ為鄰邊的平行四邊形 OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題。專題 ：壓軸題。分析：（ 1）正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)M（ 2， 1），設(shè)出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，運(yùn)用待定系數(shù)法可求它們解析式；2）因為 P（ 1，

16、 2）為雙曲線 Y= 上的一點(diǎn)，所以 OBQ、 OAP 面積為 1，依據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，點(diǎn) Q 在雙曲線上，即符合條件的點(diǎn)存在，是正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)；3）因為四邊形 OPCQ是平行四邊形，所以 OP=CQ，OQ=PC，而點(diǎn) P（ 1， 2）是定點(diǎn)，所以 OP的長解答：也是定長，所以要求平行四邊形解：（1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為OPCQ周長的最小值就只需求 OQ 的最小值 y=kx，將點(diǎn) M（ 2，1）坐標(biāo)代入得 k= ，所以正比例函數(shù)解析式為同樣可得，反比例函數(shù)解析式為 ；2）設(shè)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn) Q 在直線 OM 上運(yùn)動時， m），SOBQ= |OB× BQ|=Q 的坐標(biāo)

17、為 Q（ m，m= m2，而 S OAP= | （ 1） ×（ 2）|=1 ，所以有，2m2=1，解得 m=±2，所以點(diǎn) Q的坐標(biāo)為 Q1（2，1）和 Q2（ 2， 1）；（ 3）因為四邊形 OPCQ是平行四邊形，所以 OP=CQ，OQ=PC， 而點(diǎn) P（ 1， 2）是定點(diǎn)，所以 OP的長也是定長， 所以要求平行四邊形 OPCQ周長的最小值就只需求 OQ的最小值，（ 8 分） 因為點(diǎn) Q 在第一象限中雙曲線上，所以可設(shè)點(diǎn)Q 的坐標(biāo)為 Q（ n， ），由勾股定理可得 OQ2=n2+ =（ n ） 2+4，所以當(dāng)（ n) 2=0 即 n =0 時，OQ2 有最小值 4，又因為

18、OQ為正值，所以 OQ與 OQ2同時取得最小值， 所以 OQ 有最小值 2，由勾股定理得 OP= ， 所以平行四邊形 OPCQ周長的最小值是 2（OP+OQ）=2（ +2）=2 +4（10 分） 點(diǎn)評： 此題難度稍大，考查一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)要注意對各個知識點(diǎn)的 靈活應(yīng)用8（10 分）（2008?海南）如圖， P是邊長為 1 的正方形 ABCD對角線 AC上一動點(diǎn)（ P與 A、C不重合），點(diǎn) E在線 段 BC 上，且 PE=PB（1）求證： PE=PD；PE PD；（ 2）設(shè) AP=x， PBE的面積為 y 求出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x 的取值范

19、圍； 當(dāng) x 取何值時， y 取得最大值，并求出這個最大值考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題。專題 ： 動點(diǎn)型。分析： （ 1）可通過構(gòu)建全等三角形來求解 過點(diǎn) P作 GFAB，分別交 AD、BC于 G、F，那么可通過證三角形 GPD 和 EFP全等來求 PD=PE以及 PEPD在直角三角形 AGP中，由于 CAD=4°5 ，因此三角形 AGP是等腰直角 三角形，那么 AG=PG，而 PB=PE， PFBE，那么根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出兩三角形的另一組對應(yīng)邊DG，PF 相等，因此可得出兩直角三角形全等可得出PD=PE，GDP=EPF，而GDP+GPD

20、=90 ，°那么可得出 GPD+EPF=90，°由此可得出 PDPE（ 2）求三角形 PBE的面積，就要知道底邊 BE和高 PF的長，（1）中已得出 BF=FE=AG，那么可用 AP在等腰 直角三角形 AGP 中求出 AG，GP 即 BF，F(xiàn)E的長，那么就知道了底邊 BE的長，而高 PF=CDGP，也就可求 出 PF的長，可根據(jù)三角形的面積公式得出x，y 的函數(shù)關(guān)系式然后可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出 y 的最大值以及對應(yīng)的 x 的取值解答： （ 1）證明： 過點(diǎn) P作 GF AB，分別交 AD、BC于 G、F如圖所示 四邊形 ABCD是正方形， 四邊形 ABFG和

21、四邊形 GFCD都是矩形， AGP和 PFC都是等腰直角三角形 GD=FC=FP，GP=AG=BF，PGD= PFE=90度又 PB=PE， BF=FE， GP=FE， EFP PGD（ SAS） PE=PD 1=2 1+ 3= 2+ 3=90 度 DPE=90 度 PE PD2）解： 過 P作 PM AB，可得 AMP 為等腰直角三角形，四邊形 PMBF 為矩形，可得 PM=BF， AP=x， PM= x，a= y= <0， ( x ( )2+ 當(dāng) x，y 最大值= 最大值BF=PM=， PF=1S PBE= BE× PF=BF?PF= x×(1x) = x2+x即

22、 y= x2+ x（ 0<x< ）點(diǎn)評： 本題主要考查了正方形，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識點(diǎn)，通過構(gòu)建全 等三角形來得出相關(guān)的邊和角相等是解題的關(guān)鍵9（10分）（2010?河南）如圖，直線 y=k1x+b 與反比例函數(shù)（x>0）的圖象交于 A（1，6），B（a，3）兩點(diǎn)1）求 k1、k2 的值時 x 的取值范圍；2）直接寫出3）如圖，等腰梯形 OBCD中， BC OD， OB=CD，OD邊在 x軸上，過點(diǎn) C作 CEOD于點(diǎn) E，CE和反比例函數(shù)的 請判斷 PC 和 PE的大小關(guān)系，并說明理由考點(diǎn)： 反比例函數(shù)綜合題；一次函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)系

23、數(shù) k 的幾何意義。專題 ： 綜合題。a 的值，再12 列方分析： （ 1）先把點(diǎn) A 代入反比例函數(shù)求得反比例函數(shù)的解析式，再把點(diǎn) B代入反比例函數(shù)解析式求得 把點(diǎn) A，B 代入一次函數(shù)解析式利用待定系數(shù)法求得k1的值（2）當(dāng) y1> y2時，直線在雙曲線上方，即 x 的范圍是在 A，B之間，故可直接寫出范圍（3）設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ m， n），易得 C（m，3），CE=3，BC=m2，OD=m+2，利用梯形的面積是 程，可求得 m 的值，從而求得點(diǎn) P 的坐標(biāo)，根據(jù)線段的長度關(guān)系可知PC=PE解答： 解：（ 1）由題意知 k2=1× 6=6 反比例函數(shù)的解析式為 y= （

24、x>0） x> 0 ，反比例函數(shù)的圖象只在第一象限，又 B（a， 3）在 y= 的圖象上， a=2，B（2，3）直線 y=k1x+b過 A（1，6），B（2，3）兩點(diǎn)故 k1 的值為 3，k2 的值為 6；（ 2）由（ 1）得出 3x+9 >0，即直線的函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，由圖象可知，此時 1< x<2， BC OD， CEOD， BO=CD，B（2，3）， C（ m， 3），CE=3， BC=m2， OD=OE+ED=OE+BF=m+2S梯形OBCD=，即 12= m=4 ，又 mn=6 n= ，即 PE= CE PC=PE點(diǎn)評： 此題綜合考查了反比例函數(shù)與

25、一次函數(shù)的性質(zhì)，此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意反比例函數(shù)上的點(diǎn)的 特點(diǎn)和利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法要靈活的利用梯形的面積公式來求得相關(guān)的線段的長度，從 而確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵10 （ 10 分）（ 2007?福州）如圖，已知直線與雙曲線交于 A， B兩點(diǎn)，且點(diǎn) A的橫坐標(biāo)為 41）求 k 的值；2）若雙曲線上一點(diǎn) C 的縱坐標(biāo)為 8，求 AOC的面積；3）把 x=4 代入過原點(diǎn) O的另一條直線 l 交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)（ P點(diǎn)在第一象限） ，若由點(diǎn) A，B，P，Q為頂P 的坐標(biāo)考點(diǎn) ： 反比例函數(shù)綜合題。專題 ： 綜合題；壓軸題。分析： （ 1）先根據(jù)直線的解析式求出A點(diǎn)的坐標(biāo)

26、，然后將 A點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線的解析式中即可求出 k 的值；（ 2）由（ 1）得出的雙曲線的解析式，可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，由于 AOC的面積無法直接求出，因此可通過 作輔助線，通過其他圖形面積的和差關(guān)系來求得 （解法不唯一） ；（ 3）由于雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)的中心對稱圖形，因此以A、B、P、Q 為頂點(diǎn)的四邊形應(yīng)該是平行四邊形，那么 POA的面積就應(yīng)該是四邊形面積的四分之一即6可根據(jù)雙曲線的解析式設(shè)出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)，然后參照（2）的三角形面積的求法表示出 POA的面積， 由于 POA的面積為 6，由此可得出關(guān)于 P點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程， 即 可求出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)解答： 解：（1）點(diǎn) A 橫坐標(biāo)為 4，得 y=2， A（4，2），點(diǎn) A 是直線 y= x與雙曲線（k>0）的交點(diǎn)