傳染病的數(shù)學(xué)模型

1、傳染病模型詳解SI /SIS,SIR經(jīng)典模型經(jīng)典的傳播模型大致將人群分為傳播態(tài)S ,易感染態(tài)I和免疫態(tài)R o S態(tài)表示該個體帶有病毒或謠言的傳播能力，一旦接觸到易感染個體就會以一定概率導(dǎo)致對方成為傳播態(tài)。I表示該個體沒有接觸過病毒或謠言，容易被傳播態(tài)個體感染。R表示當(dāng)經(jīng)過一個或多個感染周期后，該個體永遠(yuǎn)不再被感染。SI模型考慮了最簡單的情況，即一個個體被感染，就永遠(yuǎn)成為感染態(tài)，向周圍鄰居不斷傳播病毒或謠言等。假設(shè)個體接觸感染的概率為傳播模型如下：，總?cè)藬?shù)為 N,在各狀態(tài)均勻混合網(wǎng)絡(luò)中建立dS SIdt NH ISId tN從而得到didti(1 i)對此方程進(jìn)行求解可得:i_a ti(t)rt

2、J0i(0)可見，起初絕大部分的個體為I態(tài)，任彳5一個 S態(tài)個體都會遇到I態(tài)個體并且傳染給對方，網(wǎng)絡(luò)中的S態(tài)個數(shù)隨時間成指數(shù)增長。與此同時，隨著 I態(tài)個體的減少，網(wǎng)絡(luò)中 S態(tài)個 數(shù)達(dá)到飽和，逐漸網(wǎng)絡(luò)中個體全部成為S態(tài)。然而在現(xiàn)實世界中，個體不可能一直都處于傳播態(tài)。有些節(jié)點會因為傳播的能力和意愿 的下降，從而自動轉(zhuǎn)變?yōu)橛啦粋鞑サ腞態(tài)。而有些節(jié)點可能會從 S態(tài)轉(zhuǎn)變I態(tài)，因此簡單的 SI模型就不能滿足節(jié)點具有自愈能力的現(xiàn)實需求，因而出現(xiàn)SIS模型和SIR模型。SIR是研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的經(jīng)典的模型。采用與病毒傳播相似的過程中的S, I, R態(tài)代表傳播過程中的三種狀態(tài)。Zanetee, Moreno

3、先后研究了小世界傳播過程中的謠言傳播。Moreno等人將人群分為 S （傳播謠言）、I （沒有聽到謠言），R （對謠言不再相信也不傳播）。 19肯IR播華的狀惠我稱圄假設(shè)沒有聽到謠言I個體與S個體接觸，以概率（k）變?yōu)镾個體，S個體遇到S個體或R個體以概率（k）變?yōu)镽 ,如圖 所示。建立的平均場方程:di tdtds(t)dt(k)i(t)s(t)(k)s(t)s(t) r(t)dr(t)dt(k)s(t)s(t) r(t)與之前人得到的均勻網(wǎng)絡(luò)的病毒傳播的結(jié)論相反，謠言在均勻網(wǎng)絡(luò)中傳播沒有閾值。Moreno等人將此模型推廣到募率分布的網(wǎng)絡(luò)，考察了R態(tài)的穩(wěn)定值和耗散時間，得出 R態(tài)穩(wěn)定值與感染

4、概率(k)有著緊密聯(lián)系，而與傳播源的度%無關(guān)。這與一般意義下的病毒傳播的結(jié)論“傳播各狀態(tài)的密度與傳染源節(jié)點的度緊密相連”有很大不同。SIS模型與 SIS模型的區(qū)別就在于節(jié)點成為傳播態(tài)之后的恢復(fù)的狀態(tài)不同。在SIR模型中，傳播態(tài)節(jié)點在傳播過程中會根據(jù)概率成為免疫狀態(tài)，而在SIS模型中每一個傳播節(jié)點會以恒值成為I態(tài)，如圖。Y圖2。SI模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖從而得到SIS模型的微分方程：ds 出 di出i sisi i化簡得到:i(t)io()e( ioe()t)t1從而得到其穩(wěn)態(tài)值為i 1 。若 1 ,那么i(t)指數(shù)下降區(qū)域零，意味著謠言不再擴散。在這之后，許多學(xué)者在這些經(jīng)典模型的基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)的模

5、型。如周苗苗等人在經(jīng) SIR謠模型的基礎(chǔ)上研究了社會網(wǎng)絡(luò)上的謠言傳播并構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型，得出了最名集合 As的期望值的相關(guān)結(jié)論。孫慶山等人在經(jīng)典SIS和SI模型的基礎(chǔ)上，研究了社會網(wǎng)絡(luò)的謠言傳播，首次將信息的吸引力作為傳播因素引入傳播模型中。Vespignani提出了網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)傳播模型，詳盡分析了單種群中的動力學(xué)過程 31。這些模型有的已經(jīng)擺脫了平均場方程的表達(dá)傳播過程方法，采用元 胞自動機以及隨機過程的方法表達(dá)，但是思想仍是采用SIR這樣的傳播狀態(tài)和規(guī)則。國內(nèi)外關(guān)于建立網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型方面和網(wǎng)絡(luò)免疫策略方面的研究已取得了一些有益進(jìn) 展。Zanette D H率先在小世界網(wǎng)絡(luò)上建立謠言傳播模型。

6、Moreno Y等人在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上建立了謠言傳播模型，通過隨機分析方法以及計算機仿真得出結(jié)論。文獻(xiàn)利用構(gòu)建改進(jìn)的 Potts自旋系統(tǒng)來量化謠言傳播因素并建立起基于Potts謠言傳播模型。元胞自動機作為研究傳播的方法之一也取得了較多成果。宣慧玉和張發(fā)利用元胞自動機研究了謠言在個體之間流傳的的局部交互的過程。劉常昱等人利用元胞自動機和Agent設(shè)計個體的局部相互作用規(guī)則來研究了基于小世界模型構(gòu)建的人際關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中的輿論傳播。除此以外，人們發(fā)現(xiàn)謠言傳播與網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)也有著密切的聯(lián)系，汪小帆團(tuán)隊發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)對傳播的影響并給出了相應(yīng)抑制謠言的 策略。針對各種謠言傳播模型的免疫干擾研究也是相對比較成

7、熟。免疫策略可分為隨機免疫，熟人免疫和目標(biāo)免疫。隨機免疫方法就是完全隨機的選取網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點進(jìn)行免疫。但在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中使用隨機免疫策略的話，幾乎要對網(wǎng)絡(luò)中所有的節(jié)點進(jìn)行免疫才可能使謠言不得擴散出去。相對隨機免疫的缺陷，目標(biāo)免疫通過去除網(wǎng)絡(luò)中少量度大的節(jié)點的連邊，切斷傳播的途徑來降低謠言的散步范圍就更有實際意義，。雖然目標(biāo)免疫的效果比較明顯，但是要是想目標(biāo)免疫能夠發(fā)揮威力就必須知道網(wǎng)絡(luò)的全局信息從而選擇目標(biāo)節(jié)點，而在龐大且復(fù)雜的社會網(wǎng)絡(luò)中獲取全局信息是難以做到的。熟人免疫策略巧妙的回避了這一點，它從N個節(jié)點中隨機選取一部分節(jié)點，在從每個一個被選出來的節(jié)點中隨機選取一個鄰居節(jié)點進(jìn)行免疫。但是熟人免疫

8、也存在著局限 性，比如隨機選取的節(jié)點可能會擁有部分共同好友，就會導(dǎo)致免疫的重復(fù)和浪費，因此，免疫策 略的進(jìn)一步研究離不開對網(wǎng)絡(luò)深層次拓?fù)涮卣鞯奶剿?。近年來網(wǎng)絡(luò)中重要節(jié)點排序和衡量取得很大的突破，如基于Pagerank的重要節(jié)點算法以及K-核算法的提出為網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的進(jìn)一步研究打下了堅實的基礎(chǔ)。雖然SIR傳播模型在許多網(wǎng)絡(luò)中得到了擴展和研究，也是當(dāng)前研究的熱點，然而卻不能準(zhǔn) 確的表達(dá)當(dāng)前在線社交網(wǎng)絡(luò)的傳播現(xiàn)實，如謠言傳播過程中的從眾性、傳播意愿的累積性等，因此根據(jù)傳播關(guān)鍵因素建立合理的傳播模型是當(dāng)前研究的重點。第四章 基于SIR改進(jìn)的SHKR謠言傳播模型問題描述與建模問題描述在SNS中，當(dāng)一個好

9、友發(fā)布了某消息，好友往往就會以一定的概率將此消息傳播出去。若 該好友對其內(nèi)容不具有傳播意愿則成為知道謠言但不會傳播的人；若該好友對這則內(nèi)容相 信或感興趣則會分享，那么此好友就成為傳播者；有部分好友，一開始不相信，后來在周圍 好友多次的傳播分享下，意愿受到強化而成為傳播者也是很常見的?？紤]到以上的傳播規(guī)則，本文對傳統(tǒng)的謠言傳播模型將人群分為傳播，免疫和未感染三 類進(jìn)行了改進(jìn)。我們把網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點分為傳播節(jié)點S,健康節(jié)點 H,知道謠言但不傳播的節(jié)點K,免疫節(jié)點R四種狀態(tài)。傳播節(jié)點表示該節(jié)點接受信息并具有傳播能力的節(jié)點。健康節(jié)點表示沒有接觸到謠言的 節(jié)點，對謠言處于未知狀態(tài)。知道信息但不傳播的節(jié)點表示

10、知道了謠言但對謠言沒有傳播的 人。免疫節(jié)點表示永遠(yuǎn)不會傳播謠言的人。可見，謠言在傳播過程中，不僅與節(jié)點自身的狀 態(tài)有關(guān)，也與節(jié)點的鄰居節(jié)點的狀態(tài)相關(guān)。P變?yōu)閭鞑ス?jié)點 S,以率P2傳播的規(guī)則如下，如圖 所示：(1)當(dāng)謠言傳播節(jié)點與健康節(jié)點接觸時，健康節(jié)點以概率變?yōu)榻邮苤{言但不傳播的節(jié)點K,以概率已成為免疫者R；(2)當(dāng)謠言傳播節(jié)點與知道謠言但不傳播的節(jié)點接觸，作傳播節(jié)點則以概率P4變?yōu)閭鞑ス?jié)點。3)傳播節(jié)點不會一直傳播謠言，會以速度v轉(zhuǎn)化為免疫者，v就為遺忘率。在第二章提到，SIR傳播模型雖然應(yīng)用的比較廣研究也較多但是對于當(dāng)前在線社交網(wǎng)絡(luò)的中 的傳播現(xiàn)實卻不能準(zhǔn)確的表達(dá)，如謠言傳播過程中的從眾性

11、、傳播意愿的累積性等。此外，謠言傳播與病毒傳播明顯的區(qū)別就在于其多次傳播對節(jié)點的影響，這點在MIT斯隆管理學(xué)院的博士的實驗結(jié)果也得到了體現(xiàn)。斯隆管理學(xué)院的博士等在兩個不同網(wǎng)絡(luò)中，每個志愿者分別以郵件的方式邀請好友注冊論壇，如果好友完成了注冊即會以郵件的方式向他(她)的好友繼續(xù)發(fā)郵件邀請他們注冊論壇。在這次實驗中，網(wǎng)絡(luò)中的一個用戶往往會被其周圍的好友多次邀請而強化了其 注冊的意愿?？梢娫谥{言傳播過程中，本來不傳播的節(jié)點受到社會強化作用變?yōu)閭鞑フ撸员疚奶岢隽艘粋€新的狀態(tài)，即知道謠言不傳播的狀態(tài)且在一定的概率作用下會改變?yōu)閭鞑ス?jié)點。那么在這樣的傳播機制下，每個節(jié)點都會對謠言的傳播及相信與否做出自

12、己的選擇，這更貼近現(xiàn)實的真實情況，因為并不是每個人聽到謠言都會傳播。PIS 4 I傳溫狀雪狀密圖則基于以上定義：(1)分別定義 H(t), S(t), K(t), R(t)為健康者，傳播者，知道謠言但不傳播者和免疫者的比重顯然 H(t)+ S(t)+K(t)+ R(t)=1。(2)在消息傳播過程中，不考慮人數(shù)的遷入遷出及出生和死亡，即總?cè)藬?shù)不隨時間的改變而改變。(3)假設(shè)總?cè)藬?shù)為N o數(shù)學(xué)建模(1)健康者 H考察t到t t時間按內(nèi)各人數(shù)的變化情況：N*S(t)*(RP2P3)*H(t)*這段時間內(nèi)，健康者的人數(shù)增加了N * H (t t H (t),而每個傳播者可以讓t由健康者變?yōu)槠渌麪顟B(tài)的節(jié)

13、點，則可列出滿足條件的方程:N*H(t t) H(t)N*S(t)*(RP26)*H(t)* t兩邊同除 t,則得到微分方程：(Pl P2 P3)H(t)S(t)dH(t)dt(2)免疫者 R這段時間內(nèi)，免疫者增加的人數(shù) N*R(tt) R(t),每個傳播者可以讓 N*v*S(t)成為免疫者，則可得到微分方程:甯 vS。)p4Sk(t)Hk(t) (Hk(t)(3)傳播者S這段時間內(nèi)，傳播者增加的人數(shù)為N * S(t) S(t t),健康者變?yōu)閭鞑フ叩娜藬?shù)為N * S(t)* Pi * H (t),傳播者變?yōu)槊庖哒叩娜藬?shù)為N * v* S(t),知道謠言并不傳播者變?yōu)閭鞑S(t)dt者的人數(shù)

14、為N * S(t) *P4 * K(t),則可得到微分方程為：PiS(t)H(t) P4s(t)K(t) vS(t)(4)知道但不傳播謠言者K這段時間內(nèi)，增加的人數(shù)為N * K(t t) K(t),而健康者變?yōu)橹赖粋鞑フ叩娜藬?shù)為N * St)* P2* H(t),而知道謠言但不傳播者在這段時間內(nèi)變?yōu)閭鞑フ叩娜藬?shù)是N*S(t)* P4* K(t),則得到微分方程為：P2s(t)H(t) P4S(t)K(t)dtdK(t)聯(lián)立可得為微分方程組:dH(t)dt(Pl +P2P3)S(t)H(t)dR(t)vS(t) p4s(t)H(t)dS(t)dtPiS(t)H(t)p4 s(t)K(t) v

15、S(t)dK(t)dtp2s(t)H(t) p4s(t)K(t)考慮到傳播節(jié)點和未感染節(jié)點之間不可能始終是均勻分布。因為考慮到網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫?質(zhì)，將上述轉(zhuǎn)化為如下形式，dHk(t)dt(pi p2p3)Sk(t)Hk(t)dR(t)dtvSk(t) kp4Sk(t)Hk(t)d&dtpiSk(t)Hk(t)dKp2Sk(t)H(t)dtp4Sk(t)K(t) vSk(t)p4Sk(t)Kk(t)節(jié)點之間的連接概率不可忽視，因此即引入 k(t)表示t時刻非傳播節(jié)點和一個度為傳播節(jié)點為鄰居的概率，上述式子可轉(zhuǎn)化為:dHk(t)dtk(pip2 p3)Sk(t)Hk(t) k(t)dRk(t)dtvSk(t)kp4Sk(t)Hk(t) k(t)dSk(t)dtkpiSk(t)Hk(t) k(t) kp4