MATLAB符號運算運用ppt課件

1、 符號計算是對未賦值的符號對象(可以是常數(shù)、變量、表達式)進行運算和處理。MATLAB具有符號數(shù)學工具箱(Symbolic Math Toolbox)，將符號運算結(jié)合到MATLAB的數(shù)值運算環(huán)境。符號數(shù)學工具箱是建立在Maple軟件基礎(chǔ)上的。3.1 3.1 符號表達式的建立符號表達式的建立3.1.1 創(chuàng)建符號常量創(chuàng)建符號常量符號常量是不含變量的符號表達式，用sym命令來創(chuàng)建符號常量。語法：sym(常量) %創(chuàng)建符號常量例如： a=sym(sin(2)a =sin(2)3.1.2 3.1.2 創(chuàng)建符號變量和表達式1. 使用使用sym命令創(chuàng)建符號變量和表達式命令創(chuàng)建符號變量和表達式語法：語法： s

2、ym(表達式表達式) %創(chuàng)建符號表達式創(chuàng)建符號表達式 符號變量名符號變量名=sym(表達式表達式) %符號表達符號表達式賦給式賦給 符號變量符號變量2.使用使用syms命令創(chuàng)建符號變量和符號表達式命令創(chuàng)建符號變量和符號表達式syms用于創(chuàng)建多個符號變量用于創(chuàng)建多個符號變量語法：語法：syms(arg1, arg2, ,參數(shù)參數(shù)) %把字符變量定義為符號變量把字符變量定義為符號變量syms arg1 arg2 ,參數(shù)參數(shù) %把字符變量定義為符號變量的簡把字符變量定義為符號變量的簡潔形式潔形式【例】使用syms命令創(chuàng)建符號變量和符號表達式。 syms a b c x %創(chuàng)建多個符號變量 f2=a*

3、x2+b*x+c %創(chuàng)建符號表達式 f2 =a*x2+b*x+c syms(a,b,c,x) f3=a*x2+b*x+c; %創(chuàng)建符號表達式 3.1.3 3.1.3 符號矩陣用sym和syms命令也可以創(chuàng)建符號矩陣。例如， A=sym(a,b;c,d) A = a, b c, d syms a b c d A=a b;c d A = a, b c, d 3.2 3.2 符號表達式的代數(shù)運算符號表達式的代數(shù)運算3.2.1 3.2.1 符號表達式的代數(shù)運算1. 符號運算中的運算符符號運算中的運算符(1) 基本運算符基本運算符運算符運算符“”，“”，“*”，“”，“/”，“”分別實現(xiàn)符號矩陣的加、減

4、、乘、左除、右除、求分別實現(xiàn)符號矩陣的加、減、乘、左除、右除、求冪運算。冪運算。運算符運算符“.*”，“./”，“.”，“.”分別實現(xiàn)符號數(shù)分別實現(xiàn)符號數(shù)組的乘、除、求冪，即數(shù)組間元素與元素的運算。組的乘、除、求冪，即數(shù)組間元素與元素的運算。運算符運算符“”，“.”分別實現(xiàn)符號矩陣的共軛轉(zhuǎn)置、分別實現(xiàn)符號矩陣的共軛轉(zhuǎn)置、非共軛轉(zhuǎn)置。非共軛轉(zhuǎn)置。(2) 關(guān)系運算符關(guān)系運算符在符號對象的比較中，沒有在符號對象的比較中，沒有“大于大于”、“大于等大于等于于”、“小于小于”、“小于等于的概念，而只有是小于等于的概念，而只有是否否“等于的概念。等于的概念。運算符運算符“= =”、“=”分別對運算符兩邊的

5、符號對分別對運算符兩邊的符號對象進行象進行“相等相等”、“不等的比較。當為不等的比較。當為“真時，真時，比較結(jié)果用比較結(jié)果用1表示；當為表示；當為“假時，比較結(jié)果則用假時，比較結(jié)果則用0表示。表示。2. 函數(shù)運算函數(shù)運算(1) 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)包括三角函數(shù)包括sin、cos、tan；雙曲函數(shù)包括；雙曲函數(shù)包括sinh、cosh、tanh；三角反函數(shù)除了；三角反函數(shù)除了atan2函數(shù)僅能用于函數(shù)僅能用于數(shù)值計算外，其余的數(shù)值計算外，其余的asin、acos、atan函數(shù)在符號函數(shù)在符號運算中與數(shù)值計算的使用方法相同。運算中與數(shù)值計算的使用方法相同。(2) 指數(shù)和對數(shù)函

6、數(shù)指數(shù)和對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)sqrt、exp的使用方法與數(shù)值計算的完全的使用方法與數(shù)值計算的完全相同；對數(shù)函數(shù)在符號計算中只有自然對數(shù)相同；對數(shù)函數(shù)在符號計算中只有自然對數(shù)log(表表示示ln)，而沒有數(shù)值計算中的，而沒有數(shù)值計算中的log2和和log10。(3) 復數(shù)函數(shù)復數(shù)函數(shù)復數(shù)的共軛復數(shù)的共軛conj、求實部、求實部real、求虛部、求虛部imag和求模和求模abs函數(shù)與數(shù)值計算中的使用方法相同。但注意，函數(shù)與數(shù)值計算中的使用方法相同。但注意，在符號計算中，在符號計算中，MATLAB沒有提供求相角的命令。沒有提供求相角的命令。(4) 矩陣代數(shù)命令矩陣代數(shù)命令MATLAB提供的常用矩

7、陣代數(shù)命令有提供的常用矩陣代數(shù)命令有diag，triu，tril，inv，det，rank， poly，eig 、expm等，它們等，它們的用法幾乎與數(shù)值計算中的情況完全一樣。的用法幾乎與數(shù)值計算中的情況完全一樣?！纠壳缶仃嚨男辛惺街怠⒎枪曹椶D(zhuǎn)置和特征值。 syms a11 a12 a21 a22 A=a11 a12;a21 a22 %創(chuàng)建符號矩陣創(chuàng)建符號矩陣 A = a11, a12 a21, a22 det(A) %計算行列式計算行列式 ans =a11*a22-a12*a21 A. %計算非共軛轉(zhuǎn)置計算非共軛轉(zhuǎn)置 ans = a11, a21 a12, a22 eig(A) %計算特征

8、值計算特征值 【例】符號表達式f=2x2+3x+4與g=5x+6的代數(shù)運算。f=sym(2*x2+3*x+4)f =2*x2+3*x+4 g=sym(5*x+6) g =5*x+6 f+g %符號表達式相加符號表達式相加 ans =2*x2+8*x+10 f*g %符號表達式相乘符號表達式相乘 ans =(2*x2+3*x+4)*(5*x+6) 1. 1. 自由變量的確定原則 小寫字母i i和j j不能作為自由變量。 符號表達式中如果有多個字符變量，則按照以下順序選擇自由變量：首先選擇x x作為自由變量；如果沒有x x，則選擇在字母順序中最接近x x的字符變量；如果與x x相同距離，則在x x

9、后面的優(yōu)先。 大寫字母比所有的小寫字母都靠后。 2. findsym2. findsym函數(shù) 如果不確定符號表達式中的自由符號變量，可以用finfindsymdsym函數(shù)來自動確定。 語法： findsym(f,n)findsym(f,n)%確定自由符號變量 說明：f f可以是符號表達式或符號矩陣；n n為按順序得出符號變量的個數(shù)，當n n省略時，則不按順序得出f f中所有的符號變量。3.2.2 3.2.2 符號表達式的操作和轉(zhuǎn)換1、符號表達式中自由變量的確定、符號表達式中自由變量的確定 2、符號表達式的化簡、符號表達式的化簡(1) pretty函數(shù)函數(shù) 將給出排版形式的輸出結(jié)果。將給出排版形

10、式的輸出結(jié)果。(2) collect函數(shù)函數(shù) 將表達式中相同次冪的項合并，也可以將表達式中相同次冪的項合并，也可以再輸入一個參數(shù)指定以哪個變量的冪次合并。再輸入一個參數(shù)指定以哪個變量的冪次合并。(3) expand函數(shù)函數(shù) 將表達式展開成多項式形式。將表達式展開成多項式形式。(4) horner函數(shù)函數(shù) 將表達式轉(zhuǎn)換為嵌套格式。將表達式轉(zhuǎn)換為嵌套格式。(5) factor函數(shù)函數(shù) 將表達式轉(zhuǎn)換為嵌套格式。將表達式轉(zhuǎn)換為嵌套格式。(6) simplify函數(shù)函數(shù) 利用函數(shù)規(guī)則對表達式進行化簡。利用函數(shù)規(guī)則對表達式進行化簡。(7) simple函數(shù)函數(shù) 調(diào)用調(diào)用MATLAB的其他函數(shù)對表達式進的其

11、他函數(shù)對表達式進行綜合化簡，并顯示化簡過程。行綜合化簡，并顯示化簡過程。3 3、符號表達式的替換 MATLAB 中，可以通過符號替換使表達式的形式簡化。符號工具箱中提供了兩個函數(shù)用于表達式的替換：1subexpr 該函數(shù)自動將表達式中重復出現(xiàn)的比較長的子表達式或字符串用變量替換，該函數(shù)的調(diào)用格式為： subexpr(s,s1)，指定用符號變量 s1 來代替符號表達式s可以是矩陣中重復出現(xiàn)的字符串。替換后的結(jié)果由 ans 返回，被替換的字符串由 s1返回； Y,s1 = subexpr(X,s1)，該命令與上面的命令不同之處在于第二個參數(shù)為字符串，該命令用來替換表達式中重復出現(xiàn)的字符串。 2.

12、subs 函數(shù) subs 可以用指定符號替換表達式中的某一特定符號。 subs(s) subs(s, new) subs(s,old,new)4、求反函數(shù)和復合函數(shù)、求反函數(shù)和復合函數(shù)語法：語法：finverse(f,v) %對指定自變量對指定自變量v的函數(shù)的函數(shù)f(v)求反函數(shù)求反函數(shù) compose(f,g) %計算復合函數(shù)計算復合函數(shù)f(g(x) 5 5、 符號表達式與多項式的轉(zhuǎn)換 構(gòu)成多項式的符號表達式f(x)可以與多項式系數(shù)構(gòu)成的行向量進行相互轉(zhuǎn)換，MATLAB提供了函數(shù)sym2poly和poly2sym實現(xiàn)相互轉(zhuǎn)換?！纠?】將符號表達式2x+3x2+1轉(zhuǎn)換為行向量。 f=sym(2

13、*x+3*x2+1) f =2*x+3*x2+1 sym2poly(f) %轉(zhuǎn)換為按降冪排列的行向量ans = 3 2 1 【例2】將行向量轉(zhuǎn)換為符號表達式。 g=poly2sym(1 3 2) %默認x為符號變量的符號表達式g =x2+3*x+2 3.3 3.3 符號極限、微積分和級數(shù)求和符號極限、微積分和級數(shù)求和 3.3.1 符號極限符號極限 假定符號表達式的極限存在，假定符號表達式的極限存在，Symbolic Math Toolbox提供了直接求提供了直接求表達式極限的函數(shù)表達式極限的函數(shù)limit，函數(shù)，函數(shù)limit的的基本用法如表所示?；居梅ㄈ绫硭?。3.3.2 3.3.2 符號

14、微分函數(shù)diff是用來求符號表達式的微分。語法： diff(f)%求f對自由變量的一階微分 diff(f,t)%求f對符號變量t的一階微分 diff(f,n)%求f對自由變量的n階微分 diff(f,t,n) %求f對符號變量t的n階微分3.3.3 3.3.3 符號積分 積分有定積分和不定積分，運用函數(shù)int可以求得符號表達式的積分。語法：int(f,t) %求符號變量t的不定積分int(f,t,a,b) %求符號變量t的積分int(f,t,m,n) %求符號變量t的積分說明：t為符號變量，當t省略則為默認自由變量；a和b為數(shù)值，a,b為積分區(qū)間；m和n為符號對象，m,n為積分區(qū)間；與符號微分

15、相比，符號積分復雜得多。因為函數(shù)的積分有時可能不存在，即使存在，也可能限于很多條件，MATLAB無法順利得出。當MATLAB不能找到積分時，它將給出警告提示并返回該函數(shù)的原表達式。3.3.4 3.3.4 符號級數(shù)1. symsum函數(shù)函數(shù)語法：語法：symsum(s,x,a,b)%計算表達式計算表達式s的級的級數(shù)和數(shù)和.說明：說明：x為自變量，為自變量，x省略則默認為對自由變量求和；省略則默認為對自由變量求和；s為符號表達式；為符號表達式；a,b為參數(shù)為參數(shù)x的取值范圍。的取值范圍。2. taylor函數(shù)函數(shù)語法：語法：taylor (F,x,n) %求泰勒級數(shù)展開求泰勒級數(shù)展開說明：說明：x

16、為自變量，為自變量，F(xiàn)為符號表達式；對為符號表達式；對F進行泰勒進行泰勒級數(shù)展開至級數(shù)展開至n項，參數(shù)項，參數(shù)n省略則默認展開前省略則默認展開前5項。項?！纠壳蠹墧?shù) 1+x+x2+xk+的和。syms x ksyms x k s1=symsum(1/k2,1,10) s1=symsum(1/k2,1,10) %計算級數(shù)的前1010項和 s1 =s1 =1968329/1270080 1968329/1270080 s2=symsum(1/k2,1,inf) s2=symsum(1/k2,1,inf) %計算級數(shù)和 s2 =s2 =1/61/6* *pi2 pi2 s3=symsum(xk,k

17、,0,inf) s3=symsum(xk,k,0,inf) %計算對k k為自變量的級數(shù)和 s3 =s3 =-1/(x-1) -1/(x-1) 222k131211【例】求ex的泰勒展開式 syms x syms xs1=taylor(exp(x),8) s1=taylor(exp(x),8) %展開前8 8項 s1 =s1 =1+x+1/21+x+1/2* *x2+1/6x2+1/6* *x3+1/24x3+1/24* *x4+1/120 x4+1/120* *x5+1/x5+1/720720* *x6+1/5040 x6+1/5040* *x7 x7 s2=taylor(exp(x) s2

18、=taylor(exp(x) %默認展開前5 5項 s2 =s2 =1+x+1/21+x+1/2* *x2+1/6x2+1/6* *x3+1/24x3+1/24* *x4+1/120 x4+1/120* *x5 x5 3.4 3.4 符號方程的求解符號方程的求解3.4.1 代數(shù)方程代數(shù)方程語法：語法：solve(eq,v) %求方程關(guān)于指定變量的解求方程關(guān)于指定變量的解solve(eq1, eq2,v1,v2,) %求方程組關(guān)于指定變量的解求方程組關(guān)于指定變量的解 說明：說明：eq可以是含等號的符號表達式的方程，也可可以是含等號的符號表達式的方程，也可以是不含等號的符號表達式，但所指的仍是令以

19、是不含等號的符號表達式，但所指的仍是令eq=0的方程；當參數(shù)的方程；當參數(shù)v省略時，默認為方程中的自由變量；省略時，默認為方程中的自由變量；其輸出結(jié)果為結(jié)構(gòu)數(shù)組類型。其輸出結(jié)果為結(jié)構(gòu)數(shù)組類型。3.4.2 3.4.2 符號常微分方程語法：語法：dsolve(eq,con,v) %求解微分方程求解微分方程dsolve(eq1,eq2,con1,con2,v1,v2) %求解微分方程組求解微分方程組說明：說明：eq為微分方程；為微分方程；con是微分初始條件，可是微分初始條件，可省；??；v為指定自由變量，省略時則默認為為指定自由變量，省略時則默認為x或或t為自由為自由變量；輸出結(jié)果為結(jié)構(gòu)數(shù)組類型。變

20、量；輸出結(jié)果為結(jié)構(gòu)數(shù)組類型。當當y是因變量時，微分方程是因變量時，微分方程eq的表述規(guī)定為：的表述規(guī)定為：y的一階導數(shù)的一階導數(shù) 表示為表示為Dyy的的n階導數(shù)階導數(shù) 表示為表示為Dny微分初始條件微分初始條件con應寫成應寫成y(a)=b，Dy(c)=d的格式。的格式。dydxnnd ydx3. 5 3. 5 符號積分變換符號積分變換3.5.1 傅里葉傅里葉(Fourier)變換及其反變換變換及其反變換1. fourier變換變換語法：語法：Ffourier(f,t ,w) %求時域函數(shù)求時域函數(shù)f(t)的的fourier變換變換F說明：返回結(jié)果說明：返回結(jié)果F是符號變量是符號變量w的函數(shù)，

21、當參數(shù)的函數(shù)，當參數(shù)w省略，默省略，默認返回結(jié)果為認返回結(jié)果為w的函數(shù)；的函數(shù)；f為為t的函數(shù)，當參數(shù)的函數(shù)，當參數(shù)t省略，默認自省略，默認自由變量為由變量為x。2. fourier反變換反變換語法：語法：f=ifourier (F) %求頻域函數(shù)求頻域函數(shù)F的的fourier反變換反變換f(t)f=ifourier (F,w,t) 【例】計算f(t)= 的fourier變換F以及F的fourier反變換。syms t wsyms t w F=fourier(1/t,t,w) F=fourier(1/t,t,w) %fourier%fourier變換 F =F =i i* *pipi* *(H

22、eaviside(-w)-Heaviside(w) (Heaviside(-w)-Heaviside(w) f=ifourier(F,t) f=ifourier(F,t) %fourier%fourier反變換 f =f =1/t 1/t f=ifourier(F) f=ifourier(F) %fourier%fourier反變換默認x x為自變量 f =f =1/x 1/x 程序分析：其中Heaviside(t)Heaviside(t)是單位階躍函數(shù) ，函數(shù)名為數(shù)學家HeavisideHeaviside的名字。t10t0t013.5.2 3.5.2 拉普拉斯(Laplace)(Laplace)變換 及其反變換1. Laplace變換變換語法：語法：F=laplace(f,t,s) %求時域函數(shù)求時域函數(shù)f的的Laplace變換變換F說明：返回結(jié)果說明：返回結(jié)果F為為s的函數(shù)，當參數(shù)的函數(shù)，當參數(shù)s省略，返回省略，返回結(jié)果結(jié)果F默認為默認為s的函數(shù)；的函數(shù)；f為為t的函數(shù)，當參數(shù)的函數(shù)，當參數(shù)t省略，省略，默認自由變量為默認自由變量為t。2. Laplace反變換反變換語法：語法：filaplace(F,s,t) %求求F的的Laplace反變換反變換f【例】求sin(at)和階躍函數(shù)的Laplace變換。 syms a t s syms a t s F1=laplace(si