專(zhuān)訓(xùn)2垂徑定理的四種應(yīng)用技巧

1、專(zhuān)訓(xùn)2垂徑定理的四種應(yīng)用技巧名師點(diǎn)金：垂徑定理的巧用主要表達(dá)在求點(diǎn)的坐標(biāo)、解決最值問(wèn)題、解決實(shí)際問(wèn)題 等解題時(shí)，巧用弦的一半、圓的半徑和圓心到弦的垂線段三條線段組成的直角三 角形，然后借助勾股定理，在這三個(gè)量中知道任意兩個(gè)，可求出第三個(gè).巧用垂徑定理求點(diǎn)的坐標(biāo)1 如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是10 , 0兒點(diǎn)B的坐標(biāo)是8,0，點(diǎn)C , D在以O(shè)A為直徑的半圓M上，且四邊形OCDB是平行四邊形，求點(diǎn) C的坐標(biāo).巧用垂徑定理解決最值問(wèn)題對(duì)稱(chēng)思想2 如圖，AB , CD是半徑為5的。O的兩條弦， AB = 8, CD = 6 , MN是直徑， AB丄MN于點(diǎn)E , CD丄MN于點(diǎn)F , P

2、為直線EF上的任意一點(diǎn)，求 PA + PC的最小值.第 2題巧用垂徑定理計(jì)算3 如圖，CD為O O的直徑， CD丄AB，垂足為點(diǎn) F , AO丄BC ,垂足為 E , BC=2 3.題(1)求AB的長(zhǎng)；求O O的半徑.巧用垂徑定理解決實(shí)際問(wèn)題(建模思想)4 某地有一座拱橋，它的橋拱是圓弧形，橋下的水面寬度為7.2米，拱頂高出水面2.4米，現(xiàn)有一艘寬3米，船艙頂部為長(zhǎng)方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過(guò)這里，此貨船能順利通過(guò)這座拱橋嗎？答案1 解：如圖，連接 CM，作MN丄CD于N , CH丄OA于H. V四邊形OCDB為平行 四邊形， B 點(diǎn)的坐標(biāo)是 (8 ,0), I CD = OB = 8 ,

3、CN = MH , CH = MN.又V MN丄CD ,1CN = DN = 2CD = 4.易知 OA = 10 , . MO = MC = 5.在 Rt MNC 中， MN = CM 2- CN2 = 52 -42= 3. . CH = 3，又 OH = OM - MH =5 - 4 = 1. 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1 ,3).(第1題)(第2題)2 解：如圖，易知點(diǎn)C關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AD，交MN于點(diǎn)P，連接 PC,易知此時(shí) PA + PC最小且 PA + PC = AD.過(guò)點(diǎn)D作DH丄AB于點(diǎn) H，連接 OA , OC.易知 AE = 4 , CF = 3，由勾股定理易得 OE =

4、3 , OF = 4,二 DH = EF = 7，又 AH = AE + EH = 4 + 3 = 7.二 AD = 7 2.即 PA + PC 的最小值為 7 2.點(diǎn)撥：此題運(yùn)用了 轉(zhuǎn)化思想，將分散的線段轉(zhuǎn)化為同一直線上的一條線段，然 后運(yùn)用 勾股定理求出線段的長(zhǎng)度.3 .解：連接AC ,/ CD為。的直徑，CD丄AB , I AF = BF ,AC = BC.延長(zhǎng)AO交。O于G，貝U AG為O O的直徑，又 AO丄BC , I BE = CE ,AC = AB.ab = BC = 2 3.(2)由知 AB = BC = AC ,. ABC為等邊三角形，/ AE丄BC ,1/.Z EAB =

5、Z CAE = Z CAB = 30 ° .2即 Z OAF = 30 ° ,在Rt OAF中，AF = 3, 易得OA = 2，即O O的半徑為2.o第4題4 解：如圖，設(shè)圓弧形橋拱 AB所在圓的圓心為O,連接OA , OB，作OD丄AB 于點(diǎn)D，交O O于點(diǎn)C,交MN于點(diǎn)H，由垂徑定理可知，D為AB的中點(diǎn).設(shè) OA = r 米，貝U OD = OC - DC = (r-2.4) 米, AD = 21AB = 3.6 米.在 Rt AOD 中， OA 2 = AD 2 + OD2，即 r2 = 3.62 + (r- 2.4) 2,解得 r = 3.9.在 Rt OHN 中，OH = ON 2- NH 2 = 3.92- 1.52= 3