常微分方程模擬試題

1、感謝你的觀看感謝你的觀看常微分方程模擬試題一、填空題（每小題3分，本題共15分）1 . 一階微分方程的通解的圖像是2維空間上的一族曲線.2 .二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解y/x）, y2（x）為方程的基本解組充分必要條件是3 .方程y“2y' + y =0的基本解組是 .4 . 一個(gè)不可延展解的存在在區(qū)間一定是 區(qū)間.5 .方程曳=匚的常數(shù)解是.dx二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）6 .方程d! = x 一3十y滿足初值問題解存在且唯一定理?xiàng)l件的區(qū)域是（）.（A）上半平面（B） xoy平面（C）下半平面（D）除y軸外的全平面7 .方程曳=q'y +1 （）奇解.dx（

2、A）有一個(gè)（B）有兩個(gè)（C）無（D）有無數(shù)個(gè)8 . f （y）連續(xù)可微是保證方程 dy = f （y）解存在且唯一的（）條件.dx（A）必要（B）充分 （C）充分必要（D）必要非充分9 .二階線性非齊次微分方程的所有解（）.（A）構(gòu)成一個(gè)2維線性空間（B）構(gòu)成一個(gè)3維線性空間（C）不能構(gòu)成一個(gè)線性空間（D）構(gòu)成一個(gè)無限維線性空間、工口 dy o -2 _ .10 .萬程=3y3過點(diǎn)（0, 0）有（B ）. dx（A）無數(shù)個(gè)解（B）只有一個(gè)解 （C）只有兩個(gè)解（D）只有三個(gè)解三、計(jì)算題（每小題6分，本題共 30分）求下列方程的通解或通積分：11.12.dy£=ylny”1.(y)2&q

3、uot;dx x xdy513 .二 y xydx22、14 . 2xydx (x - y )dy = 015 . y = xy 2( y )3四、計(jì)算題(每小題10分，本題共20分)16 .求方程y "5y' =-5x2的通解.17 .求下列方程組的通解.dx-y dt sintdy =-x dt五、證明題(每小題10分，本題共20分)18 .設(shè)f(x)在0,十叫上連續(xù)，且lim f(x) = 0,求證：方程x > 二dy y = f(x) dx的一切解 y(x),均有 lim y(x)=0.x_)二19 .在方程 y"+p(x)y'+q(x)y =

4、 0 中，p(x), q(x)在(-°o,+比)上連續(xù)，求證：若 p(x) 恒不為零，則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式W(x)是(8，+R)上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).常微分方程模擬試題參考答案一、填空題(每小題3分，本題共15分)1. 22.線性無關(guān)(或：它們的朗斯基行列式不等于零)一 - x 一 x3. e , xe4.開5.y = ±1二、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，本題共15分)6. D7. C 8. B 9. C 10. A（1分）（3分）（6分）三、計(jì)算題(每小題6分，本題共 30分)11.解：y=1為常數(shù)解當(dāng)y 0 0, y。1時(shí)，分離變量取不定積分，得-d- = dx

5、 Cylny通積分為ln y = Cex注：y=1包含在常數(shù)解中，當(dāng) c = 0時(shí)就是常數(shù)解，因此常數(shù)解可以不專門列出。13.解:方程兩端同乘以yl得-5y=Z，則dy u y xdx-4y*Mn也，代入上式,得 dx dxdz - -z 二 x（1分）4 dx這是一階線形微分方程，對應(yīng)一階線形齊次方程的通解為. 4xz = ce利用常數(shù)變易法可得到一階線形微分方程的通解為_4x1z = Ce - x4（3分）（4分）（5分）因此原方程通解為-4 c 心1y 二 Ce -x -4.：Mc：N_、/14.解： 因?yàn)?=2x = ，所以原方程是全微分方程.二 y二x取(x°, y

6、6;) =(0, 0),原方程的通積分為xy 202xydx - 0 ydy =C（6分）（2分）（4分）計(jì)算得213x2yy3 =C315 .解： 原方程是克萊洛方程，通解為 3y = Cx 2C四、計(jì)算題（每小題10分，本題共20分）16 .解： 對應(yīng)齊次方程的特征方程為2九一5九=0 ）特征根為丸 1 = 0 , 齊次方程的通解為_5 xy-C1c2e因?yàn)閍 =0是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為，、，- 2_ 一、y1（x） = x（ AxBx C）代入原方程，比較系數(shù)確定出1-A = , B3原方程的通解為5”_ 2一 25 5x 1y =C1 C2e317.解：齊次方程的特征方程

7、為1 22x -x525特征根為- - -i求得特征向量為 2 1=0因此齊次方程的通解為令非齊次方程特解為C2 son；costL =C1(t)| b-l-sint -tsintjsintC2 costC1 (t),C2滿足cost sin tIHsin t cost1 (t)比2 (t)j Lsin t0解得積分，得C1(t) = Insint , C2(t) =t通解為（6分）（6分）（1分）（2分）（4分）（6分）（9分）（10 分）（1分）（2分）（3分）（4分）（5分）（6分）（8分）（9分）.y C2"sin 11 cost ln sin t|+t sin t Cost

8、 - - sint In sint| +1 cost五、證明題(每小題10分，本題共20分)18.證明設(shè)y = y(x)是方程任一解，滿足 y(xo)= y°,該解的表達(dá)式為y(x)當(dāng) e 0:f(s)e(s，。)dsx0X_x0 e取極限lim y(x) = lim y0 lim -x .x)二 e -x0x)二:f(s)e(sz)dsx00,若f(s)e(s")ds ：二二x0 ，19.證明基行列式在(=0limJ 二f (x)e(x40,若 f (s)e(s4ds.二 - x: 設(shè)y(x), y2(x)是方程的基本解組，則對任意xw(-叫十好),，+g)上有定義，且 W(x) #0 .又由劉維爾公式-xW(x) =W(x0)e x0p(s) ds，x0 亡(-00, +=0)W(x) =W(x0)ep(s)ds0 p(x)由于 W